101學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\log _{ 2 }{ \left( \log _{ 10 }{ \sqrt { \sqrt { \sqrt { 10 }  }  }  }  \right)  } =\log _{ 2 }{ \left( \log _{ 10 }{ { 10 }^{ \frac { 1 }{ 8 }  } }  \right)  } =\log _{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 8 }  \right)  } \\ =\log _{ 2 }{ { 2 }^{ -3 } } =-3$$ 故選(B)。

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解： $$(0,0)代入圓方程式\Rightarrow f=0\\ (-1,2)代入圓方程式\Rightarrow 1+4-d+2e=0\Rightarrow d-2e=5\\ (3,-2)代入圓方程式\Rightarrow 9+4+3d-2e=\Rightarrow 3d-2e=-13\\ \Rightarrow \begin{cases} d-2e=5 \\ 3d-2e=-13 \end{cases}\Rightarrow d=-9,e=-7\Rightarrow d+e+f=-9-7+1=-16$$ ，故選(A)。

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解： $mx-y+1=3m\Rightarrow m(x-3)-(y-1)=0\Rightarrow \\當x=3,y=1\Rightarrow 無論m值, 恆為零$故選(C)。

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解： $$邊長為a之正方形，其周長為4a\Rightarrow 半徑r=\frac{4a}{2\pi}\\ \Rightarrow 圓面積=r^2\pi = {\left(\frac{4a}{2\pi}\right)}^2\times \pi=\frac{4a^2}\pi{}$$ 故選(D)。

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解：
點數和=2=(1,1)
點數和=3=(1,2)、(2,1)
點數和=4=(1,3)、(3,1)、(2,2)
共有六種情況，全部有$6\times 6=36, 機率為\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，故選(C)。

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解： $$D=\left(\frac{5+7}{2},\frac{8+0}{2}\right)=\left(6,4\right), E=\left(\frac{7-3}{2},\frac{0-2}{2}\right)=\left(2,-1\right), \\F=\left(\frac{5-3}{2},\frac{8-2}{2}\right)=\left(1,3\right);\\ \Rightarrow DEF重心坐標=\left(\frac{6+2+1}{3},\frac{4-1+3}{3}\right)=(3,2)$$ 故選(D)。

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解： $$平均成績=(75+60+85+100+80)\div 5=80, \\各成績與平均成績的距離平方和為 (5^2+{20}^2+5^2+{20}^2+0)\div 5 = 170\\ \Rightarrow 標準差=\sqrt{170}$$ , 故選(B)。

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解：
成績由小到大排列:  35, 42, 50, 65, 73, 75, 80, 85, 90, 100
a:全距=最大減最小=100-35=65
b:中位數=第5與第6的成績平均=(73+75)/2=74
因此  a+b=65+74=139，故選(B)。

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解：

將x=-1代入多項式可得:  -3+4-5+1=-3，故選(A)。

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解： $$x=\frac { -3\pm \sqrt { { 3 }^{ 2 }+4 }  }{ 2 } =\frac { -3\pm \sqrt { 13 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow \left| { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right| =\left| \frac { -3+\sqrt { 13 }  }{ 2 } -\frac { -3-\sqrt { 13 }  }{ 2 }  \right| =\left| \frac { 2\sqrt { 13 }  }{ 2 }  \right| \\ =\sqrt { 13 }$$ ,故選(C)。

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解： $$\left( \begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix} \right) \cdot { 2 }^{ 3 }=\frac { 8! }{ 5!3! } \times 8=56\times 8=448$$ , 故選(C)。

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解：
7倍數+11的倍數-77的倍數=$\frac{1000}{7}+\frac{1000}{11}-\frac{1000}{77}$=142+90-12=220,
故選(B)。

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解：
個位數必須是1、3、7、9，有4種選擇
十位數可以是剩下的五個數字
百位數不能為0，若十位數是0(十位數只有一種選擇)，則百位數有4種選擇；若十位數不是0(十位數有4種選擇)，則百位數有3種選擇；
因此有$4\times 1\times 4 +4\times 4\times 3 = 16+48=64$,故選(A)。

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解：
9個球任取3個有C(9,3)=84種取法
5個白球任取3個有C(5,3)=10種取法
因此機率為10/84=5/42,故選(A)。

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解：

圖形無交點，故選(A)。

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解： $$x+3y=1\Rightarrow x=1-3y\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ \left( 1-3y \right)  }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\\ =10{ y }^{ 2 }-6y+1=10\left( { y }^{ 2 }-\frac { 6 }{ 10 } y+\frac { 9 }{ 100 }  \right) -\frac { 9 }{ 10 } +1\\ =10{ \left( y-\frac { 3 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 10 }$$ , 故選(A)。

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解：
t是任意實數，假設t=0，則x=1, y=0, $x^2+y^2=1$, 故選(B)。

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解： $$令f\left( x \right) =a{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+bx-2=\left( { x }^{ 2 }-3x+2 \right) g\left( x \right) =(x-2)(x-1)g\left( x \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 2 \right) =0 \\ f\left( 1 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 8a+12+2b-2=0 \\ a+3+b-2=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4a+b+5=0 \\ a+b+1=0 \end{cases}\\ \Rightarrow a=\frac { -4 }{ 3 } ,b=\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a+3b=\frac { -4 }{ 3 } +1=\frac { -1 }{ 3 }$$ ,故選(C)。

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解： $$ax+by+c=0\Rightarrow y=-\frac { a }{ b } x-\frac { c }{ b } \Rightarrow \tan { \alpha  } =-\frac { a }{ b } \\ \Rightarrow \frac { \sin { \alpha  }  }{ \cos { \alpha  }  } =-\frac { a }{ b } \Rightarrow \sin { \alpha  } +\cos { \alpha  } =\left( -\frac { a }{ b }  \right) \cos { \alpha  } +\cos { \alpha  } \\ =\left( 1-\frac { a }{ b }  \right) \cos { \alpha  } =0\Rightarrow 1-\frac { a }{ b } =0\Rightarrow a=b\Rightarrow a-b=0$$ ,故選(D)。

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解： $$\begin{cases} x+y=6 \\ x-3y=-2 \end{cases}\Rightarrow x=4,y=2\Rightarrow 2x+3y=14\\ \begin{cases} x+y=6 \\ x=1 \end{cases}\Rightarrow x=1,y=2\Rightarrow 2x+3y=8\\ \begin{cases} x=1 \\ x-3y=-2 \end{cases}\Rightarrow x=1,y=1\Rightarrow 2x+3y=5$$ ,故選(C)。

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解：
$$f'(x)=-4x+3=0  \Rightarrow  x=\frac{3}{4}>0 \Rightarrow  f(\frac{3}{4})=\frac{-5}{8}<0\\ \Rightarrow  頂點坐標(\frac{3}{4},\frac{-5}{8})在第四象限$$ ,故選(D)。

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解： $${ x }^{ 2 }-7x+12=0\Rightarrow (x-4)(x-3)=0\Rightarrow 兩根為4,3\\ 令\tan { A } =4\Rightarrow \sin { A } =\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  } ,\cos { A } =\frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  } \\ 令\tan { B } =3\Rightarrow \sin { B } =\frac { 3 }{ \sqrt { 10 }  } ,\cos { B } =\frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } \\ \cot { \left( A+B \right)  } =\frac { \cos { \left( A+B \right)  }  }{ \sin { \left( A+B \right)  }  } =\frac { \cos { A } \cos { B } -\sin { A } \sin { B }  }{ \sin { A } \cos { B } +\sin { B } \cos { A }  } \\ =\frac { \frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } -\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  } \times \frac { 3 }{ \sqrt { 10 }  }  }{ \frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } +\frac { 3 }{ \sqrt { 10 }  } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  }  } =\frac { \frac { -11 }{ \sqrt { 170 }  }  }{ \frac { 7 }{ \sqrt { 170 }  }  } =\frac { -11 }{ 7 }$$ ,故選(A)。

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解： $$令x=\frac { \pi  }{ 6 } ，則\\ \csc ^{ 2 }{ x } -\sec ^{ 2 }{ x } =4-\frac { 4 }{ 3 } =\frac { 8 }{ 3 } ,但\sec ^{ 2 }{ x } \csc ^{ 2 }{ x } =\frac { 4 }{ 3 } \times 4=\frac { 16 }{ 3 } \\ \Rightarrow \csc ^{ 2 }{ x } -\sec ^{ 2 }{ x } \neq \sec ^{ 2 }{ x } \csc ^{ 2 }{ x }$$ ,故選(D)。

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解： $$a+b=1,ab=-1\\ \Rightarrow { \left( a-b \right)  }^{ 2 }={ \left( a+b \right)  }^{ 2 }-4ab=1+4=5\Rightarrow a-b=\sqrt { 5 } \\ \Rightarrow { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ \left( a+b \right)  }^{ 2 }-2ab=1+2=3\\ \Rightarrow { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b)=1\times \sqrt { 5 } =\sqrt { 5 } \\ \Rightarrow { a }^{ 4 }-{ b }^{ 4 }=\left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right) \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) =\left( \sqrt { 5 }  \right) \left( 3 \right) =3\sqrt { 5 } \\ \Rightarrow \left( \frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ \sqrt { 5 }  } ,\frac { { a }^{ 4 }-{ b }^{ 4 } }{ \sqrt { 5 }  }  \right) =\left( \frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 }  } ,\frac { 3\sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 }  }  \right) =\left( 1,3 \right)$$ , 故選(D)。

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解： $$180°<\theta <360°且\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \sin { \theta  } =-\frac { 2\sqrt { 2 }  }{ 3 } \\ \Rightarrow \tan { \theta  } +\csc { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } =-2\sqrt { 2 } -\frac { 3 }{ 2\sqrt { 2 }  } \\ =\frac { -11 }{ 2\sqrt { 2 }  } =\frac { -11\sqrt { 2 }  }{ 4 }$$ , 故選(A)。

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