101學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$f\left( x \right) ={ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+ax+b=g\left( x \right) \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) =g\left( x \right) \left( x-2 \right) (x+1)\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 2 \right) =0 \\ f\left( -1 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 16-32+8+2a+b=0 \\ 1+4+2-a+b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+b=8 \\ a-b=7 \end{cases}\\ \Rightarrow a=5,b=-2$$ ,  因此a-2b=5-(-4)=9，故選(D)。

---

解： $${ 27 }^{ -x }={ \left( { 3 }^{ 3 } \right)  }^{ -x }={ 3 }^{ -3x }={ \left( { 3 }^{ x } \right)  }^{ -3 }={ 2 }^{ -3 }=\frac { 1 }{ 8 }$$ ，故選(C)。

---

解： $$S=\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ n+1 } } ={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right) S={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots +{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow \left[ 1-\left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  \right] S={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } S={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow S={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\times \frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 6 }$$ ，故選(D)。

---

解： $$\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } -3\overrightarrow { c } =\left( 3+x,4 \right) +2\left( 4,-3 \right) -3\left( 3,1-2y \right) \\ =\left( 3+x+8-9,4-6-3+6y \right) =\left( 2+x,6y-5 \right) =\left( 3,1 \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} 2+x=3 \\ 6y-5=1 \end{cases}\Rightarrow x=1,y=1\Rightarrow 3x+2y=5$$ ，故選(A)。

---

解： $$2{ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }-4x+4y+k=0\Rightarrow 2\left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) +2\left( { y }^{ 2 }+2y+1 \right) =4-k\\ \Rightarrow { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y+1 \right)  }^{ 2 }=2-\frac { k }{ 2 } \Rightarrow 半徑=\sqrt { 2-\frac { k }{ 2 }  } =3\\ \Rightarrow 2-\frac { k }{ 2 } =9\Rightarrow k=-14$$ ，故選(B)。

---

解：
平均值=(1+2+3+4+5+6+7)/7=4
各資料與平均值的距離平方和=9+4+1+0+1+4+9=28
樣本標準差=$\sqrt{\frac{28}{6}}=\frac{\sqrt{42}}{3}$，故選(C)。

---

解：
共有六個字，但兩個一樣的有三組，因此共有$\frac{6!}{2!2!2!}=90$，故選(A)。

---

解：

$$圓C: x^2+y^2+2x+2y+1=0\Rightarrow {(x+1)}^2+{(y+1)}^2=1\\ \Rightarrow 圓心(-1,-1), 半徑=1, 如上圖\\ \Rightarrow \triangle ABC為等腰直角，因此\overline{AB}=\sqrt{2}$$ ，故選(A)。

---

解：
$$L_1的斜率=\frac{-4}{m-1},  L_2的斜率=\frac{-2m-3}{6}\\  相互垂直代表斜率乘積為-1, 即\\  \frac{-4}{m-1}\times  \frac{-2m-3}{6}=-1\Rightarrow  \frac{8m+12}{6m-6}=-1\Rightarrow  m=\frac{-3}{7}$$ ，故選(C)。

---

解： $$\log _{ 0.1 }{ \sqrt { 1000 }  } -\log _{ 9 }{ \sqrt { 27 }  } =\frac { \log { \sqrt { 1000 }  }  }{ \log { 0.1 }  } -\frac { \log { \sqrt { 27 }  }  }{ \log { 9 }  } \\ =\frac { \log { { 10 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }  }{ \log { { 10 }^{ -1 } }  } -\frac { \log { { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }  }{ \log { { 3 }^{ 2 } }  } =-\frac { 3 }{ 2 } \frac { \log { 10 }  }{ \log { 10 }  } -\frac { 3 }{ 4 } \frac { \log { 3 }  }{ \log { 3 }  } \\ =-\frac { 3 }{ 2 } -\frac { 3 }{ 4 } =-\frac { 9 }{ 4 }$$ ，故選(D)。

---

解：
在5球中抽出2球，共有C(5,2)=10種情況
一次抽2球，1個紅球另1個黑球，共有2x3=6種情況，機率=6/10
一次抽2球皆為紅球，只有1種情況，機率=1/10
一次抽2球皆為黑球，共有C(3,2)=3種情況，機率=3/10
期望值=$10\times \frac{6}{10}+60\times\frac{1}{10}+20\times\frac{3}{10}=18$，故選(C)。

---

解：

只有(0,6)皆符合，故選(D)。

---

解： $$\left| \begin{matrix} 1-x & 2 & 3 \\ 1 & 2-x & 3 \\ 1 & 2 & 3-x \end{matrix} \right| 將第2,3直行加至第1行\Rightarrow \left| \begin{matrix} 6-x & 2 & 3 \\ 6-x & 2-x & 3 \\ 6-x & 2 & 3-x \end{matrix} \right| \\ =(6-x)\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2-x & 3 \\ 1 & 2 & 3-x \end{matrix} \right| 將第2,3橫列減去第1列\Rightarrow (6-x)\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -x & 0 \\ 0 & 0 & -x \end{matrix} \right| \\ =\left( 6-x \right) { x }^{ 2 }$$ 只有選項(B)不在運算中，故選(B)。

---

解： $$\left( A \right) { a }_{ k }=3k-4\Rightarrow 公差是3\\ \left( B \right) { a }_{ 34 }=3\times 34-4=102-4=98\\ \left( C \right) \sum _{ k=1 }^{ 100 }{ \left( 3k-4 \right)  } =3\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ k } -\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ 4 } =3\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ k } -400\\ \left( D \right) { a }_{ 3 }+{ a }_{ 5 }+{ a }_{ 7 }+{ a }_{ 9 }+{ a }_{ 11 }=3\left( 3+5+7+9+11 \right) -5\times 4=85$$ ，故選(D)。

---

解： $${ \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { AC }  }^{ 2 }-2\overline { AB } \overline { AC } \cos { A } \Rightarrow 12={ \overline { AB }  }^{ 2 }+36-12\overline { AB } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow { \overline { AB }  }^{ 2 }-6\sqrt { 3 } \overline { AB } +24=0\Rightarrow \overline { AB } =2\sqrt { 3 } ,4\sqrt { 3 } \\ 若\angle B=90°\Rightarrow { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }\Rightarrow \overline { AB } =2\sqrt { 6 } \\ \angle B>90°\Rightarrow \overline { AB } <2\sqrt { 6 } \Rightarrow \overline { AB } =2\sqrt { 3 } \\ \triangle ABC=\overline { AC } \times \overline { AB } \sin { A } =6\times 2\sqrt { 3 } \times \frac { 1 }{ 2 } =6\sqrt { 3 }$$ ，故選(D)。

---

解： $$\left( A \right) \sin { 240° } =\sin { \left( 240°-360° \right)  } =\sin { \left( -120° \right)  } =-\sin { 60° } =-\cos { 30° } \\ \left( B \right) \cos { \left( -330° \right)  } =\cos { \left( 360°-330° \right)  } =\cos { \left( 30° \right)  } \\ \left( C \right) \sec { 225° } =\sec { \left( 225°-360 \right)  } =\sec { \left( -135° \right)  } =-\sec { 45° } \\ \left( D \right) \tan { 135° } =-\tan { 45° } =-\cot { 45° }$$ ，故選(D)。

---

解： $${ b }_{ 1 }=-2+\frac { 4-\left( -2 \right)  }{ 3 } =0,{ b }_{ 2 }=1+\frac { 3-1 }{ 3 } =\frac { 5 }{ 3 } \\ { c }_{ 1 }=\frac { { b }_{ 1 }+4 }{ 2 } =2,{ c }_{ 2 }=\frac { { b }_{ 2 }+3 }{ 2 } =\frac { 7 }{ 3 }$$ ，故選(A)。

---

解： $$\begin{cases} 2x-y-1=0 \\ x+3y-4=0 \end{cases}\Rightarrow x=1,y=1代入L_{ 3 }\\ \Rightarrow 1+a+3=0\Rightarrow a=-4,故選(A)。$$

---

解： $$\tan { \theta  } =\frac { 7 }{ 19 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 7 }{ a } ,\cos { \theta  } =\frac { 19 }{ a } ,其中a=\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ 19 }^{ 2 } } \\ \left( \frac { 1+\sin { \theta  }  }{ 1+\cos { \theta  }  }  \right) \left( \frac { 1+\sec { \theta  }  }{ 1+\csc { \theta  }  }  \right) =\left( \frac { 1+\frac { 7 }{ a }  }{ 1+\frac { 19 }{ a }  }  \right) \left( \frac { 1+\frac { a }{ 19 }  }{ 1+\frac { a }{ 7 }  }  \right) \\ =\left( \frac { a+7 }{ a+19 }  \right) \left( \frac { 7\left( a+19 \right)  }{ 19\left( a+7 \right)  }  \right) =\frac { 7 }{ 19 } \\ $$ ，故選(B)。

---

解： $$x\left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) =4x\Rightarrow x\left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) -4x=0\Rightarrow x\left( { x }^{ 2 }-5x+6-4 \right) =0\\ \Rightarrow x\left( { x }^{ 2 }-5x+2 \right) =0\Rightarrow x=0,\frac { 5\pm \sqrt { 17 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow \left( A \right) 有三實根\quad (B)三根乘積為0\quad (C)三根均\ge 0\quad(D)三根和=5$$ ，故選(C)。

---

解： $$令S_{ 1 }=\left( 8+7+5 \right) \div 2=10,S_{ 2 }=\left( 8+6+6 \right) \div 2=10,S_{ 3 }=\left( 9+7+4 \right) \div 2=10,\\ x=\triangle _{ 1 }=\sqrt { S_{ 1 }(S_{ 1 }-8)(S_{ 1 }-7)(S_{ 1 }-5) } =\sqrt { 10\times 2\times 3\times 5 } =10\sqrt { 3 } \\ y=\triangle _{ 2 }=\sqrt { S_{ 2 }(S_{ 2 }-8)(S_{ 2 }-6)(S_{ 2 }-6) } =\sqrt { 10\times 2\times 4\times 4 } =8\sqrt { 5 } \\ z=\triangle _{ 3 }=\sqrt { S_{ 3 }(S_{ 3 }-9)(S_{ 3 }-7)(S_{ 3 }-4) } =\sqrt { 10\times 1\times 3\times 6 } =6\sqrt { 5 } \\ (A)y^{ 2 }=320>180=z^{ 2 }\Rightarrow y>z\quad (B)x^{ 2 }=300>180=z^{ 2 }\Rightarrow x>z\\ (C)y^{ 2 }=320>300=x^{ 2 }\Rightarrow y>x\quad (D)x+y+z=14\sqrt { 5} +10\sqrt { 3 }$$ ，故選(C)。

---

解：

見上圖:$\overline{AB}=\sin{x}-\frac{1}{3},\sin{y}<\frac{1}{3}$，a>0，b<0，故選(B)。

---

解：
(A)  f(1)=-4-2<0       (B)f(1)=0.4x4-2=-0.4     (C)f(0.01)=1.8x1.0201-2<0   (D)3.2-2>0

故選(D)。

---

解： $$\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } =\left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right| \cos { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } =2\times 5\times \left( \frac { -1 }{ 2 }  \right) =-5\\ \left( 3\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right) \cdot \left( 3\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right) =\left| 3\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right| \left| 3\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right| \\ \Rightarrow 9\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { u } +6\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } +\overrightarrow { v } \cdot \overrightarrow { v } =9\times 4+6\times \left( -5 \right) +25=31\\ \Rightarrow \left| 3\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right| =\sqrt { 31 }$$ ，故選(B)。

---

解： $${ \left( \frac { 2 }{ 3x } +\frac { 3 }{ 4{ y }^{ 2 } }  \right)  }^{ 8 }={ \left[ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right) { x }^{ -1 }+\left( \frac { 3 }{ 4 }  \right) { y }^{ -2 } \right]  }^{ 8 }\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ y }^{ -12 }的係數=\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }{ \left( \frac { 3 }{ 4 }  \right)  }^{ 6 }=28\times { \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }{ \left( \frac { 3 }{ 4 }  \right)  }^{ 6 }\\ ={ 2 }^{ 2 }{ 7 }\times { \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }{ \left( \frac { 3 }{ { 2 }^{ 2 } }  \right)  }^{ 6 }={ 2 }^{ 2+2-12 }{ 3 }^{ -2+6 }{ 5 }^{ 0 }{ 7 }={ 2 }^{ -8 }{ 3 }^{ 4 }{ 5 }^{ 0 }{ 7 }\\ \Rightarrow a-b-c+d=-8-4-0+1=-11$$ ，故選(A)。

---

-- end--