類別：國民小學
科目：數學能力測驗
選擇題
1.從50到99的整數中，其十位數和個位數的數字都不同的整數(例如：74、85等)共有多少個？
(A) 47
(B) 46
(C) 45
(D) 44
(A) 47
(B) 46
(C) 45
(D) 44
解：
50~59 有9個(不含55)、60~69 有9個(不含66)、...、90~99 有9個(不含99)，
因此共有9x5=45，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
因此共有9x5=45，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
2.若 a=\({10003}^2\)，則 a 值的所有數字總和為何？
(A) 16
(B) 10
(C) 9
(D) 6
(A) 16
(B) 10
(C) 9
(D) 6
解：
\(10003^2={(10000+3)}^2=10000^2+2\times 10000\times 3+3^2 = 100000000+60000+9\)
=100060009，數字總和=1+6+9=16，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
=100060009，數字總和=1+6+9=16，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
3.將三張相同的正方形色紙(大小如甲圖)，分別用剪刀以垂直或水平方向剪出乙、丙、丁三個圖：
問剪出的圖形中何者的周長最長？
(A) 乙圖
(B) 丙圖
(C) 丁圖
(D) 都一樣長
(A) 乙圖
(B) 丙圖
(C) 丁圖
(D) 都一樣長
解：
甲、乙、丙都是凸邊形，周長相等。只有丁是凹邊形，周長比凸邊形長，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
4.某建物的面積是40坪，問權狀上登記的面積約是多少平方公尺？( 1平方公尺=0.3025坪)
(A) 12.10
(B) 24.20
(C) 66.12
(D) 132.23
(A) 12.10
(B) 24.20
(C) 66.12
(D) 132.23
解：
\(40\div 0.3025\approx 40\div 0.3=40\times 10\div 3=400\div 3=133\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
5.有四個算式如下：
甲、31×(59+87)=31×59+31×87
乙、(59+87)×31=59×31+87×31
丙、31÷(59+87)=31÷59+31÷87
丁、(59+87)÷31=59÷31+87÷31
請判斷哪些算式是正確的？
(A) 只有甲、乙
(B) 只有丙、丁
(C) 只有甲、乙、丁
(D) 甲、乙、丙、丁
甲、31×(59+87)=31×59+31×87
乙、(59+87)×31=59×31+87×31
丙、31÷(59+87)=31÷59+31÷87
丁、(59+87)÷31=59÷31+87÷31
請判斷哪些算式是正確的？
(A) 只有甲、乙
(B) 只有丙、丁
(C) 只有甲、乙、丁
(D) 甲、乙、丙、丁
解：
只有丙是錯的，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
6.若 a 與 a+2 為方程式 \(x^2+2x+k=0\) 的解，則 a 之值為何？
(A) -4
(B) -2
(C) 0
(D) 2
(A) -4
(B) -2
(C) 0
(D) 2
解：
兩根之和=-2，即a+a+2=-2，因此a=-2，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
7.若某多邊形有一角為 90°、其它的角均為 135°，則此多邊形有幾個邊？
(A) 9
(B) 8
(C) 7
(D) 6
(A) 9
(B) 8
(C) 7
(D) 6
解：
假設該圖為n邊形，內角總和=\((n-2)\times 180\)，依題意也等於\(90+(n-1)\times 135 \)
\(\Rightarrow 45n=315\Rightarrow n=7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
\(\Rightarrow 45n=315\Rightarrow n=7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
8.在方格紙上有三個平行四邊形，如下圖：
問哪一個平行四邊形的面積最大？
(A) 甲
(B) 乙
(C) 丙
(D) 都一樣大
(A) 甲
(B) 乙
(C) 丙
(D) 都一樣大
解：
三個圖形的上底、下底及兩底之間的高都一樣，所以面積一樣，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
9.有關「正三角錐」的描述，下列敘述何者恆真？
(A) 有3個面
(B) 有9個邊
(C) 底面為正三角形
(D) 側面為正三角形
(A) 有3個面
(B) 有9個邊
(C) 底面為正三角形
(D) 側面為正三角形
解：
正三角錐的底面是正三角形，但側面不一定是正三角形，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
10.在 ∆ABC 中，已知 ∠A 的外角是 150°、∠B 的外角是 80°；問 ∠C 的外角是幾度？
(A) 50°
(B) 70°
(C) 110°
(D) 130°
(A) 50°
(B) 70°
(C) 110°
(D) 130°
解：
∠A 的外角是 150° =>∠A=180-150=30；∠B 的外角是 80°=>∠B=180-80=100；
∠C的外角 =∠A+∠B= 30+100=130，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
∠C的外角 =∠A+∠B= 30+100=130，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
合計為100%，所以使用圓形圖，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
12.有甲、乙兩個袋子，甲袋共有1000顆一樣的球，其中300顆黑色、700顆白色；乙袋共有20顆一樣的球，其中6顆黑色、14顆白色。從甲袋和乙袋各隨機抽取一顆球 出來，下列敘述何者正確？
(A) 甲袋抽到黑球的機率大於乙袋抽到黑球的機率
(B) 甲袋抽到黑球的機率等於乙袋抽到黑球的機率
(C) 甲袋抽到黑球的機率小於乙袋抽到黑球的機率
(D) 因為兩個袋子球數不同，所以無法比較機率
(A) 甲袋抽到黑球的機率大於乙袋抽到黑球的機率
(B) 甲袋抽到黑球的機率等於乙袋抽到黑球的機率
(C) 甲袋抽到黑球的機率小於乙袋抽到黑球的機率
(D) 因為兩個袋子球數不同，所以無法比較機率
解：
甲袋抽到黑球的機率=300/1000=0.3；乙袋抽到黑球的機率=6/20=0.3
兩者相同，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
兩者相同，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
13.設 x、y、z 代表由1、2、3、4、5、6、7、8等八個數字中選出的三個相異數字， 使得 \(\frac{x}{y}\div\frac{x}{z}\)為最小值時，其 y+z 之值為何？
(A) 5
(B) 9
(C) 15
(D) 57
(A) 5
(B) 9
(C) 15
(D) 57
解：
\(\frac{x}{y}\div\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)，當z=1, y=8時，該值最小，此時y+z=9，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
14.有一直徑8的圓，將該圓平分成八個扇形後，再重新排列，如下圖：
問此圖形的周長最接近下列哪一個整數？
(A) 25
(B) 33
(C) 51
(D) 66
(A) 25
(B) 33
(C) 51
(D) 66
解：
該圖形周長=圓周長+2個半徑=\(8\pi+8\approx 25+8=33\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
15.食譜上標示醬油使用量為量杯容量的 1/6，小明誤將 1/6 看成 1/4，在使用24次後，才發現看錯用量，此時醬油已剩原來的 1/3。若小明一開始即正確使用醬油，問這瓶 醬油可使用多少次？
(A) 18
(B) 36
(C) 54
(D) 108
(A) 18
(B) 36
(C) 54
(D) 108
解：
假設量杯的容量為a公升，使用24次的1/4量杯共用了6a公升
「醬油已剩原來的 1/3」代表用了2/3瓶醬油，因此一瓶醬油的容量為\(6a\div \frac{2}{3}\)=9a公升。
若正確使用量杯，可使用\(9a\div\frac{a}{6}=54\)次，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
「醬油已剩原來的 1/3」代表用了2/3瓶醬油，因此一瓶醬油的容量為\(6a\div \frac{2}{3}\)=9a公升。
若正確使用量杯，可使用\(9a\div\frac{a}{6}=54\)次，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
16.有一國小數學問題：「用36塊邊長30公分的正方形地磚，拼成不同的長方形；可以有幾種拼法？」，該問題適合用來建立哪一種數量關係？
(A) 積不變
(B) 商不變
(C) 差不變
(D) 和不變
(A) 積不變
(B) 商不變
(C) 差不變
(D) 和不變
解：
36塊地磚的總面積不變，無論拼成何種長方形，其長寬之積不變，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
17.有關「分配律」的教學，下列哪一個布題最適合用來引入？
(A) 一盒糖果12顆，小明買了3盒又8顆，小明共買了多少顆糖果？
(B) 一盒糖果12顆，小明買了3盒、小華買了8盒，二人共買了多少顆糖果？
(C) 一盒糖果12顆，每3盒裝成一箱，小華買了8箱，小華共買了多少顆糖果？
(D) 一盒糖果12顆，商品架上每排排了3盒糖果、排了8排，共有多少顆糖果？
(A) 一盒糖果12顆，小明買了3盒又8顆，小明共買了多少顆糖果？
(B) 一盒糖果12顆，小明買了3盒、小華買了8盒，二人共買了多少顆糖果？
(C) 一盒糖果12顆，每3盒裝成一箱，小華買了8箱，小華共買了多少顆糖果？
(D) 一盒糖果12顆，商品架上每排排了3盒糖果、排了8排，共有多少顆糖果？
解：
小明買了3盒、小華買了8盒，二人共買了(3+8)盒，即(3+8)x12顆糖果
小明買了3盒=3x12顆糖果、小華買了8盒=8x12顆糖果
小明買了3盒=3x12顆糖果、小華買了8盒=8x12顆糖果
上述兩數相等，即(3+8)12=3x12+8x12，符合分配律之定義，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
硬幣個數與總金額兩者間的關係，適合以函數關係圖表示，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
19.當學童學習「時間的計算」單元時，問下面哪一個題目較不適合當練習題？
(A) 爸爸開車從甲地到乙地，兩地距離80公里，開車速度為40公里/時；爸爸開車 花了多少時間？
(B) 媽媽早上7點從臺北搭車出發，當天9點到達臺中；媽媽從臺北到臺中花了多少時間？
(C) 連續播放一首歌曲五遍共需31分15秒，只播放一遍需要多少時間？
(D) 小娟每天練球50分鐘，12天共花了幾小時練球？
(A) 爸爸開車從甲地到乙地，兩地距離80公里，開車速度為40公里/時；爸爸開車 花了多少時間？
(B) 媽媽早上7點從臺北搭車出發，當天9點到達臺中；媽媽從臺北到臺中花了多少時間？
(C) 連續播放一首歌曲五遍共需31分15秒，只播放一遍需要多少時間？
(D) 小娟每天練球50分鐘，12天共花了幾小時練球？
解：
(A)題強調「距離=速度X時間」的概念，較不適合簡單的時間計算，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
由於人數僅皆小於10，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
「愈乘愈大，愈除愈小」(不用管真正的答案)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
22.有一乘法問題：「每枝筆的售價是5元，買3枝要花多少元？」；學童在解決此問題時，有下列四種策略：
甲、直接用 5×3=15 求得答案
乙、說出 5+5 是10，再說出 10+5 是15
丙、畫出5個圈圈代表5元，重複畫了3次，再一一點數所有圈圈
丁、拿出5個白色積木代表5元，並擺出3堆，再一一點數所有的白色積木
問這四種解題策略由具體至抽象的順序為何？
(A) 甲→乙→丙→丁
(B) 丙→丁→乙→甲
(C) 丁→乙→丙→甲
(D) 丁→丙→乙→甲
甲、直接用 5×3=15 求得答案
乙、說出 5+5 是10，再說出 10+5 是15
丙、畫出5個圈圈代表5元，重複畫了3次，再一一點數所有圈圈
丁、拿出5個白色積木代表5元，並擺出3堆，再一一點數所有的白色積木
問這四種解題策略由具體至抽象的順序為何？
(A) 甲→乙→丙→丁
(B) 丙→丁→乙→甲
(C) 丁→乙→丙→甲
(D) 丁→丙→乙→甲
解：
由實物的積木及圈圈代表抽象的數字，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
23.教師在課堂上請學童比較三個小數「0.536、0.6、0.59」的大小，有一學童回答「0.536>0.59>0.6」。問該學童回答錯誤的可能原因為何？
(A) 受到小數點的影響
(B) 受到整數概念的影響
(C) 受到分數概念的影響
(D) 對小數的位名不熟悉
(A) 受到小數點的影響
(B) 受到整數概念的影響
(C) 受到分數概念的影響
(D) 對小數的位名不熟悉
解：
受到整數536>59>6的影響，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
24.低年級的學童報讀時鐘的鐘面時，下列哪一個時刻最容易報讀錯誤？
(A) 2點5分
(B) 2點25分
(C) 2點30分
(D) 2點55分
(A) 2點5分
(B) 2點25分
(C) 2點30分
(D) 2點55分
解：
由於短針已非常接近3，容易讀錯，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
25.要理解「扇形面積」的計算公式時，下列何者最不可能是其先備知識？
(A) 圓形圖的意義
(B) 圓面積的公式
(C) 圓周率的意義
(D) 分數倍的意義
(A) 圓形圖的意義
(B) 圓面積的公式
(C) 圓周率的意義
(D) 分數倍的意義
解：
圓面積由數個扇面積組合和成，尚未提及圓形圖的意義，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
格線作為輔助圖形，較易判斷是否平形，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
27.在數學課堂上，教師請學童討論上學所攜帶水壺的裝水量；依據下列四位學童的描述，哪位學童對水壺裝水量的「量感」較佳？
(A) 大約是600毫升
(B) 大約是60公升
(C) 大約是30公克
(D) 大約是3公斤
(A) 大約是600毫升
(B) 大約是60公升
(C) 大約是30公克
(D) 大約是3公斤
解：
學童水壺相當坊間小瓶的礦泉水，約600CC，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
28.教師要進行有關劃記的統計活動，下列哪一種教學情境最不適合？
(A) 統計桌上花瓶中玫瑰花和康乃馨的數量
(B) 按座號逐一統計班上學童所喜歡動物種類的人數
(C) 統計下課時間從教室門口走過男生和女生的人數
(D) 從裝有四種顏色花片的袋中，統計逐次抽出各色花片的個數
(A) 統計桌上花瓶中玫瑰花和康乃馨的數量
(B) 按座號逐一統計班上學童所喜歡動物種類的人數
(C) 統計下課時間從教室門口走過男生和女生的人數
(D) 從裝有四種顏色花片的袋中，統計逐次抽出各色花片的個數
解：
花瓶的花排列紊亂，不易劃計，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
29.有一數學問題為：「一袋米 8/9 公斤，每 2/9 公斤可以裝成一包，問最多可以裝成幾包米？」。學童的解法為「8/9÷2/9=4」，並對答案「4」有不同的說法；問哪一位 學童說法是錯誤的？
(A) 4 是4包米
(B) 4 是4個 1/9 公斤
(C) 4 是4個 2/9 公斤
(D) 4 是 2/9 公斤的4倍
(A) 4 是4包米
(B) 4 是4個 1/9 公斤
(C) 4 是4個 2/9 公斤
(D) 4 是 2/9 公斤的4倍
解：
4 是4包米，1包米重2/9公斤，所以(B)是錯的，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
右斜線占大長方形的3/4，所以大長方形是1公畝；菊花占地\(\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{8}{15}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
二、非選擇題
(一) 普通數學計算題或證明題（需寫出演算過程或理由）
1.國際標準書號(ISBN)自2007年起將原先10碼制(舊制)改為13碼制(新制)。新制的 編碼方式是978加上舊制的前9碼，形成前12碼後再加上檢查碼；檢查碼的計算方式：令前12碼為 \(a_1 a_2 a_3…a_{12}\)，計算 \(S=1×a_1+3×a_2+1×a_3+3×a_4+⋯+3×a_{12}\)，得其個位數為M，則檢查碼 C=10-M；當 C=10 時，則檢查碼為0。現有一書 其ISBN舊制的編碼為957-678-443-3，要改為新制的編碼；試回答下列問題：
(1)前12碼為何？【2分】
(2) S為何？【2分】
(3)檢查碼為何？【1分】
(一) 普通數學計算題或證明題（需寫出演算過程或理由）
1.國際標準書號(ISBN)自2007年起將原先10碼制(舊制)改為13碼制(新制)。新制的 編碼方式是978加上舊制的前9碼，形成前12碼後再加上檢查碼；檢查碼的計算方式：令前12碼為 \(a_1 a_2 a_3…a_{12}\)，計算 \(S=1×a_1+3×a_2+1×a_3+3×a_4+⋯+3×a_{12}\)，得其個位數為M，則檢查碼 C=10-M；當 C=10 時，則檢查碼為0。現有一書 其ISBN舊制的編碼為957-678-443-3，要改為新制的編碼；試回答下列問題：
(1)前12碼為何？【2分】
(2) S為何？【2分】
(3)檢查碼為何？【1分】
解：
(1) 978+舊制的前9碼=978-957-678-443
(2)S=\(1\times 9+3\times 7+1\times 8+3\times 9+1\times 5+3\times 7+1\times 6+ 3\times 7\)+\(1\times 8+3\times 4+1\times 4+3\times 4\) = 9+21+8+ 27+5+21 +6+21+8 +12+4+9 =151
(3) M=1, C=10-1=9
(1) 978+舊制的前9碼=978-957-678-443
(2)S=\(1\times 9+3\times 7+1\times 8+3\times 9+1\times 5+3\times 7+1\times 6+ 3\times 7\)+\(1\times 8+3\times 4+1\times 4+3\times 4\) = 9+21+8+ 27+5+21 +6+21+8 +12+4+9 =151
(3) M=1, C=10-1=9
2.設二次函數 f(x)=\(x^2+4x+3\)，試回答下列問題：
(1) f(x) 的頂點為何？【2分】
(2)該頂點到直線 y=3 的距離為何？【3分】
解：
(1)f(x)=\(x^2+4x+3={(x+2)}^2-1\)，頂點座標為(-2, -1)
(2)(-2, -1)至y=3的距離為 1+3=4。
(1) f(x) 的頂點為何？【2分】
(2)該頂點到直線 y=3 的距離為何？【3分】
(1)f(x)=\(x^2+4x+3={(x+2)}^2-1\)，頂點座標為(-2, -1)
(2)(-2, -1)至y=3的距離為 1+3=4。
解：
(1)
總場次就是上圖紅色區域數字的總和，也就是20x6=120場
(2)12-1-7代表義大贏統一12場、平手1場、輸7場(3)
解：
\({\overline{OC}}^2={\overline{OF}}^2+{\overline{FC}}^2=4^2+6^2=52\Rightarrow \overline{OC}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)，半徑=\(2\sqrt{13}\)
(2)周長=\(2\overline{OC}\times\pi=4\sqrt{13}\pi\)
(二) 數學教材教法問答題
5.教師在國小數學教材中，發現下列三種情境類似且敘述相近的問題：
甲、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了全部的 1/3，小華吃了多少張蔥油餅？
乙、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了全部的 1/3 後，還剩下多少張蔥油餅？
丙、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了 1/3 張蔥油餅後，還剩下多少張蔥油餅？
試回答下列問題：
(1)依據上述三種問題的情境，學童從易到難的學習順序為何？【2分】
(2)請就甲、丙兩題，分別比較其教學內涵的差異。【3分】
解：
(1)從易到難的學習順序為: 丙→甲→乙
(2)丙題只需要使用分數的減法，而甲題需用到分數的乘法及減法。
5.教師在國小數學教材中，發現下列三種情境類似且敘述相近的問題：
甲、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了全部的 1/3，小華吃了多少張蔥油餅？
乙、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了全部的 1/3 後，還剩下多少張蔥油餅？
丙、爸爸買了2張蔥油餅，小華吃了 1/3 張蔥油餅後，還剩下多少張蔥油餅？
試回答下列問題：
(1)依據上述三種問題的情境，學童從易到難的學習順序為何？【2分】
(2)請就甲、丙兩題，分別比較其教學內涵的差異。【3分】
(1)從易到難的學習順序為: 丙→甲→乙
(2)丙題只需要使用分數的減法，而甲題需用到分數的乘法及減法。
6.在進行「圓、正方形、長方形、三角形」基本平面圖形分類的教學活動時，請說明教師準備教具時的考量：
(1)每種基本圖形要準備多個且大小不同的原因為何？【2分】
(2)要準備多個三角形時，需考慮哪些不同特性的三角形？【2分】
(3)應避免「長和寬相當接近的長方形」的原因為何？【1分】
解：
(1)每種圖形並非只有一種
(2)銳角三角形、鈍角三角形及直角三角形、
(3)避免長方形與正方形的混淆
(1)每種基本圖形要準備多個且大小不同的原因為何？【2分】
(2)要準備多個三角形時，需考慮哪些不同特性的三角形？【2分】
(3)應避免「長和寬相當接近的長方形」的原因為何？【1分】
(1)每種圖形並非只有一種
(2)銳角三角形、鈍角三角形及直角三角形、
(3)避免長方形與正方形的混淆
7.學童已會用加法解題，在引入乘法的啟蒙教學中，教師布了「一隻青蛙有4條腿， 5隻青蛙共有幾條腿？」的問題。請回答下列問題：
(1)請寫出一種學童可能的正確加法算式。【2分】
(2)教師利用口語表達進行語意轉換，引導學童將前述「加法算式」轉換為「乘法算式 4×5=20」時；請提出兩項重要的口語內容為何？【3分】
解：
(1) 4+4+4+4+4
(2)
(1)請寫出一種學童可能的正確加法算式。【2分】
(2)教師利用口語表達進行語意轉換，引導學童將前述「加法算式」轉換為「乘法算式 4×5=20」時；請提出兩項重要的口語內容為何？【3分】
(1) 4+4+4+4+4
(2)
甲、你怎麼確定拼出來的形狀是長方形？
乙、你要怎麼剪才能拼出一個長方形？
丙、你怎麼確定長方形面積是和平行四邊形面積一樣大？
丁、平行四邊形的底(高)和長方形的哪裡一樣長？
戊、你如何算出平行四邊形的面積？
請針對這五個關鍵問話，分別敘述學童應說出的正確內容為何？【各1分】
甲、四個角都是直角
乙、
沿著紅虛線往上剪，並將剪下的直角三角形平移到右邊，形成一個長方形
丙、原紙張與剪下的紙張一樣大丁、平行四邊形的底與長方形的長邊一樣長
戊、由於長方形面積是和平行四邊形面積一樣大，所以面積=長方形的長X寬。
-- end --
沒有留言:
張貼留言