100學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
$$A(x+5,y-3)在第二象限\Rightarrow x+5<0且y-3>0\\ \Rightarrow x+1<0且y+1>0\Rightarrow B(+,-)在第四象限$$ ，故選(D)。

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解： $$\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } +\cos { \frac { \pi  }{ 2 }  } +\tan { \frac { 3\pi  }{ 4 }  } =\frac { 1 }{ 2 } +0-1=-\frac { 1 }{ 2 }$$ ，故選(B)。

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解： $$\frac { \pi  }{ 2 } <\theta <\frac { 3\pi  }{ 2 } ,\tan { \theta  } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -3 }{ 5 } ,\sin { \theta  } =\frac { -4 }{ 5 } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { -4 }{ 5 } +\frac { -3 }{ 5 } =\frac { -7 }{ 5 }$$ ，故選(B)。

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解：

-480+360+360=240，故選(D)。

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解： $$2\sin ^{ 2 }{ \theta  } +5\cos { \theta  } -4=0\Rightarrow 2\left( 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  \right) +5\cos { \theta  } -4=0\\ \Rightarrow 2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -5\cos { \theta  } +2=0\Rightarrow \left( 2\cos { \theta  } -1 \right) \left( \cos { \theta  } -2 \right) =0\\ \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 }$$ ，故選(B)。

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解： $$a=\sin { 840° } =\sin { \left( 840°-360°\times 2 \right)  } =\sin { 120° } =\sin { 60° } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \\ b=\cos { \left( -840° \right)  } =\cos { 840° } =\cos { 120° } =-\cos { 60° } =-\frac { 1 }{ 2 } \\ c=\tan { 840° } =\tan { 120° } =\frac { \sin { 120° }  }{ \sin { 120° }  } =\frac { \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  }{ -\frac { 1 }{ 2 }  } =-\sqrt { 3 }$$ ，故選(A)。

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解：

由長除法可知: a=4, b=-3, c=16。因此6a+6b+c=24-18+16=22，故選(D)。

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解： $$f\left( 0 \right) =f\left( -1 \right) =f\left( \frac { 3 }{ 2 }  \right) =0\Rightarrow f\left( x \right) =ax(x+1)(x-\frac { 3 }{ 2 } )\\ f\left( 3 \right) =18\Rightarrow a\times 3\times 4\times \left( 3-\frac { 3 }{ 2 }  \right) =18\Rightarrow a=1\\ \Rightarrow f\left( 4 \right) =4\times 5\times \left( 4-\frac { 3 }{ 2 }  \right) =50$$ ，故選(D)。

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解： $$x=3^n+3^n+3^n=3\cdot 3^n=3^{n+1}\Rightarrow x^2={\left(3^{n+1}\right)}^2=3^{2n+2}$$ ，故選(B)。

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解： $$6^x-3^x+2^x-1=0\Rightarrow 3^x2^x-3^x+2^x-1=0\Rightarrow 3^x(2^x-1)+2^x-1=0 \\ \Rightarrow (3^x+1)(2^x-1)=0\Rightarrow 2^x=1\Rightarrow x=0\Rightarrow 6^x=1$$ ，故選(A)。

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解： $$\log { 15 } =\log { 3 } +\log { 5 } =\log { 3 } +1-\log { 2 } =1-a+b$$ ，故選(B)。

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解： $$\frac { \log _{ 3 }{ 2 } +\log _{ 9 }{ 4 }  }{ \log _{ 3 }{ 8 } +\log _{ 9 }{ 16 }  } =\frac { \log _{ 3 }{ 2 } +\log _{ 3 }{ 2 }  }{ 3\log _{ 3 }{ 2 } +2\log _{ 3 }{ 2 }  } =\frac { 2\log _{ 3 }{ 2 }  }{ 5\log _{ 3 }{ 2 }  } =\frac { 2 }{ 5 }$$ ，故選(A)。

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解： $$\triangle ABC=\overline{BC}\times (A至L距離)\div 2 =3\times \frac{10}{5}\div 2 = 3$$ ，故選(C)。

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解： $$\overrightarrow{AB}=(12,-4),\overrightarrow{BC}=(a-10,a+2),兩向量平行\Rightarrow \frac{12}{a-10}=\frac{-4}{a+2}\Rightarrow a=1$$ ，故選(C)。

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解：

將交點A,B,C,D代入f, 可得f(A)=18, f(B)=8, f(C)=-8, f(D)=0，最大值為18，故選(C)。

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解： $$3x-2y=8的斜率為\frac{3}{2}\Rightarrow ax+by=1的斜率為\frac{-2}{3}\Rightarrow \frac{-a}{b}=\frac{-2}{3}\Rightarrow 3a=2b\\ (4,5)在ax+by=1之上\Rightarrow 4a+5b=1\Rightarrow 4\times\frac{2b}{3}+5b=1\Rightarrow b=\frac{3}{23},a=\frac{2}{23}\\ \Rightarrow a+b=\frac{5}{23}$$ ，故選(C)。

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解： $$x^2+y^2+6x-8y-11=0\Rightarrow {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2 =6^2 \Rightarrow 半徑=6\\新位置的圓半徑=6\times \frac{1}{2}=3\Rightarrow 小圓方程式 {\left(x-3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2 =3^2\\ \Rightarrow x^2+y^2-6x+8y+16=0$$ ，故選(B)。

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解： $$x^2+y^2-8x+7=0\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2+y^2=3^2 \Rightarrow 圓心(4,0), 半徑=3\\ 圓內需符合{\left(x-4\right)}^2+y^2<3^2; 圓外需符合{\left(x-4\right)}^2+y^2>3^2$$ ，故選(C)。

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解：
先把中文書綁在一起，變成中文書1本、日文書1本及英文書1本，共有3!=6種排法；
兩本中文書綁在一起有兩種綁法(1左1右,或相反)，因此全部共有6x2=12種排法，故選(C)。

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解：

任兩點形成一直線, 共有C(12,2)=66條直線，故選(C)。

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解：

3球皆為紅色或白球的機率: [C(4,3)+C(3,3)]/C(9,3) = 5/84，故選(A)。

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解：

有喝的人共有18+7-2=23人，都沒喝的=33-23=10，故選(D)。

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解：
總上課時數=6+5+6+4+4=25，因此加權平數為 $$75\times \frac{6}{25}+ 70\times \frac{5}{25}+ 80\times \frac{6}{25}+ 65\times \frac{4}{25}+ 65\times \frac{4}{25}\\ = \left(450+350+480+260+260\right)\div 25 = \frac{1800}{25}=72$$ ，故選(B)。

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解：
$$35-y=12\Rightarrow y=23; 44-35=z\Rightarrow z=9; y-9=x \Rightarrow x=23-9=14 \\ \Rightarrow x+y+z=14+23+9=46$$ ，故選(A)。

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解：
第二組資料是第一組資料的兩倍再減3，所以算術平均數也是變為兩倍再減三，即b=36-3=33;
標準差變為原來的兩倍，即a=2x3=6。因此b-a=33-6=27，故選(D)。

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