105年國中教育會考數學詳解

試題來源：心測驗中心

解：

直接代入各選項，可得-3+2=-1，故選(A)。

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解： $$\left[ -5-(-11) \right] \div \left( \frac { 3 }{ 2 } \times 4 \right) =6\div 6=1$$ ，故選(A)。

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解： $$(2x+1)(x-1)-(x^2+x-2)=(2x+1)(x-1)-(x+2)(x-1)\\=(x-1)[(2x+1)-(x+2)]=(x-1)(x-1)=x^2-2x+1$$ ，故選(A)。

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解： $$10^2\pi\times \frac{54}{360}=100\pi \times \frac{3}{20}=15\pi$$ ，故選(C)。

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解： $$由題意可知: \overline{AB}=3, \overline{BC}=5，又原點距B較近，因此O在B、C之間$$ ，故選(C)。

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解： $$(7x+a)(bx+c)=7bx^2+(7c+ab)x+ac=77x^2-13x-30\\ \Rightarrow 7b=77, 7c+ab=-13, ac=-30\Rightarrow 7c+11\times \frac{-30}{c}=-13 \\ \Rightarrow 7c^2+13c-330=0 \Rightarrow (7c+55)(c-6)=0 \Rightarrow c=6 \quad c\neq \frac{-55}{7}\because\quad c為整數\\ \Rightarrow b=11, c=6, a=-5 \Rightarrow a+b+c=12$$ ，故選(C)。

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解：
甲班投進8球的人最多、乙班投進6球的人最多，所以a=8,b=6
甲班有5+15+20+9=49人，中位數為第25人投的球數，即8球，c=8
乙班有25+5+15+10=55人，中位數為第28人投的球數，即7球，d=7

因此a>b, c>d，故選(A)。

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解：

$$\angle FEC=90\Rightarrow \angle DEC=90-\angle AEF=90-15=75 \\ \Rightarrow \angle D=180-\angle DEC-\angle DCE = 180-75-35=70 \Rightarrow \angle B=\angle D=70$$ ，故選(C)。

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解：
$$小昱的等差數列:a_1=1, d=2, a_n=101\Rightarrow 1+(n-1)\times 2=101\Rightarrow n=51\\阿帆的等差數列:b_1=1,d=7 \Rightarrow b_{51}=1+(51-1)\times 7=351$$ ，故選(B)。

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解：

甲箱抽中紅球及乙箱抽出紅球的機率=(1/4).(1/3)=1/12
甲箱抽中黃球及乙箱抽出黃球的機率=(1/4).(1/3)=1/12
因此甲乙兩箱同時抽中相同色球的機率為1/12+1/12=1/6
，故選(B)。

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解：
選項(A)與(C)不在第三象限
x+4=0在(-3,0)的左邊，可能與圖形不相交
y+4=0在(0,-5)的上方，並在(-3,0)的下方，一定與圖形在第三象限相交，故選(D)。

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解：

$$\overline{DE}是中垂線\Rightarrow \angle DBC=\angle DCB=a, 且\angle BDE=\angle EDC=b \\又\overline{DB}是角平分線\Rightarrow \angle ADB = \angle BDE = b \\ \Rightarrow 3b=180 \Rightarrow b=60 \Rightarrow 2a+2b=180 \Rightarrow 2a=60 \Rightarrow a=30 \\ \angle ABD = 180-\angle A-\angle DBE-\angle C = 180-58-30-30=62$$ ，故選(D)。

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解：
$$\left(\frac{x}{4}\right)\times \left(\frac{x}{4}\right)=20\Rightarrow x^2=320\Rightarrow x=8\sqrt{5}\approx 17.8\\若不知道\sqrt{5}\approx 2.2, 可以由17^2=289, 18^2=324知其範圍$$ ，故選(B)。

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解：

$$\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD 皆為等腰 \\ \Rightarrow \angle A=\angle OBA=65 , \angle OBC=\angle OCB=a, \angle OCD=\angle D=60\\ \Rightarrow 五邊形內角和=3\times 180=540 \Rightarrow 2a = 540-150-65-65-60-60=140\\ \Rightarrow a=70\Rightarrow \angle BOC=180-2a=40=\widetilde { BC }$$ ，故選(B)。

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解：

$$令丁的股長為a\\ \Rightarrow 甲=乙=2a, 丙=2, 丁=\frac{a^2}{2}\\ \Rightarrow 甲+乙=丙+丁\Rightarrow 2a+2a=2+\frac{a^2}{2}\Rightarrow a^2-8a+4=0\\ \Rightarrow a=\frac{8-\sqrt{48}}{2}, 由於a<2, 所以另一根不合\Rightarrow a=4-2\sqrt{3}$$ ，故選(D)。

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解：

$\overline{AP}:\overline{PD}=4:1=\overline{AQ}:\overline{QE} \Rightarrow \overline{PR}//\overline{DC}\Rightarrow q=r$

又$\overline{AC}>\overline{AE}\Rightarrow \frac{1}{5}\overline{AC}>\frac{1}{5}\overline{AE}\Rightarrow \overline{RC}>\overline{QE}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
36是12的倍數，也是18的倍數，而12與18的最小公倍數是36，因此a是36的倍數。a可能是36,72,108...，但a介於50與100之間，所以a=72。
a=72=12x6, 假設b=12xm，m與6需互質(因為12是a與b的取小公倍數)，因此m的因數不能有2(也不能有3)，所以b不是8的倍數。
故選(B)。

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解：
令水桶與鐵柱的底面積半徑分別為2m、m；
水面高度=總水量除以水桶底面積，即 $$\frac{{\left(2m\right)}^2\pi\times 12 - m^2\pi\times 12}{{\left(2m\right)}^2\pi}=\frac{36m^2\pi}{4m^2\pi}=9$$ ，故選(D)。

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解：
使用兩年的總花費，即每月花費加上手機價錢。
甲方案：24x+15000
乙方案：600x24+13000
乙比甲便宜，即 $$600\times 24+13000<24x+15000 \Rightarrow 12400<24x \Rightarrow 516.6<x$$ ，故選(C)。

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解：

$$半徑\overline{CD}=\overline{CE}\Rightarrow {\overline{EC}}^2={\overline{EB}}^2+{\overline{BC}}^2\Rightarrow {\left(\frac{17}{3}\right)}^2={\overline{EB}}^2+5^2\Rightarrow \overline{EB}=\frac{8}{3}\\ \overline{EF}=\overline{AF}+\overline{EB}-\overline{AB}=5+\frac{8}{3}-\frac{17}{3}=2$$ ，故選(A)。

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解：

令$P=(x_1,0)、Q=(x_2,0)，(x_1+x_2)/2=2$且$x_2-x_1=6$，因此$x_1=-1,x_2=5$，如上圖。 $$假設y=px^{ 2 }+qx+r，且經過(-1,0),(5,0)及(2,-1)\\ \Rightarrow \begin{cases} p-q+r=0 \\ 25p+5q+r=0 \\ 4p+2q+r=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p=\frac { 1 }{ 9 }  \\ q=\frac { -4 }{ 9 }  \\ r=\frac { -5 }{ 9 }  \end{cases}\Rightarrow y=\frac { 1 }{ 9 } { x }^{ 2 }-\frac { 4 }{ 9 } x-\frac { 5 }{ 9 } \\ \Rightarrow \begin{cases} x=1\Rightarrow a=\frac { 1 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 9 } -\frac { 5 }{ 9 } =-\frac { 8 }{ 9 }  \\ x=3\Rightarrow b=\frac { 9 }{ 9 } -\frac { 12 }{ 9 } -\frac { 5 }{ 9 } =-\frac { 8 }{ 9 }  \\ x=-1\Rightarrow c=\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 4 }{ 9 } -\frac { 5 }{ 9 } =0 \\ x=-3\Rightarrow d=\frac { 9 }{ 9 } +\frac { 12 }{ 9 } -\frac { 5 }{ 9 } =\frac { 16 }{ 9 }  \end{cases}$$ ，故選(D)。
另解：由於圖形向上，因此介於P、Q間的點，其Y值皆小於等於0，即$-1\le   x\le   5\Rightarrow   y(x)\le   0$；只有-3不在其間，故選(D)。這樣就不用求聯立方程式的解！

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解： $$\begin{cases}\overline{AE}=\overline{EB}\\ \angle A=\angle B\\ \overline{AD}=\overline{BC} \end{cases} \Rightarrow \triangle AED \cong \triangle BEC \Rightarrow \overline{ED}=\overline{EC} \Rightarrow \triangle DEC 為等腰 \\ \Rightarrow \angle DEC 的角平分會經過圓心$$ 此外，圓上任一弦之中垂線也會經過圓心，所以甲的作法正確；
E為中點，PDCQ亦為矩形，其對角線交點至P、點D、點C、點Q均相等，該交點就是圓心。故選(A)。

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解：

$$正六角形每一內角=(6-2)\times 180 \div 6 = 120° \Rightarrow \angle AFC=120\div 2=60°\\ \overline{CF}可視為正六角形外接圓的直徑\Rightarrow \angle CAF=90°\\P為內心\Rightarrow \angle FAP=45°\Rightarrow \overline{GA}=\overline{GP}\\ \triangle FGP 與 \triangle FOP 全等 \Rightarrow \overline{GP}=\overline{PO}\\ a+\sqrt{3}a=2\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}\Rightarrow \overline{PQ}=2a=\frac{4}{\sqrt{3}+1}=2\left(\sqrt{3}-1\right)$$ 故選(C)。

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解：
OA:AP=1:3, 令OA=m, AP=3m
OB:BP=3:5, 令OB=3n, BP=5n
AP=m+3m=3n+5n，即4m=8n, m=2n
三段細線長度分別是AO, 2AB,PB-AB
AO=m=2n
2AB=2(3n-m)=2(3n-2n)2n
PB-AB=5n-(3n-m)=2n+m=4n
因此長度比=2n:2n:4n=1:1:2
故選(B)。

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解：

$${\overline{FC}}^2={\overline{FD}}^2+{\overline{DC}}^2=7^2+24^2={25}^2\Rightarrow \overline{FC}=25=\overline{AF}\Rightarrow \overline{FN}為\overline{AC}的中垂線$$

故選(C)。

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解：
$$\angle ADC=\angle BAD+\angle B \Rightarrow 60=30+\angle B \Rightarrow \angle B=30 \\ \Rightarrow \triangle DAB 為等腰\Rightarrow \overline{AD}=\overline{BD}\\ \overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle B=\angle C=30\Rightarrow \angle DAC=180-\angle C - \angle ADC = 180-30-60=90\\ 直角\triangle ADC三內角為30, 60, 90 \Rightarrow \overline{DC}=2\overline{AD}, 而\overline{AD}=\overline{BD}，因此\overline{CD}=2\overline{BD}$$

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解：

$$(1)\overline{DQ}=x\Rightarrow \overline{PD}=2x \Rightarrow \triangle PDQ=\overline{PD}\times\overline{DQ}\div 2=x^2\\ (2)\begin{cases} \triangle PDQ面積= x^2 \\ \triangle CPR面積= \overline{PC}\times \overline{CR}\div 2= (12-2x)^2 \div 2 \\ 正方形ABCD面積= 12^2=144\end{cases} \\\Rightarrow 五邊形PQABR面積= 正方形ABCD減去三角形PDQ 再減去三角形CPR \\=12^2-x^2-{(12-2x)}^2\div 2 = 144-x^2-(144-48x+4x^2) \div 2 \\= 144-x^2- (72-24x +2x^2) = -3x^2+24x+72 = -3(x^2-8x-24) \\=-3 (x^2-8x+16-40) = -3((x-4)^2-40) = -3{(x-4)}^2+120 \\\Rightarrow 當x=4時，五邊形PQABR面積有最大值120$$

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