103學年四技二專統測--數學(C)詳解

103 學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗 -數學(C)

解答： $$\cases{\overrightarrow { a } \bot \overrightarrow { b } \Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =0\Rightarrow 3x-36=0\Rightarrow x=12\\ \overrightarrow { b } \parallel\overrightarrow { c } \Rightarrow \frac { x }{ -8 } =\frac { -9 }{ y } =\frac { 12 }{ -8 }\Rightarrow y=6}  \Rightarrow y-x=6-12=-6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$25{ x }^{ 2 }+9{ y }^{ 2 }=225\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } =1 \Rightarrow a=5 \Rightarrow \overline{PF} +\overline{PF'}=2a =10，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left[ f\left( x \right) -g\left( x \right)  \right]  } dx=\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left[ 3{ x }^{ 2 }-6 \right]  } dx=\left[ { x }^{ 3 }-6x \right] { | }_{ -3 }^{ 3 }\\ =\left( 27-18 \right) -\left( -27+18 \right) =18，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{r=-1/3\\ a_3=a_1r^2 =4} \Rightarrow a_1=36 \Rightarrow S(n)=\frac { a_1\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r } =\frac { 36\left( 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  } \\ =27\left( 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } \right) =27-27{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n }=\frac { 6560 }{ 243 }  \Rightarrow \frac { 1 }{ 243 } =27{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } \\\Rightarrow { \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n }=\frac { 1 }{ 243\times 27 } =\frac { 1 }{ { 3 }^{ 8 } } \Rightarrow n=8，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$令\cases{a=\sqrt[3] 3 \\b=2} \Rightarrow \left( \sqrt [ 3 ]{ 3 } -2 \right) \left( \sqrt [ 3 ]{ 9 } +2\sqrt [ 3 ]{ 3 } +4 \right) =(a-b)(a^2+ab+b^2) =a^3-b^3 = 3-8 =-5\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\begin{cases} x+1=0 \\ 2x-y+4=0 \\ x+3y+k=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ -2-y+4=0 \\ -1+3y+k=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=2 \\ 5+k=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=2 \\ k=-5 \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\overline{AP}: \overline{PB}=3:1 \Rightarrow P=(A+3B)/4 \Rightarrow \cases{m= (0+3\cdot 2)/4=3/2\\ n=(0+3\cdot 2)/4= 3/2} \Rightarrow m+n=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\sin { \left( -45° \right)  } \cdot \sin { 15° } =k-\cos { 45° } \cdot \cos { \left( -15° \right)  } \Rightarrow k=\cos { 45° } \cdot \cos { \left( -15° \right)  } +\sin { \left( -45° \right)  } \cdot \sin { 15° } \\ =\cos { 45° } \cdot \cos { \left( 15° \right)  } -\sin { \left( 45° \right)  } \cdot \sin { 15° } =\cos { \left( 45°+15° \right)  } =\cos { 60°=\frac { 1 }{ 2 }  }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\overline{AB}: \overline{BC}: \overline{CA}=7:5:3 \Rightarrow \cases{\overline{AB}=7k\\ \overline{BC}=5k \\ \overline{CA}=3k}；由於大角對大邊，所以\angle C最大 \\餘弦定理: \cos \angle C={\overline{BC}^2+ \overline{AC}^2-\overline{AB}^2 \over 2\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AC}} ={25k^2+9k^2-49k^2 \over 2\cdot 5k\cdot 3k} =-{1\over 2} \Rightarrow \angle C=120^\circ\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$8x+y=c \Rightarrow y=c-8x 代入拋物線方程式 \Rightarrow 4(x-1)^2= c-8x \Rightarrow 4x^2+4-c=0\\ 由於兩圖形相切，即交於一點，因此判別式=0 \Rightarrow 16(4-c)=0 \Rightarrow c=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $${ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ a }=\frac { 1 }{ 70 } \Rightarrow a\log { \frac { 1 }{ 2 }  } =\log { \frac { 1 }{ 70 }  } \Rightarrow a=\log _{ 2 }{ 70 } \\ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ b }=\frac { 1 }{ 2500 } \Rightarrow b\log { \frac { 1 }{ 4 }  } =\log { \frac { 1 }{ 2500 }  } \Rightarrow b=\log _{ 2 }{ 50 } \\ { \left( \frac { 1 }{ 8 }  \right)  }^{ c }=\frac { 1 }{ 216000 } \Rightarrow c\log { \frac { 1 }{ 8 }  } =\log { \frac { 1 }{ 216000 }  } \Rightarrow c=\log _{ 2 }{ 60 } \\\Rightarrow a\gt c\gt b，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$五位數中，第1個數字不能為0，末2位必須是12、20、32、52四種情形。\\\cases{XXX12⇒2×2×1=4(第1個數字可以選3或5)\\XXX20⇒3×2×1=6(第1個數字可以選1、3或5)\\XXX32⇒2×2×1=4(第1個數字可以選1或5)\\ XXX52⇒2×2×1=4(第1個數字可以選1或3)}\\ \Rightarrow 共有4+6+4+4=18，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\left(x-{2\over x} \right)^8 =\left( {x^2-2\over x} \right)^8 ={1\over x^8}(x^2-2)^8 ={1\over x^8}\sum_{n=0}^8C^8_n x^{2n}(-2)^{8-n} \\(A)\times: n=4 \Rightarrow 常數項=C^8_4(-2)^4= 1120\\(B)\bigcirc: n=5\Rightarrow x^2係數=C^8_5(-2)^3 = -448\\ (C)\times: n=6\Rightarrow x^4係數=C^8_6(-2)^2 = 112\\ (D)\times: n=0 \Rightarrow x^{-8}係數=C^8_0 (-2)^8= 256\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\alpha,\beta為x^2-5x+3=0的兩根\Rightarrow \cases{\alpha+ \beta=5\\ \alpha\beta=3} \Rightarrow \frac { \beta  }{ \alpha  } +\frac { \alpha  }{ \beta  } =\frac { { \alpha  }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } }{ \alpha \beta  } =\frac { { \left( \alpha +\beta  \right)  }^{ 2 }-2\alpha \beta  }{ \alpha \beta  }\\ =\frac { { 5 }^{ 2 }-2\times 3 }{ 3 } =\frac { 19 }{ 3 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\left| \begin{matrix} 101 & 102 & 103 \\ 201 & 202 & 203 \\ 301 & 302 & 304 \end{matrix} \right| \xrightarrow{-r_1+r_2}  \left| \begin{matrix} 101 & 102 & 103 \\ 100 & 100 & 100 \\ 301 & 302 & 304 \end{matrix} \right| \xrightarrow{-r_2+r_1, -r_2+r_3}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 100 & 100 & 100 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} \right|\\ \xrightarrow{-r_1+r_3}  \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 100 & 100 & 100 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|=100\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|  =100(1-2) =-100，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\left| z \right| =\left| \frac { \left( 5-12i \right) \left( 3+4i \right)  }{ \left( 4-3i \right) \left( 12-5i \right)  }  \right| =\left| \frac { \left( 5-12i \right)  }{ \left( 12-5i \right)  }  \right| \times \left| \frac { \left( 3+4i \right)  }{ \left( 4-3i \right)  }  \right| =\frac { \left| 5-12i \right|  }{ \left| 12-5i \right|  } \times \frac { \left| 3+4i \right|  }{ \left| 4-3i \right|  } \\ =1\times 1=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $${ z }_{ 1 }={ \left( \cos { \frac { 5\pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { 5\pi  }{ 3 }  }  \right)  }^{ 4 }=\cos { \frac { 20\pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { 20\pi  }{ 3 }  } =\cos { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } \\ { z }_{ 2 }={ \left( \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  }  \right)  }^{ 2 }=\cos { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } \\ \Rightarrow \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $${x+y/2+y/2\over 3} \ge \sqrt[3]{x\cdot {y\over 2} \cdot {y\over 2}} \Rightarrow {6\over 3} \ge \sqrt[3]{xy^2\over 4} \Rightarrow xy^2 \le 2^3\cdot 4=32 \Rightarrow xy^2的最大值=32\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$滿足\cases{x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y-6\le 0\\ x+2y-6\le 0} \Rightarrow \begin{array}{cc|c} x & y & 小計\\\hline 0 & 0-3 & 4\\ 1 & 0-2 & 3\\ 2 & 0-2 & 3\\ 3 & 0 & 1\\\hline & &  11\end{array} \Rightarrow 共11組整數解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } =\left( 2\cos { \theta  } ,\sin { \theta  }  \right) \cdot \left( \sin { \theta  } ,2\cos { \theta  }  \right) = 2\cos { \theta  } \sin { \theta  } +2\cos { \theta  } \sin { \theta  } =2\sin { 2\theta  } =1\\ \Rightarrow \sin { 2\theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow 2\theta =\frac { \pi  }{ 6 } \Rightarrow \theta =\frac { \pi  }{ 12 }，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$f\left( x \right) =\frac { x\left( x-1 \right) \left( x-4 \right)  }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right)  } =x g(x),其中g(x)=\frac { \left( x-1 \right) \left( x-4 \right)  }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right)  } \\ \Rightarrow f'(x)=g(x)+ xg'(x) \Rightarrow f'(0)=g(0) = {(0-1)(0-4)\over (0+1)(0+2)} =2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{a+c=36 \cdots(1)\\ a,b,12成等差\Rightarrow 2b=a+12 \Rightarrow a=2b-12 \cdots(2)\\ 2,b,c成等比\Rightarrow b^2=2c \Rightarrow c=b^2/2 \cdots(3)}\\ 將(2)及(3)代入(1) \Rightarrow 2b-12+{b^2\over 2}=36 \Rightarrow b^2+ 4b-96=0 \Rightarrow (b+12)(b-8)=0 \\ \Rightarrow b=8 \Rightarrow \cases{a=16-12=4\\ c=64/2=32} \Rightarrow \cases{(A)\times: b+c=8+32=40\ne 32\\ (B)\bigcirc: a+b= 4+8=12\\ (C)\bigcirc: 2,b,c成等比\Rightarrow b^2=2c\\ (D)\bigcirc: 2b=16=4+12=a+12}\\ \Rightarrow 只有(A)是錯誤的，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\frac { 2+\log _{ 10 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 216 } +\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 625 } +\frac { 1 }{ 5 } \log _{ 10 }{ 243 }  }{ 1+\log _{ 2 }{ \frac { 5 }{ 3 }  } +\log _{ 2 }{ \frac { 6 }{ 5 }  } +\log _{ 2 }{ \frac { 7 }{ 6 }  } +3\log _{ 8 }{ \frac { 8 }{ 7 }  } +2\log _{ 4 }{ \frac { 9 }{ 8 }  } -\log _{ 4 }{ 9 }  } \\ =\frac { 2+\log _{ 10 }{ { 2 }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ { 6 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ { 5 }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ 5 } \log _{ 10 }{ { 3 }^{ 5 } }  }{ 1+\log _{ 2 }{ \left( \frac { 5 }{ 3 } \times \frac { 6 }{ 5 } \times \frac { 7 }{ 6 }  \right)  } +\log _{ 2 }{ \frac { 8 }{ 7 }  } +\log _{ 2 }{ \frac { 9 }{ 8 }  } -\log _{ 2 }{ 3 }  } \\ =\frac { 2+2\log _{ 10 }{ 2 } -\log _{ 10 }{ 6 } +\log _{ 10 }{ 5 } +\log _{ 10 }{ 3 }  }{ 1+\log _{ 2 }{ \left( \frac { 7 }{ 3 }  \right)  } +\log _{ 2 }{ \left( \frac { 8 }{ 7 } \times \frac { 9 }{ 8 } \times \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }  } \\ =\frac { 2+\log _{ 10 }{ \left( \frac { { 2 }^{ 2 }\times 5\times 3 }{ 6 }  \right)  }  }{ 1+\log _{ 2 }{ \left( \frac { 7 }{ 3 }  \right)  } +\log _{ 2 }{ \left( \frac { 3 }{ 7 }  \right)  }  } =\frac { 2+\log _{ 10 }{ \left( 10 \right)  }  }{ 1+\log _{ 2 }{ \left( \frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 7 }  \right)  }  } \\ =\frac { 2+1 }{ 1+0 } =3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\begin{array}{r|ccccccccccc}x_i& 60 & 55 & 20 & 45 & 70 & 90 & 30 & 60 & 45 & 45 & 30\\\hline x_i-50 &10 & 5 & -30 & -5 & 20 & 40 & -20 & 10 & -5 & -5 & -20\\ \hline (x_i-50)^2 &100 & 25 & 900 & 25 & 400 & 1600 & 400 & 100 & 25 & 25 & 400\end{array}\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{11} (x_i-50)^2 = 4000 \Rightarrow S=\sqrt{4000\over 11-1} =20，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{A=3的倍數= \lfloor 200/3\rfloor =66 \\ B=5的倍數 = \lfloor 200/5\rfloor =40 \\ C= 15的倍數= \lfloor 200/15\rfloor = 13} \\(A) \times:3或5的倍數=A+B-C= 66+40=13=93 \Rightarrow 機率為93/200 \\(B)\times: 5的倍數但不是3的倍數=B-C=40-13=27 \Rightarrow 機率=27/200\\ (C)\bigcirc:3的倍數不是5的倍數=A-C=66-13=53 \Rightarrow 機率=53/200\\ (D)\times: 與(A)相反，機率=1-93/200=107/200\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他統測試題及詳解