103 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗 -數學(B)
解答:|def1−23abc|=−|efbc|−2|dfac|−3|deab|=|bcef|+2|acdf|+3|abde|,故選(B)
解答:若二元一次方程式之二根為α及β,則二根差之平方=(α−β)2=(α+β)2−4αβ因此{x2+ax+2=0之二根差之平方=a2−8x2+2x+a=0之二根差之平方=4−4a⇒a2−8=4−4a⇒a2+4a−12=0⇒(a+6)(a−2)=0⇒a=−6,故選(A)
解答:令f(x)=x3+kx−6,則f(3)=0⇒27+3k−6=0⇒k=−7⇒f(x)=x3−7x−6=(x−3)(x2+3x+2)=(x−3)(x+1)(x+2),故選(D)
解答:令f(x)=x4−x3−2x2+13x+k=(x2+2x+a)(x2−3x+b)⇒{f(0)=k=abf(1)=11+k=(3+a)(−2+b)f(−1)=−13+k=(−1+a)(4+b)⇒{ab=k2a−3b=−174a−b=−9⇒{a=−1b=5k=−5,故選(A)
解答:xy+yz+zx3≥3√(xyz)2=(xyz)2/3⇒9≥(xyz)2/3⇒3≥(xyz)1/3⇒27≥xyz,故選(C)
解答:f(x)=(x2+2)2⇒f′(x)=2(x2+2)(2x)⇒f′(1)=2⋅3⋅2=12而limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=12,故選(D)
解答:∫2π1π(π2x+π)dx=(12π2x2+πx)|2/π1/π=(2+2)−(12+1)=4−32=52,故選(A)
解答:35x+10<x5⇒35x+10−x5<0⇒35(x+2)−x(x+2)5(x+2)<0⇒3−x(x+2)5(x+2)<0⇒3−x2−2x5(x+2)<0⇒−(x+3)(x−1)5(x+2)<0⇒(x−1)(x+2)(x+3)>0⇒x>1,−3<x<−2,故選(D)
解答:log5√2⋅log79log5(13)⋅log73√4=12log2log5⋅2log3log7−log3log5⋅23log2log7=1−23=−32,故選(B)
解答:49x+5⋅7x−24=0⇒72x+5⋅7x−24=0⇒(7x+8)(7x−3)=0⇒7x=3⇒7x+1=21,故選(C)
解答:
{A(5,0)B(1,−12)C(−4,−7)D(x,y)⇒{→AB=(−4,−12)→CD=(x+4,y+7)→AD=(x−5,y);由於{→AB⊥→CD→AB∥→AD⇒{(−4,−12)⋅(x+4,y+7)=01x−5=3y⇒{3x−y=15x+3y=−25⇒{x=2y=−9⇒x+y=2−9=−7,故選(D)
解答:tan2θ=sin2θcos2θ=2sinθcosθ2cos2θ−1=2×35×452×(45)2−1=2425725=247,故選(D)
解答:sinθcosθ+cosθsinθ=−83⇒sin2θ+cos2θsinθcosθ=−83⇒1sinθcosθ=−83⇒sinθcosθ=−38(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2×(−38)=14,故選(A)
解答:令D(a,b),則→AD=25→AB+35→AC⇒(a−x,b−y)=25(−1−x,4−y)+35(9−x,−1−y)=(5−x,1−y)⇒a=5,b=1,故選(C)
解答:兩數相乘=0.8999999⋯,故選(B)
解答:\because \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a } \right| \left| \overrightarrow { b } \right| \cos { 60° } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \therefore \overrightarrow { a } \cdot \left( -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right) =\left| \overrightarrow { a } \right| \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| \cos { \theta } \Rightarrow \cos { \theta } =\frac { -\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a } +2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } }{ \left| \overrightarrow { a } \right| \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| } =\frac { -1+1 }{ \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| } =0\\ \Rightarrow \theta =90°,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:此題相當於求x+y=2017的非負整數解個數,即H^2_{2017}=C^{2018}_{2017}= 2018,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:{ 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 7 }\cdot { 5 }^{ 11 }=8\cdot \left( { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 7 }\cdot { 5 }^{ 11 } \right)=8\cdot b \Rightarrow b可能有(2+1)(7+1)(11+1)= 288種數字組合\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:\cases{P(A')=1/4\\ P(B')=1/5\\ P(A'\cup B')=2/5} \Rightarrow \cases{P(A)=1-1/4=3/4\\ P(B)=1-1/5= 4/5\\ P(A\cap B)= 1-2/5= 3/5} \\\Rightarrow P(A\cup B)= P(A)+ P(B)-P(A\cap B) ={3\over 4}+ {4\over 5}-{3\over 5}={19\over 20},故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:出現正正的機率為1/4,骰子出現任何點數的機率皆為1/6,\\\qquad因此其期望值=(1/4)×(1/6)×(2+4+8+10+12)=42/24=7/4\\出現一正一反的機率為1/2,骰子出現任何點數的機率皆為1/6,\\\qquad因此其期望值=(1/2)×(1/6)×(1+2+3+4+5+6)=21/12=7/4\\ 以上兩者相加,即{7\over 4}+{7\over 4}= {7\over 2},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答:2\cos { 1° } \cos { 2° } \times 2\sin { 1° } \csc { 4° } =\frac { 2\cos { 2° } \times \left( 2\sin { 1° } \cos { 1° } \right) }{ \sin { 4° } } \\ =\frac { 2\cos { 2° } \times \sin { 2° } }{ \sin { 4° } } =\frac { \sin { 4° } }{ \sin { 4° } } =1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab\cos { \angle C } ={ \left( a-b \right) }^{ 2 }+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab\\ \Rightarrow -2ab\cos { \angle C } =-2ab+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab\\ \Rightarrow \cos { \angle C } =\frac { -2ab+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab }{ -2ab } =\frac { \sqrt { 3 } }{ -2 } \\ \Rightarrow \angle C=150°,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:y=x代入圓C\Rightarrow { \left( x-a \right) }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }=1\Rightarrow 2{ x }^{ 2 }-2xa+{ a }^{ 2 }-1=0\Rightarrow 4{ a }^{ 2 }-8\left( { a }^{ 2 }-1 \right) >0\\ \Rightarrow -4{ a }^{ 2 }+8>0\Rightarrow 2>{ a }^{ 2 }\Rightarrow \sqrt { 2 } >a>-\sqrt { 2 },故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:{x^2\over 4}-{y^2\over 9}=1之漸近線為{x^2\over 4}={y^2\over 9} \Rightarrow 3x=\pm 2y,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
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解答:sinθcosθ+cosθsinθ=−83⇒sin2θ+cos2θsinθcosθ=−83⇒1sinθcosθ=−83⇒sinθcosθ=−38(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2×(−38)=14,故選(A)
解答:令D(a,b),則→AD=25→AB+35→AC⇒(a−x,b−y)=25(−1−x,4−y)+35(9−x,−1−y)=(5−x,1−y)⇒a=5,b=1,故選(C)
解答:兩數相乘=0.8999999⋯,故選(B)
解答:\because \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a } \right| \left| \overrightarrow { b } \right| \cos { 60° } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \therefore \overrightarrow { a } \cdot \left( -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right) =\left| \overrightarrow { a } \right| \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| \cos { \theta } \Rightarrow \cos { \theta } =\frac { -\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a } +2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } }{ \left| \overrightarrow { a } \right| \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| } =\frac { -1+1 }{ \left| -\overrightarrow { a } +2\overrightarrow { b } \right| } =0\\ \Rightarrow \theta =90°,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:此題相當於求x+y=2017的非負整數解個數,即H^2_{2017}=C^{2018}_{2017}= 2018,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:{ 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 7 }\cdot { 5 }^{ 11 }=8\cdot \left( { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 7 }\cdot { 5 }^{ 11 } \right)=8\cdot b \Rightarrow b可能有(2+1)(7+1)(11+1)= 288種數字組合\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:\cases{P(A')=1/4\\ P(B')=1/5\\ P(A'\cup B')=2/5} \Rightarrow \cases{P(A)=1-1/4=3/4\\ P(B)=1-1/5= 4/5\\ P(A\cap B)= 1-2/5= 3/5} \\\Rightarrow P(A\cup B)= P(A)+ P(B)-P(A\cap B) ={3\over 4}+ {4\over 5}-{3\over 5}={19\over 20},故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:出現正正的機率為1/4,骰子出現任何點數的機率皆為1/6,\\\qquad因此其期望值=(1/4)×(1/6)×(2+4+8+10+12)=42/24=7/4\\出現一正一反的機率為1/2,骰子出現任何點數的機率皆為1/6,\\\qquad因此其期望值=(1/2)×(1/6)×(1+2+3+4+5+6)=21/12=7/4\\ 以上兩者相加,即{7\over 4}+{7\over 4}= {7\over 2},故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解答:2\cos { 1° } \cos { 2° } \times 2\sin { 1° } \csc { 4° } =\frac { 2\cos { 2° } \times \left( 2\sin { 1° } \cos { 1° } \right) }{ \sin { 4° } } \\ =\frac { 2\cos { 2° } \times \sin { 2° } }{ \sin { 4° } } =\frac { \sin { 4° } }{ \sin { 4° } } =1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab\cos { \angle C } ={ \left( a-b \right) }^{ 2 }+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab\\ \Rightarrow -2ab\cos { \angle C } =-2ab+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab\\ \Rightarrow \cos { \angle C } =\frac { -2ab+\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ab }{ -2ab } =\frac { \sqrt { 3 } }{ -2 } \\ \Rightarrow \angle C=150°,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:y=x代入圓C\Rightarrow { \left( x-a \right) }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }=1\Rightarrow 2{ x }^{ 2 }-2xa+{ a }^{ 2 }-1=0\Rightarrow 4{ a }^{ 2 }-8\left( { a }^{ 2 }-1 \right) >0\\ \Rightarrow -4{ a }^{ 2 }+8>0\Rightarrow 2>{ a }^{ 2 }\Rightarrow \sqrt { 2 } >a>-\sqrt { 2 },故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:{x^2\over 4}-{y^2\over 9}=1之漸近線為{x^2\over 4}={y^2\over 9} \Rightarrow 3x=\pm 2y,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
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解題僅供參考,其他統測試題及詳解
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