103學年四技二專統測--數學(S)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
點P的y值=-1+2=1
點Q的y值=2+2=4
P(-1,1)、Q(2,4)距離=√(9+9)=3√2

，故選(A)。

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解：
點P的y值=1+1=2
點Q的y值=9+1=10

P(-1,2)、Q(3,10)的中點=((-1+3)/2,(2+10)/2)=(1,6)

a+b =  1+6=7

，故選(C)。 

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解：
直線L:  y=2x+c
(1,4)代入L⇒4=2+c⇒c=2
，故選(B)。 

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解：

可用長除法⇒x³+3x²+ax+b = (x²+2x+1)(x+1)+(a-3)x+(b-1)
⇒a-3=1, b-1=1⇒a=4,b=2⇒a+2b=4+4=8，故選(D)。 

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解：
f(2)=4+2a+b=5⇒2a+b=1
f(1)=1+a+b=3⇒a+b=2
解以上二式，可得a=-1,b=3⇒2a+3b=-2+9=7，故選(B)。 

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(A)16      (B)20      (C)36      (D)56

解：
x²-8x-84=(x-14)(x+6)=0⇒a=14,b=-6⇒|a|+|b|=14+6=20
，故選(B)。 

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7. 已知a和b為二次方程式x²-3x-1=0的兩個解。試問以a+b和a×b為兩個解的二次方程式為何？

(A)x²-2x-3=0   (B)x²-3x-2=0   (C)x²-5x-3=0    (D)x²-5x-2=0

解：
a+b=3, a×b=-1
該方程式為(x-3)(x+1)=0，即x²-2x-3=0，故選(A)。

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$$8. 在坐標平面上，已知R為二元一次聯立不等式\begin{cases} x+y\le 12 \\ y\le 6 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{cases}\\所圍的區域。試問R的面積為何?$$ (A)36   (B)48   (C)54   (D)72
解：

R為一梯形，面積=(6+12)6/2=54，故選(C)。

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$$9.在坐標平面上，已知R為二元一次聯立不等式\begin{cases} x+y\le 120 \\ x\ge 20 \\ y\ge 0 \end{cases}所圍的區域。\\ 若M和m分別為函數f\left( x,y \right) =20x+10y在R中的最大值和最小值，則M-m=?$$

(A)500    (B)1250     (C)1800     (D)2300

解：
先求出三直線的交點A(20,100),  B(110,10),C(20,10)，分別代入f，
可得f(A)=400+1000=1400、f(B)=2200+100=2300、f(C)=400+100=500，可知M=2300,m=500,  M-m=2300-500=1800
，故選(C)。 

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解：
(B)末項為2×16+1=33不是31
(C)與(D)之公差為1不是2
，故選(A)。 

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解：
令首項為a，公比為r
$$\begin{cases} a{ r }^{ 2 }=2 \\ a{ r }^{ 6 }=10 \end{cases}\Rightarrow { r }^{ 4 }=5\Rightarrow r=\sqrt [ 4 ]{ 5 } \Rightarrow a=2/\sqrt { 5 } \\ { b }_{ 11 }=a{ r }^{ 10 }=\frac { 2 }{ \sqrt { 5 }  } { \left( \sqrt [ 4 ]{ 5 }  \right)  }^{ 10 }=2\cdot { 5 }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\cdot { 5 }^{ \frac { 10 }{ 4 }  }=2\cdot { 5 }^{ 2 }=50$$ ，故選(B)。

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解：
$$\theta =12\cdot \frac { 180 }{ \pi  } \approx 687.5=360+327.5$$ ，故選(D)。 

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解：

3073=360×8+193⇒sinθ<0, cosθ<0，故選(A)。 

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解：

secθ=3/2⇒cosθ=2/3, sin=√5/3, tanθ=√5/2

cotθcscθ =(2/√5)(3/√5)=6/5

，故選(A)。 

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解：

如上圖，D、E、F皆可與A、B、C三點構成平行四邊形
令(x,y)為所求之座標
向量BC=向量AD⇒(14,4)=(x-2,y+3)⇒D(x=16,y=1)
向量AC=向量EB⇒(7,14)=(-5-x,7-y)⇒E(x=-12,y=-7)
向量AB=向量CF⇒(-7,10)=(x-9,y-11)⇒F(x=2,y=21)
，故選(A)。 

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解： $$\overrightarrow { AD } \cdot \overrightarrow { BC } =\left( -15,20 \right) \cdot \left( 4,4 \right) =-60+80=20$$
，故選(D)。 

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解： $${ 6 }^{ 13 }\div { 27 }^{ 3 }\div 2048=\frac { { 2 }^{ 13 }{ \times 3 }^{ 13 } }{ { 3 }^{ 9 }\times { 2 }^{ 11 } } ={ 2 }^{ 2 }{ 3 }^{ 4 }=4\times 81=324$$
，故選(D)。 

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$$18. 已知\log { 2 }約等於 0.3010。若 a=1000\times { 2 }^{ 60 },則a為幾位數?$$

(A)21     (B)22    (C)23     (D)24

解：
$$a=1000\times { 2 }^{ 60 }\Rightarrow \log _{ 10 }{ a } =\log _{ 10 }{ \left( 1000\times { 2 }^{ 60 } \right)  } =\log _{ 10 }{ \left( { 10 }^{ 3 }\times { 2 }^{ 60 } \right)  } \\ =\log _{ 10 }{ { 10 }^{ 3 } } +\log _{ 10 }{ { 2 }^{ 60 } } =3+60\times 0.301=21.06$$
，故選(B)。 

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19.  在坐標平面上，已知一圓方程式為(x-4)²+(y-5)²=16。試問下列何者正確？
(A)該圓與x軸有一交點     (B)該圓與x軸有二交點
(C)該圓與y軸有一交點     (D)該圓與y軸有二交點
解：
該圓圓心為(4,5)、半徑為4，因此與y軸相切，與x軸相離，故選(C)。 

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20.  已知一圓半徑為r且圓心在(4,4)。若該圓與直線x+y=0有二交點，則下列何者可為r之值？

(A)3      (B)4      (C)5      (D)6

解：

圓心至直線的距離為4√2>5，故選(D)。

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$$21.已知\Delta ABC中,三邊長分別為\overline { BC } =3,\overline { AC } =5,\overline { AB } =6。試問\cos { C } \\ 介於下列哪一個區間？\\ \left( A \right) \left( -1,-\frac { 1 }{ 2 }  \right) \quad \quad \quad \left( B \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \quad \quad \quad \left( C \right) \left( 0,\frac { 1 }{ 2 }  \right) \quad \quad \quad \left( D \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right)$$
解：
$$可用餘弦定理，即{ \overline { AB }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { BC } \cos { C } \\ \Rightarrow 36=25+9-30\cos { C } \Rightarrow \cos { C } =\frac { -2 }{ 30 } =\frac { -1 }{ 15 } ,故選(B)。$$  

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解：
第1個男生有5種選擇、第2個男生有4種選擇、第3個男生有3種選擇、第4個男生有2種選擇、第5個男生只有1種選擇。
所以有5×4×3×2×1=120，故選(C)。

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解：
所有可能減去二人都不出現的機率=1-0.3=0.7，故選(C)。

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解：
每位學生與平均數的差相加在一起=0，即
3+3-3-5+(67-a)=0⇒a=65，故選(B)。

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解：
平均數=(35+20+14+22+34)/5=25
各數與平均數的距離=10、5、11、3、9
距離的平方和=100+25+121+9+81=336
變異數=336/5=67.2
，故選(C)。
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