104年警專34期乙組數學科詳解

解：

若a=0，則(B)(C)(D)都是0，也都是有理數，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
$\sqrt { 11-\sqrt { 72 }  } =\sqrt { 11-6\sqrt { 2 }  } =3-\sqrt { 2 }$，因此a=1, b=2-$\sqrt{2}$ $$b+\frac { 1 }{ a-b } =2-\sqrt { 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } -1 } =2-\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } +1=3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\left( A \right) \frac { a+b }{ 2 } =\frac { 15a+15b }{ 30 } \\ \left( B \right) \frac { a+2b }{ 3 } =\frac { 10a+20b }{ 30 } \\ \left( C \right) \frac { 2a+b }{ 3 } =\frac { 20a+10b }{ 30 } \\ \left( D \right) \frac { 2a+3b }{ 5 } =\frac { 12a+18b }{ 30 } \\ \left( B \right) -\left( A \right) =\frac { 5b-5a }{ 30 } >0\Rightarrow \left( B \right) >\left( A \right) \\ \left( B \right) -\left( C \right) =\frac { 10b-10a }{ 30 } >0\Rightarrow \left( B \right) >\left( C \right) \\ \left( B \right) -\left( D \right) =\frac { 2b-2a }{ 30 } >0\Rightarrow \left( B \right) >\left( D \right)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
令f(x)=ax+b, 由f(0)=2000可知b=2000；又f(5)=5a+2000=2015可知a=3，所以f(x)=3x+2000
(A) f(1)=3+2000=2003
(B) f(2)=6+2000=2006
(C) f(3)=9+2000=2009
(D) f(4)=12+2000=2012

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
f(x)=$-2(x+1)^2+7$，也就是x=-1時有極大值7。但-1不在1與3之間，因此範圍內的最大值就在f(1)或f(3)。f(1)=-2-4+5=-1、f(3)=-18-12+5=-25，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
f(2)=64a-16b+4c+4-$\sqrt{3}$、f(-2)=64a-16b+4c-4-$\sqrt{3}$，因此f(2)-f(-2)=4-(-4)=8，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\begin{cases} { 77 }^{ x }=16 \\ { 308 }^{ y }=32 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log _{ 2 }{ 77 } =4 \\ y\log _{ 2 }{ 308 } =5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 4 }{ \log _{ 2 }{ 77 }  }  \\ y=\frac { 5 }{ \log _{ 2 }{ 308 }  }  \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 4 }{ x } -\frac { 5 }{ y } =\log _{ 2 }{ 77 } -\log _{ 2 }{ 308 } =\log _{ 2 }{ \frac { 77 }{ 308 }  } =\log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ 4 }  } =-2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\log _{ 3 }{ 36 } +\log _{ \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 5 }  } +\log _{ 9 }{ 25 } -\frac { 1 }{ \log _{ 100 }{ 3 }  } \\ =\left( \log _{ 3 }{ 2^{ 2 } } +\log _{ 3 }{ 3^{ 2 } }  \right) +\log _{ 3 }{ 5 } +\log _{ 3 }{ 5 } -\frac { \log _{ 3 }{ 100 }  }{ \log _{ 3 }{ 3 }  } \\ =2\log _{ 3 }{ 2 } +2+2\log _{ 3 }{ 5 } -2\log _{ 3 }{ 10 } \\ =2+2\left( \log _{ 3 }{ \left( 2\times 5\div 10 \right)  }  \right) =2+2\times 0=2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
$\log{18^{-100}}=-100\log{18}=-100(2\log{3}+\log{2})=-100(0.4771\times 2+0.301)=-125.52$，所以在第126位之後不為0，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\begin{cases} a_{ 1 }+5d=\frac { 1 }{ 6 }  \\ a_{ 1 }+11d=\frac { 1 }{ 12 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=\frac { 17 }{ 72 }  \\ d=\frac { -1 }{ 72 }  \end{cases}\Rightarrow a_{ 24 }=a_{ 1 }+23d=\frac { 17 }{ 72 } -\frac { 23 }{ 72 } =\frac { -6 }{ 72 } =-\frac { 1 }{ 12 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$S_{ 10 }=a_{ 1 }+a_{ 2 }+\cdots +a_{ 10 }=a_{ 1 }+a_{ 1 }r+a_{ 1 }r^{ 2 }+\cdots +a_{ 1 }r^{ 9 }\\ =1+r+r^{ 2 }+\cdots +r^{ 9 }=\frac { 1-r^{ 10 } }{ 1-r } =\frac { 1-2^{ 10 } }{ 3 } =-341$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $${ a }_{ 30 }={ a }_{ 29 }+2\times 29={ a }_{ 28 }+2\times 28+2\times 29={ a }_{ 1 }+2\times 1+2\times 2+\cdots +2\times 28+2\times 29\\ =1+2\left( 1+2+\cdots +29 \right) =1+30\times 29=871$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
3的倍數有1000/3=333個、5的倍數有1000/5=200個、15的倍數有1000/15=66個
3的倍數或5的倍數有333+200-66=467個。
既不是3的倍數也不是是5的倍數共有1000-467=533個，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
先求a+2b=9共整數解？(a,b)={(9,0), (7,1), (5,2), (3,3), (1, 4)}
(9,0)代表9個1及0個2，共有1種排列
(7,1)代表7個1及1個2，共有$\frac{8!}{7!1!}$=8種排列
(5,2)代表5個1及2個2，共有$\frac{7!}{5!2!}$=21種排列
(3,3)代表3個1及3個2，共有$\frac{6!}{3!3!}$=20種排列
(1,4)代表1個1及4個2，共有$\frac{5!}{1!4!}$=5種排列

總共有1+8+21+20+5 = 55種排列，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
大於等於9，有可能是9,10,11,12，即
9=6+3=3+6=5+4=4+5，共4種
10=6+4=4+6=5+5，共3種
11=6+5=5+6，共2種
12=6+6，只有1種
共有4+3+2+1=10種情形，每一種情形的機率都是$\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$，所以機率為$\frac{10\times 1}{36}=\frac{5}{18}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
取到甲袋的紅球機率為：$\frac{1}{3}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$
取到乙袋的紅球機率為：$\frac{1}{3}\times\frac{3}{6}=\frac{3}{18}$
取到丙袋的紅球機率為：$\frac{1}{3}\times\frac{4}{6}=\frac{4}{18}$
因此取到紅球的機率為三者相加：$\frac{1+3+4}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
三年來人口變為$\sqrt [ 3 ]{ 1.5\times 0.9\times 2.5 } =\sqrt [ 3 ]{ 3.375 } =1.5$倍，平均成長1.5-1=0.5倍，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
五張卡片任取3張，共有$C^5_3=10$種情形，也就是每一種情形的機率皆是1/10
10種情形分別是(2,4,6), (2,4,8), (2,4,10), (2,6,8), (2, 6, 10), (2, 8, 10), (4,6,8), (4,6,10),(4,8.10), (6,810)，三數總和分別是12, 14, 16, 16, 18, 20, 18, 20, 22, 24。因此期望值為此10數值之總和=180再除以10=18，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\sin { 2° } +\sin { 4° } +\sin { 6° } +\cdots \sin { 360° } \\ =\left( \sin { 2° } +\sin { 4° } +\cdots +\sin { 178° }  \right) +\sin { 180° } +\left( \sin { 182° } +\sin { 184° } +\cdots +\sin { 358° }  \right) +\sin { 360° } \\ =\left( \sin { 2° } +\sin { 4° } +\cdots +\sin { 178° }  \right) +0+\left( -\sin { 2° } -\sin { 4° } -\cdots -\sin { 178° }  \right) +0\\ =0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\sin{60^\circ}=\frac{\overline{BD}}{\overline{AB}}\Rightarrow \overline{BD}=8\times\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
三角形面積=$\overline{AC}\times\overline{BD}\div 2=10\times 4\sqrt{4}\div 2=20\sqrt{3}$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
令C座標為(a,b)，則 $$\begin{cases} \left( -4+7+a \right) /3=1 \\ \left( 3+6+b \right) /3=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
圓C: $(x-5)^2+(y+k)^2=6k+25+k^2=(k+3)^2+16\Rightarrow 最小半徑為4$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
利用柯西不等式: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2\Rightarrow 9\times 25 \ge (ac+bd)^2$
$\Rightarrow 15\ge (ac+bd)\ge -15$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left| \vec { a } +\vec { b }  \right| =\sqrt { 37 } \Rightarrow { \left| \vec { a } +\vec { b }  \right|  }^{ 2 }=37\Rightarrow { \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }+2\vec { a } \cdot \vec { b } +{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }=37\\ \Rightarrow 16+2\vec { a } \cdot \vec { b } +9=37\Rightarrow \vec { a } \cdot \vec { b } =6\\ 因此{ \left| \vec { a } +2\vec { b }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }+4\vec { a } \cdot \vec { b } +4{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }=16+4\times 6+4\times 9=76\\ \Rightarrow \left| \vec { a } +2\vec { b }  \right| =\sqrt { 76 } =2\sqrt { 19 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\vec { a } \cdot \vec { b } \times \frac { b }{ { \left| b \right|  }^{ 2 } } =(0+18+32)\times \frac { \left( 0,3,4 \right)  }{ 0+3^{ 2 }+4^{ 2 } } =\frac { 50 }{ 25 } \left( 0,3,4 \right) =\left( 0,6,8 \right)$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
只需要看X軸座標
(A)PA=3-1=2,PB=11-3=8, 不符2PA=3PB
(B)PA=5-1=4, PB=11-5=6，也不符
(C)PA=7-1=6, PB=11-7=4，符合2PA=3PB
(D)PA=9-1=8, PB=11-9=2，也不符

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
平面E1: 2x+4y-4z=2，與E2的距離為$\frac{5-2}{\sqrt{2^2+4^2+4^2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
平面E之法向量為(1,-3,-2)，直線L的向量為(1,1/3,1/2)，兩者既不垂直也不平行，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $${ A }^{ 2 }-7A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}-7\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 7 & 25 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 14 & 0 \\ 7 & 35 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -10 & 0 \\ 0 & -10 \end{bmatrix}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { 4 }^{ n+1 }+{ 5 }^{ n+1 } }{ { 4 }^{ n }+{ 5 }^{ n } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { \left( \frac { 4 }{ 5 }  \right)  }^{ n }\times 4+5 }{ { \left( \frac { 4 }{ 5 }  \right)  }^{ n }+1 }  } =5$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
(A)及(B)皆可化成分數形式，(C)及(D)皆不行化成分數
$\left( E \right) \log { \sqrt [ 3 ]{ 2 }  } +\log { \sqrt [ 3 ]{ 5 }  } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \log { 2 } +\log { 5 }  \right) =\frac { 1 }{ 3 } \log { 10 } =\frac { 1 }{ 3 }$

故選$\bbox[red,2pt]{(ABE)}$

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解：
將30拆成四個正整數的乘積，即30=1x2x3x5，因此四根分別為1、2、3、5。
(A) 四根之和=1+2+3+5=11
(B) 四根之積=30
(C) -a =四根之和=11⇒a=-11
(D) b=任二根相乘之和=1x2+1x3+1x5+2x3+2x5+3x5 =2+3+5+6+10+15=41
(E) -c=任三根相乘之和=1x2x3+1x2x5+1x3x5+2x3x5 =6+10+15+30=61⇒c=-61

故選$\bbox[red,2pt]{(BD)}$

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解： $$\left( A \right) f\left( 2015 \right) -f\left( 2005 \right) =2^{ 2015 }-2^{ 2005 }=2^{ 2005 }\left( 2^{ 10 }-1 \right) \\ \qquad f\left( 104 \right) -f\left( 94 \right) =2^{ 104 }-2^{ 94 }=2^{ 94 }\left( 2^{ 10 }-1 \right) \\ \qquad \Rightarrow f\left( 2015 \right) -f\left( 2005 \right) \neq f\left( 104 \right) -f\left( 94 \right) \\ \left( B \right) \frac { f\left( 2015 \right)  }{ f\left( 2005 \right)  } =\frac { 2^{ 2015 } }{ 2^{ 2005 } } =2^{ 10 }=\frac { 2^{ 104 } }{ 2^{ 94 } } =\frac { f\left( 104 \right)  }{ f\left( 94 \right)  } \\ \left( C \right) g\left( 2015 \right) -g\left( 2005 \right) =\log _{ 2 }{ 2015 } -\log _{ 2 }{ 2005 } =\log _{ 2 }{ \frac { 2015 }{ 2005 }  } \\ \qquad g\left( 104 \right) -g\left( 94 \right) =\log _{ 2 }{ 104 } -\log _{ 2 }{ 94 } =\log _{ 2 }{ \frac { 104 }{ 94 }  } \\ \qquad \Rightarrow g\left( 2015 \right) -g\left( 2005 \right) \neq g\left( 104 \right) -g\left( 94 \right) \\ \left( D \right) \frac { g\left( 2015 \right)  }{ g\left( 2005 \right)  } =\frac { \log _{ 2 }{ 2015 }  }{ \log _{ 2 }{ 2005 }  } \neq \frac { \log _{ 2 }{ 104 }  }{ \log _{ 2 }{ 94 }  } =\frac { g\left( 104 \right)  }{ g\left( 94 \right)  } \\ \left( E \right) x_{ 2 }>x_{ 1 }\Rightarrow \frac { g\left( x_{ 2 } \right) -g\left( x_{ 1 } \right)  }{ x_{ 2 }-x_{ 1 } } =\frac { \log _{ 2 }{ x_{ 2 } } -\log _{ 2 }{ x_{ 1 } }  }{ x_{ 2 }-x_{ 1 } } >0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BE)}$

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解： $${ \left( { a }_{ n+1 } \right)  }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 10 } { \left( { a }_{ n } \right)  }^{ 2 }\Rightarrow { a }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } a_{ n }\\ \Rightarrow \left< a_{ n } \right> 為公比為\frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } 的等比數列\\ b_{ n }=\log { a_{ n } } =\log { \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  } a_{ n-1 } \right)  } =\log { \frac { 1 }{ \sqrt { 10 }  }  } +\log { a_{ n-1 } } =-\frac { 1 }{ 2 } +b_{ n-1 }\\ \Rightarrow \left< b_{ n } \right> 為公差為-\frac { 1 }{ 2 } 的等差數列$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BC)}$

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解：
令$f\left( x,y \right) { =\left( x+y \right)  }^{ 10 }=\sum _{ k=0 }^{ 10 }{ C^{ n }_{ k }x^{ k }y^{ 10-k } }$，則
(A) $f\left( 1,1 \right)  =2^{ 10 }= C^{10 }_{ 0 }+C^{10 }_{ 1 }+\cdots+C^{10 }_{ 10 }$
$\Rightarrow C^{10 }_{ 1 }+\cdots+C^{10 }_{ 10 }=2^{10}-C^{10 }_{ 0 }=1023...(1)$
(B)  $f\left( 1,-1 \right)  =0=C^{10 }_{ 0 }-C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 2 }-\cdots+C^{10 }_{ 10 }$
$\Rightarrow C^{10 }_{ 1 }-C^{10 }_{ 2 }+C^{10}_3-\cdots-C^{10}_{10}=1...(2)$
[式(1)+式(2)]/2 ⇒$C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 3}+\cdots+C^{10 }_{ 9 }=(1023+1)\div 2=512$
(C) [式(1)-式(2)]/2 ⇒$C^{10 }_{ 2 }+C^{10 }_{ 4}+\cdots+C^{10 }_{10 }=(1023-1)\div 2=511$
(D)$f\left( 1,-1 \right)  =0=C^{10 }_{ 0 }-C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 2 }-\cdots+C^{10 }_{ 10 }$
$$(E)C^{ 2 }_{ 2 }+C^{ 3 }_{ 2 }+C^{ 4 }_{ 2 }+\cdots +C^{ 10 }_{ 2 }=\frac { 1\times 0 }{ 2 } +\frac { 2\times 1 }{ 2 } +\frac { 3\times 2 }{ 2 } +\cdots +\frac { 10\times 9 }{ 2 } \\ =\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \frac { k(k-1) }{ 2 }  } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \left( k^{ 2 }-k \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 10\times 11\times 21 }{ 6 } -\frac { 11\times 10 }{ 2 }  \right] \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left[ 385-55 \right] =\frac { 1 }{ 2 } \times 330=165$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BDE)}$

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解：
(A) (6+3+5+1+8+4+7+6+5)/9 =45/9=5
(B) $\sqrt{(1^1+2^2+0+4^2+3^2+1^2+2^2+1^1+0)\div 9}=\sqrt{\frac{36}{9}}=2$
(C)(5+470)/100 = 4.75
(D) 2/100 = 0.02
(E) 依大小順序為  4.71, 4.73, 4.74, 4.75, 4.75, 4.76, 4.76 4.77, 4.78，第5個數為4.75

故選$\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$

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解：
圓C: $(x-1)^2+(y-2)^2=5^2\Rightarrow$圓心為(1,2)，半徑為5。
圓與直線相交兩異點，代表圓心至直線的距離小於半徑，即 $$\left| \frac { 3-8+k }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } }  }  \right| =\frac { \left| k-5 \right|  }{ 5 } <5\Rightarrow \left| k-5 \right| <25\Rightarrow -20<k<30$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BCDE)}$

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解： $$\begin{cases} \overline { PQ } =\sqrt { 6^{ 2 }+3^{ 2 }+2^{ 2 } } =7 \\ \overline { QR } =\sqrt { 9^{ 2 }+1^{ 2 }+4^{ 2 } } =7\sqrt { 2 }  \\ \overline { PR } =\sqrt { 3^{ 2 }+2^{ 2 }+6^{ 2 } } =7 \end{cases}$$

由邊長可知該三角形為等腰直角，故選$\bbox[red,2pt]{(BD)}$

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解：
(A)P(A$\cap B)=0$
(B)P(A$\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-0=\frac{5}{6}$
(C)P(A|B)=$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0$
(D)P(B|A)=$\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0$
(E)P(B|A)=0

故選$\bbox[red,2pt]{(BE)}$

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解：

(A) $\sin{\theta}=-\frac{3}{5}$
(B) $\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{3}{4}$
(C) $\cot{\theta}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{4}{3}$
(D)$\sec{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{-5}{4}$
(E)$\csc{\theta}=\frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{-5}{3}$

故選$\bbox[red,2pt]{(CD)}$

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 -- END --