108年大學學測數學科詳解

108學年度學科能力測驗試題

數學考科

第壹部分：選擇題（占 65 分 ）
一、單選題

1. 點$A(1,0)在單位圓\Gamma: x^2+y^2=1$上。試問：$\Gamma$上除了$A$點以外，還有幾個點到直線$L:y=2x$的距離，等於$A$點到$L$的距離？

(1)1個  (2) 2個  (3) 3個  (4) 4個  (5) 0個

解：

$\Gamma$為一單位圓，且圓心在原點；直線$L$經過圓心，因此除了A之外，還有B、C、D三點，它們至藍色線的距離都相等，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：
$$x^{ 3 }-x^{ 2 }+4x-4=x^2(x-1)+4(x-1)=(x^2+4)(x-1)=0\\\Rightarrow x=1,\pm 2i ,故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解：

$$2^{ k }4^{ m }8^{ n }=512\Rightarrow 2^{ k }2^{ 2m }2^{ 3n }=512\Rightarrow 2^{ k+2m+3n }=2^{ 9 }\Rightarrow k+2m+3n=9\\ \Rightarrow \left( k,m,n \right) =\left( 4,1,1 \right) ,\left( 2,2,1 \right) ,\left( 1,1,2 \right) ,共3組解,故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解：

三種肉:A, B, C；三種素菜: 1,2,3
每道菜一定要有肉，每種食材只能用一次，因此三道菜各有一種肉；
三種素菜分成三群(三道菜)，三道菜的素菜可分成：
(X,X,123)→3種，即(X,X,123), (X,123,X), (123,X,X)，加上肉類後三道菜為(AX,BX,C123), (AX, B1123, CX), (A123,BX,CX)，仍是三種配法。(X代表沒有素菜)

(X,1,23)→6種、(X,2,13)→6種、(X,3,12)→6種；(1,2,3)→6種；
因此共有3+6\times 4=27種分配方法，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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解：
$$\left( \log { 100 }  \right) \left( \log { b }  \right) +\log { 100 } +\log { b } =7\Rightarrow 2\log { b } +2+\log { b } =7\Rightarrow 3\log { b } =5\\ \Rightarrow b=10^{ 5/3 }=10\cdot { 10 }^{ 2/3 }=10\sqrt [ 3 ]{ 100 } \Rightarrow 10\sqrt [ 3 ]{ 64 } <b<10\sqrt [ 3 ]{ 125 } \Rightarrow 40<b<50$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：
相關係數為-0.99，就當它是-1；由表格可知氣溫升高2度，咖啡則少賣76杯(大約)；
因此氣溫9度時，大約售出512+76=588，氣溫8度時大約賣出512+76+(76/2)=588+38=626杯；

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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二、多選題

解：
(1)公差為正數$\Rightarrow a_1<a_2<a_3<\cdots\Rightarrow -a_1>-a_2>-a_3>\cdots \Rightarrow b_1>b_2>b_3>\cdots$
(2)$-4<-3<-2\Rightarrow 16>9>4$，因此此選項不一定為真
(3)$d_n=a_n+a_{n+1}=a_1+(n-1)\alpha+a_1+n\alpha=2a_1+(2n-1)\alpha\\\Rightarrow d_{n+1}=2a_1+(2n+1)\alpha\Rightarrow d_{n+1}-d_n=2\alpha\Rightarrow$公差為$2\alpha$
(4)$e_n=a_n+n\Rightarrow e_{n+1}-e_n=a_{n+1}+n+1-a_n-n=\alpha+1\Rightarrow$ 公差為$\alpha+1$
(5)$f_{n+1}-f_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n}}{n}=\frac{a_1+a_{n+1}}{2}-\frac{a_1+a_n}{2}=\alpha/2\Rightarrow$ 公差為$\alpha/2$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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解：
(1)兩人背向移動，不會相遇
(2)兩人同向移動，乙的速度比甲快，乙會追上甲，兩者會相遇
(3)兩人面向移動，甲離原點距離8，乙離原點距離10，乙的速度需大於甲的10/8倍才會比甲先到達原點
(4)乙比甲快，時間越久，兩人距離越大
(5)甲離-2距離6，乙離-2距離12；若同時抵達代表乙的速度是甲的2倍，即a=2

故選$\bbox[red,2pt]{(4,5)}$

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解：
$$七個數字任取兩個，共有C^7_2=21種取法；\\ (1)和大於10: (4,7), (5,7),(5,6),(6,7)，共有4種取法，機率為\frac{4}{21} \\ (2)和小於5:(1,2),(1,3),共有2種取法,機率為\frac{2}{21}\\ (3)和為奇數:(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,6),(4,5),(4,7),(5,6),(6,7),\\共有12種取法,機率為\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\\ (4)差為偶數:(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),(3,7),(4,6),(5,7),\\共有9種取法,機率為\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\\ (5)積為奇數:(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),共有6種取法,機率為\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\\ 故選\bbox[red,2pt]{(3,5)}$$

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解：
$$(1)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow \sin{50^\circ} \le\sin{\angle A}< \sin{\angle B}\le\sin{60^\circ}\\ (2)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow 100^\circ<\angle A+\angle B<120^\circ \Rightarrow 60^\circ<\angle C<80^\circ\\\;\;\;\Rightarrow \angle B<\angle C\Rightarrow \sin{\angle B}<\sin{\angle C}\\ (3)50^\circ\le \angle A<\angle B\le 60^\circ\Rightarrow \cos{\angle A}>\cos{\angle B}\\ (4)45^\circ<60^\circ<\angle C<80^\circ\Rightarrow \sin{\angle C}>\cos{\angle C}\\ (5)\angle C>\angle B>\angle A\Rightarrow \overline{AB}>\overline{AC}>\overline{BC}\\ 故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$

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解：

全部500人=A+B+C+D+E+F、50-59歳的人有220人=A+C+D、60歳以上的人有280人=B+E+F；
120人做過大腸篩檢，即C+D+E+F=120，其中75名是1年前做的，即D+E=75；45名是1年內做的，即C+F=45；
又60歳以上的人做過篩檢的是50-59歲做過篩檢的3.5倍，即$\frac{E+F}{280}=\frac{C+D}{220}\times 3.5$；
(1) 60歲以上的比率為$280/500=0.56<0.6$
(2)$\frac{C^{220}_2}{C^{500}_2}=\frac{220\times 219}{500\times 499}\approx 0.2<0.25$
(3)$\frac{C^{75}_1C^{45}_1}{C^{120}_2}=\frac{75\times 45}{120\times 119\div 2}=2\cdot \frac{45}{120}\cdot\frac{75}{119}$
(4)$\frac{500-120}{500}=\frac{380}{500}=0.76>0.75$
(5) $$\frac { E+F }{ 280 } =\frac { C+D }{ 220 } \times \frac { 7 }{ 2 } \Rightarrow E+F=\left( C+D \right) \times \frac { 49 }{ 11 } \Rightarrow C+D=\frac { 11 }{ 49 } \left( E+F \right) \\ C+D+E+F=120\Rightarrow \frac { 11 }{ 49 } \left( E+F \right) +\left( E+F \right) =120\Rightarrow \frac { 60 }{ 49 } \left( E+F \right) =120\\ \Rightarrow E+F=\frac { 120\times 49 }{ 60 } =98>90$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

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解：

$$\begin{cases}f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)\\f_2(x)=p_2(x)g(x)+r_2(x)\end{cases}\\ (1) -f_1(x)=-p_1(x)g(x)-r_1(x)\Rightarrow 餘式為-r_1(x)\\ (2)f_1(x)+f_2(x)=(p_1(x)+p_2(x))g(x)+r_1(x)+r_2(x)\Rightarrow 餘式為r_1(x)+r_2(x)\\ (3)r_1,r_2皆最高為1次式\Rightarrow r_1r_2可能為2次式，此時餘式不可能與除式g同為2次式\\ (4) f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)=-\frac{1}{3}p_1(x)\times(-3)g(x)+r_1(x)\Rightarrow 餘式仍為r_1(x)\\ (5)f_1r_2-f_2r_1=p_1gr_2+r_1r_2-p_2gr_1-r_1r_2=(p_1r_2-p_2r_1)g\Rightarrow 可整除\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$$

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解：

$$令O=(0,0,0),A=(1,2,3),B=(-1,2,3)\Rightarrow \begin{cases}\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(1,2,3)\\\vec{v}=\overrightarrow {OB} =(-1,2,3)\end{cases}\Rightarrow \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(0,-6,4)\\ \Rightarrow P:-6(y-2)+4(z-3)=0\Rightarrow 3y-2z=0\\ (1) (0,3,2)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未平行\\ (2) xy平面的方程式為z=0,其法向量為(0,0,1)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未垂直\\ (3) (0,4,6)符合3y-2z=0\Rightarrow (0,4,6)在平面P上\\ (4) (a,0,0)符合3y-2z=0\Rightarrow x軸在平面P上\\ (5) (1,1,1)至3y-2z=0的距離為\left|\frac{3-2}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{13}}\ne 1\\ 故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$

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第貳部分：選填題

解： $$\left[\begin{matrix}3&-1&3\\2&4&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right]\Rightarrow \begin{cases}3x-y+3=6\\2x+4y-1=-6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}3x-y=3\cdots(1)\\ 2x+4y=-5\cdots(2)\end{cases}\\ 由(1)知 y=3x-3代入(2)\Rightarrow 2x+4(3x-3)=-5\Rightarrow 14x=7\Rightarrow x=1/2\\\Rightarrow y=3\times (1/2)-3=-3/2 \Rightarrow x+3y=\frac{1}{2}+3\times\frac{-3}{2}=-4$$

答：$\bbox[red,2pt]{(-4)}$

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解：

由橢圓形方程式可知$\overline{OB}=4,\overline{OA}=a\Rightarrow$菱形$ABCD$面積為$\frac{1}{2}\times 4a\times 4=8a=58\Rightarrow a=\frac{58}{8}=\frac{29}{4}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac { 29 }{ 4 }}$

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解：

跑道長度固定400公尺，則直徑為足球練習場的寬度(即60)有最長的$\overline{AB}$。
此題相當於求上圖的$a$值，使得$2\overline{AB}$加上圓周長為400，即
$2(90+a)+60\pi=400\Rightarrow 90+a=200-30\pi\Rightarrow a=110-30\pi=15.75$
因此$\overline{AB}=90+15.75=105.75$，跑道長度只能比這個數字小，取整數只能是105。

答：$\bbox[red,2pt]{105}$

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解：

領公投票的數量以三個圈圈來表示(見上圖)，其中A、B...、G代表不重疊的區域。

甲案有765票→A+D+E+G=765；乙案有537票→B+D+F+G=537；丙案有648票→C+E+F+G=648

同時領甲、乙、丙的有224→G=224；每個人至少領了兩張票→A=B=C=0；

求同時領甲、乙兩案，但沒有領丙案的人數，即求D值？ $$\begin{cases} D+E+G=765 \\ D+F+G=537 \\ E+F+G=648 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} D+E=541\cdots (1) \\ D+F=313\cdots (2) \\ E+F=424\cdots (3) \end{cases}\Rightarrow (1)+(2)+(3)\Rightarrow 2(D+E+F)=1278\\ \Rightarrow D+E+F=639\cdots (4)\Rightarrow (4)-(3)\Rightarrow D=639-424=215$$

答：$\bbox[red,2pt]{215}$

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解：

$$\angle BED=180-\angle AEB=180-120=60\Rightarrow \triangle BDE為正\triangle \Rightarrow \overline{BD}=7\\又 \angle ADB=\angle CAD+\angle C\Rightarrow 60=\angle CAD+30\Rightarrow \angle CAD=60-30=30\Rightarrow \overline{DA}=\overline{DC}=15\\ 在\triangle DAB中: \cos{\angle ADB=\frac{\overline{AD}^2+\overline{DB}^2-\overline{AB}^2}{2\overline{DA}\times\overline{DB}}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{15^2+7^2-\overline{AB}^2}{2\times 15\times 7}\\ \Rightarrow 274-\overline{AB}^2=105\Rightarrow \overline{AB}^2=169\\\Rightarrow \overline{AB}=13$$

答：$\bbox[red,2pt]{13}$

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解：
假設正立方體的邊長為$a$，一頂點坐標為$A=(0,0,0)$，則$A$之對頂點$B=(a,a,a)$；
由題意可知 $\overline{AB}=6\Rightarrow 3a^2=36\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=2\sqrt{3}$

答：$\bbox[red,2pt]{2\sqrt{3}}$

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G. 如圖(此為示意圖)，$A,B,C,D$為平面上的四個點。已知$\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}$兩向量等長且互相垂直，則$\tan{\angle BAD}=?$

解：

$$假設\cases{A(0,0)\\ B(m,n)\\ C(a,0)}，由於\cases{\overline{AC}=\overline{BD}=a\\ \overline{AC}\bot \overline{BD}} \Rightarrow D(m,n+a)；\\又\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \Rightarrow (a-m,-n)=(m,n)+(m,n+a) =(2m,2n+a)\\\Rightarrow \cases{n=-m\\ a=3m} \Rightarrow \cases{B(m,-m)\\ C(3m,0)\\ D(m,2m)} \Rightarrow \cases{\overleftrightarrow{AB}:x+y=0\\ \overleftrightarrow{CD}:x+y=3m} \\ 過D(m,2m)且垂直\overleftrightarrow{AB}的直線L:x-y=-m與\overleftrightarrow{AB}的交點F(-m/2,m/2) \Rightarrow \cases{\overline{FA}=m/\sqrt 2\\ \overline{FD}=3m/\sqrt 2} \\ \Rightarrow \tan \angle FAD=\overline{FD}/\overline{FA}=3 \Rightarrow \tan \angle BAD= \bbox[red,2pt]{-3}$$

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