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2017年6月29日 星期四

106年師大附中特招數學詳解



解:
函數y=x24x+a向右平移m個單位,變成y=(xm)24(xm)+a
再向上平移6個單位,變成y=(xm)24(xm)+a+6=x2(2m+4)x+m2+4m+a+6。此函數與y=x210x+b相等,即{2m+4=10m2+4m+a+6=b{m=39+12+a+6=b{m=327+a=bba=27,故選(3)



解:
CAD=a,如上圖。因此在ABC中,41+38+a+3=180,即3+a=101;
同理,ADE中,40+38+a+2=180,即2+a=102;
因此23=102101=12>3,故選(2)


解:
令甲的兩邊長分別a及b、乙的兩邊長分別b及c、丙的兩邊長分別a及c,如上圖。
甲為底面時,側面面積=2ac+2bc=240,即c(a+b)=120--------(1)
甲的周長=2(a+b)=40,即a+b=20-------(2);丙的周長=2(a+c)=30,即a+c=15-------(3);
由(1)及(2)可知c=6,再由(3)可得a+6=15,a=9,所以a=9,b=11,c=6。
乙的周長=2(b+c)=2(11+6)=34,故選(2)




解:
正常速度播放需要30×1.2=36分鐘,阿芬、大雄看完影片相差的時間為361.5361.8=36(2359)=36×19=4,故選(1)


解:

依題意:a=111x136, b=111x137...m=114x136...p=114x139
因此a+b+c+..+p=111(136+137+138+139)+112(136+137+138+139)+113(136+137+138+139)+114(136+137+138+139)=(111+112+113+114)(136+137+138+139)=450×550=247500,故選(3)




解:
官方貼圖有y組代表原創貼圖也有y組,所以x=2y。
收入=100y+20y=50x+20y,故選(2)


解:
假設訂購柳橙汁a杯、芒果冰沙b杯,則a+b=8。
滿足二聖分店外送條件,即35a+80b350
不滿足一心分店外送修件,即40a+75b<400{a+b=835a+80b35040a+75b<400{a+b=87a+16b708a+15b<80{a+b=8b149b<167{a=6b=2ab=4,故選(3)



解:
假設擲骰子三次的點數分別a、b、c,則(a+b)(b+c)=40a+b=24581020b+c=20108542 若a+b=2, 則a=b=1, b+c不可能是20;同理,若a+b=4, b最小可為1, b+c不可能是10。因此只剩下以下情況: a+b=58b+c=85a=123456b=432432c=456123a+b+c=9,10,11,故選(4)



解:BCPBPD=¯CP¯DP270+32460+336=594396=¯CP¯DP¯CP>¯DPABCBPCABCBPC=¯AB¯CP165+60+270270+324=495594=¯AB¯CP¯CP>¯AB

AEP=a()APD=330+336a=666a,可得下圖:
ABPADP=¯AB¯DP165+60+270396=495396=¯AB¯DP¯AB>¯DP¯CP>¯AB>¯DP(1)


:由圖(四)可知:圓圈圈圖案的鄰邊是星星及矩形,而且星星與矩形不相鄰(在相互的對面),故選\bbox[red,2pt]{(4)}。


解:
依題意:19位學生(稱為甲群)擲出點數低於4,另19位學生(乙群)擲出點數大於4、1人擲出4。
假設班長擲出點數a、副班長擲出點數b
(1)若a=3,b=6,則中位數仍為4,平均數=(39×4+3+6)÷41=4.02>4,選項(1)是可能的;
(2)若a=1,b=5,則中位數仍為4,平均數=(39×4+1+5)÷41=3.95<4,選項(2)是可能的;
(3)若甲群學生皆擲出3點、乙群學生皆擲出5點,且a=b=3,則中位數=3,平均數=(21×3+4+19×5)÷41=3.95<4,選項(3)也是可能的。
(4)平均數=4代表,a與b其中一個大於4、另一個小於4,則中位數維持不變,仍為4,因此選項(4)是不可能的。




解:
正面為1的牌,其背面為9,所以將此牌翻面後,數值差為8。
31變成47,相差47-31=16=兩張1翻成兩張9的差值。
因此桌上的牌原來是二張10、一張9、二張1及5張0,數字和=20+9+2=31;
將二張1翻成二張9後,數字和=20+9+18=47,故選(2)


解:
假設152位男學生中有a位穿著夏季服裝,則152-a位穿著冬季服裝
假設143位女學生中有b位穿著夏季服裝,則143-b位穿著冬季服裝
160位學生穿著冬季服裝代表(152-a)+(143-b)=160,即a+b=135
230位學生穿著長褲代表a+160=230,即a=70;因此b=135-70=65。
152-a=152-70=82,故選(4)



解:
(扣掉數值小的數,剩餘數之平均數)大於(扣掉數值大的數,剩餘數之平均數)
因此扣掉最小數的其它8個數的平均值是最大的、扣掉第2小的其它8數平均值是第二大,扣掉第3小的其它8數平均值是第三大的。
因此第1名是3號、第2名是4號、第3名是6號,故選(3)



解:
先證明BEAAFP
1.BEA=AFP=90
2.  弦切角BAPCBA所對應的圓弧一樣大,所以EBA=FAP
由以上兩點可知兩者相似,所以¯EB¯AB=¯AF¯AP252a=a32a=20¯AC=¯AB=2a=40APBC=¯AP+¯PB+¯BC+¯CA=32+32+50+40=154,故選(2)




解:
ADP=a,如下圖。
由於¯DP=¯DPDPC=DCP=(180-32)/2=74
ADC=ABC58+PBC=a+32PBC=a26
ADC+DCB=180a+32+74+PCB=180PCB=74-a
PBCPBC+PCB+BPC=180
a26+PCB+74a=180PCB = 180+26-74=132,故選2


解:
100個盒子以b1,b2,...,b100表示,一開始b1=b2=...=b100=0
14位同學的號碼分別是a1=5,a2=12,a3=19,..,a14=96
第1位同學操作後
b1=b2=...=b4=0,b5=b6=...=b100=1
第2位同學操作後
b1=b2=...=b4=0,b5=b6=...=b11=1,b12=...=b100=0
....
所有同學操作後bk={0n=11k=ann0k=annbk1所以空盒子有4(b1..b4)+6×7+5(b96..b100)=51,故選(3)




¯AB=m¯BE=¯EC=m2
又令EAB=aAEB=b=90a,如上圖
PEC+b=90a+b=90PEC=a,因此ABEECP符合AAA條件,兩者相似。
由於ABEECP¯PC=¯EC÷2=m4¯PE=5m4
¯AB¯BE=2¯AE¯EP=5m25m4=2所以ABEAEP2=a
1=90a2=902a3=9012=a1=3
比較兩直角三角形ABEADP,由於¯AB=¯AD=m,但¯DP=¯DC¯PC=mm4=3m4>¯BE1>a=2=3 故選(1)




此圖型如上,或與X軸對稱之圖型
若|a|=|c|,則令c=-a,經過A、C兩點的方程式為  5y=-2ax+9a
若該方程式經過(k,0),則k=4.5;
若|b|=|c|,則令c=-b,經過B、C兩點的方程式為 3y=-2bx+11b
若該方程式經過(k,0),則k=5.5;
故選(3)




OED=a,則AEO=119a
由於ABOE為平行四邊形,所以ABO=AEO=119a,且A=BOE=(360ABOAEO)÷2=61+a。
由於O為外心且ABOE為平行四邊形,所以ABOE其實是菱形。因此A2=AEO61+a=2382aa=59EOD=1802a=180118=62
,故選(4)


解:

3的周圍需填滿、且其中有兩個地雷在5的範圍內,所以對5而言,還缺3個地雷,因此2和1的
地雷必須在5的範圍內。因此結果如上圖,地雷數為(6)




假設一次購買兩份冰淇淋的有a人次、只買一份的有b人次。依題意:{120<a<130309a+200b=65007由於9必須乘上個位數為3的數,其積的個位數才會是7。因此a=123,即309×123+200b=65007 38007+200b=65007,可求得b=135


解:

¯AE=¯AB=21¯AE:¯ED=7:3,¯ED=9

令E為原點,直線¯AD為x軸、¯EC為y軸,則各點座標如上圖。
因此可求得直線¯CD的方程式為4x-3y=36,點A至該直線的距離=|4×(21)3642+32|=1205=24,所以答案為24


解:
由題意可知該數列為:1、2、0、1、2、0、1、2、0、.....
數列的平方為:1、4、0、1、4、0、.....
若三個一組:[1、4、0]、[1、4、0]、.....=[5]、[5]、....
總和為106=5x21+1,也就是有21組,再加上1,因此共有21x3+1=64項。



解:
6=5+1
=4+2=4+1+1
=3+3=3+2+1=3+1+1+1
=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1
共有10種寫法


解:
有等根代表a252b=0a2=52b。令a=52n, 則b=n2×52
n2×52<2017n=6a=52×6=312,a的最大值為312



甲→A→D→C→B→乙;甲→A→D→B→C→乙;
甲→A→B→D→C→乙;甲→A→B→C→D→乙;
甲→B→A→D→C→乙;
甲→C→B→A→D→乙;甲→C→D→A→B→乙;
7種走,


解:
a3=2|a23|42=2|a23|4|a23|=3a2=6,0
a2=6a2=2|a13|46=2|a13|4|a13|=5a1=8,2
a2=0a2=2|a13|40=2|a13|4|a13|=2a1=5,1
所有首項的總和為8-2+5+1=12




除原題意的四條直線外,還包括:
¯P1Q1,¯P2Q3,{P3,P4,P5}{Q1,Q2,Q3}9條直線及¯P6Q2,共計4(題意)+1+1+9+1=16,所以共有16條直線。


解:
由於an必須是3的倍數,僅需考量an=3,6,9三種情況
an=310n<16bn=1,符合條件,共6個;
an=636n<4940n48bn=2,符合條件,共9個;
an=981n<10090n99bn=3,符合條件,共10個;
因此共有6+9+10=25個n符合條件。

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