94學年四技二專統測(補考)--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
$$2^{2x}-5\cdot 2^x-24=0\Rightarrow (2^x-8)(2^x+3)=0\Rightarrow 2^x=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：$P(a,b)$在第二象限$\Rightarrow \begin{cases}a<0\\b>0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ab<0\\b-a>0\end{cases}\Rightarrow$點$Q(ab,b-a)$也在第二象限，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：只看常數項，即$-30=(-2)\times (-5)\times (-a)=-10a\Rightarrow a=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
令$f(x)=x^{50}+x^{30}-a$，由題意知:$f(1)=0\Rightarrow 1+1-a=0\Rightarrow a=2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} 2^{ x }=100 \\ 20^{ y }=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { 2^{ x } } =\log { 100 }  \\ \log { 20^{ y } } =\log { 100 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 2 } =2 \\ y\left( 1+\log { 2 }  \right) =2 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ x } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ y } =\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =\frac { \log { 2 }  }{ 2 } -\frac { 1+\log { 2 }  }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log _{ 0.5 }{ { \left( 0.25 \right)  }^{ m } } =n\Rightarrow m\log _{ 0.5 }{ 0.25 } =n\Rightarrow \frac { n }{ m } =\log _{ 0.5 }{ 0.25 } =\log _{ 0.5 }{ 0.5^{ 2 } } =2  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

與直線$x=1$垂直的直線方程式為$y=k$，由於經過$P(1,-2)\Rightarrow   k=-2$，因此直線方程式為$y=-2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} L_{ 1 }:3x+y=2\Rightarrow 斜率m_{ 1 }=-3 \\ L_{ 2 }:2x-6y=1\Rightarrow 斜率m_{ 2 }=1/3 \\ L_{ 3 }:3y=5-9x\Rightarrow 斜率m_{ 3 }=-3 \\ L_{ 4 }:x+3y=3\Rightarrow 斜率m_{ 1 }=-1/3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} L_{ 1 }//L_{ 3 } \\ L_{ 1 }\bot L_{ 2 } \\ L_{ 2 }\bot L_{ 3 } \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$\overline { AB } =\sqrt { 15^{ 2 }+8^{ 2 } } =17\Rightarrow \begin{cases} \sin { \theta  } =\frac { 8 }{ 17 }  \\ \cos { \theta  } =\frac { 15 }{ 17 }  \end{cases}\Rightarrow \sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { 8 }{ 17 } +\frac { 15 }{ 17 } =\frac { 23 }{ 17 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\tan { \theta  } =-\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \begin{cases} \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } ,\cos { \theta  } =-\frac { 3 }{ 5 }  \\ \sin { \theta  } =-\frac { 4 }{ 5 } ,\cos { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 }  \end{cases}\Rightarrow \frac { \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  } =\begin{cases} \frac { 1/5  }{ 7/5  }  \\ \frac { -1/5  }{ -7/5  }  \end{cases}=\frac { 1 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 4 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 16 }{ 9 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 7 }{ 18 } \\ 因此\tan { \theta  } +\cot { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { \cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta  } +\cos ^{ 2 }{ \theta  }  }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =\frac { 1 }{ 7/18 } =\frac { 18 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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12. 在地平面上$A$點測得山頂的仰角為$30^\circ$，若從$A$點向山頂的方向順著地平面前進1500公尺至$B$點時，測得山頂的仰角為$60^\circ$，試問山頂有多少公尺高？

(A) 750  (B) $750\sqrt{3}$  (C) 1500  (D) $1500\sqrt{3}$

解：

$$\begin{cases} \tan { 30° } =\frac { \overline { CD } }{ \overline { AB } +\overline { BD } } \\ \tan { 60° } =\frac { \overline { CD } }{ \overline { BD } } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \overline { CD } }{ 1500+\overline { BD } } \\ \sqrt { 3 } =\frac { \overline { CD } }{ \overline { BD } } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overline { CD } =\frac { 1500+\overline { BD } }{ \sqrt { 3 } } \\ \overline { CD } =\sqrt { 3 } \overline { BD } \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 1500+\overline { BD } }{ \sqrt { 3 } } =\sqrt { 3 } \overline { BD } \Rightarrow \overline { BD } =\frac { 1500 }{ 2 } =750\Rightarrow \overline { CD } =\sqrt { 3 } \overline { BD } =750\sqrt { 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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13. 設$a,b,c$為實數，若$\frac{9x+3}{x^3+1}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$，則$a+b+c=$？

(A) 0   (B) 1   (C) 2    (D) 5

解： $$\frac { 9x+3 }{ x^{ 3 }+1 } =\frac { a }{ x+1 } +\frac { bx+c }{ x^{ 2 }-x+1 } =\frac { a\left( x^{ 2 }-x+1 \right) +\left( x+1 \right) \left( bx+c \right)  }{ \left( x+1 \right) \left( x^{ 2 }-x+1 \right)  } =\frac { (a+b)x^{ 2 }+(-a+b+c)x+(a+c) }{ x^{ 3 }+1 } \\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=0 \\ -a+b+c=9 \\ a+c=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b=2 \\ c=5 \end{cases}\Rightarrow a+b+c=-2+2+5=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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14. 無論$k$為任何實數，下列何者是坐標平面上的直線$x+y+k(x-y+1)=3$必經之點？

(A) (1,2)  (B) (2,1)  (C) (-3,1)  (D) (0,0)

解： $$\begin{cases} k=0 \\ k=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=3 \\ 2x+1=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=2 \\ x=1 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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15. 下列何者為不等式$x+4>|x-2|+|x+3|$之解的範圍？

(A) $1<x<3$  (B) $0<x<2$  (C) $-2<x<1$  (D) $-1<x<2$

解： $$\begin{cases} x\ge 2 \\ -3\le x\le 2 \\ x\le -3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+4>x-2+x+3 \\ x+4>2-x+x+3 \\ x+4>2-x-x-3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x<3 \\ 1<x \\ -5/3<x \end{cases}\Rightarrow 1<x<3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} x\ge 2 \\ -3\le x\le 2 \\ x\le -3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-2+x+3\le 5 \\ 2-x+x+3\le 5 \\ 2-x-x-3\le 5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\le 2 \\ 5\le 5 \\ -3\le x \end{cases}\Rightarrow -3\le x\le 2\\\Rightarrow \begin{cases}b=2\\a=-3\end{cases}\Rightarrow b-a=2-(-3)=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
將(0,3)代入圓方程式，可得$a^2+2^2=5a\Rightarrow a^2-5a+4=0\Rightarrow (a-4)(a-1)=0\Rightarrow a=1或4$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
公比$r=(-1/9)\div (1/3)=-1/3$，因此無窮等比級數為$\frac{a_0}{1-r}=\frac{1/3}{4/3}=\frac{1}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} a,b為x^{ 2 }-2(k+1)x+2160=0之兩根 \\ 1/a,1/(k-2),1/b為等數列 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} a+b=2(k+1) \\ ab=2160 \end{cases} \\ \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } =\frac { 2 }{ k-2 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { a+b }{ ab } =\frac { 2(k+1) }{ 2160 } =\frac { 2 }{ k-2 } \Rightarrow \left( k+1 \right) \left( k-2 \right) =2160\Rightarrow k^2-k-2162=0\\\Rightarrow (k-47)(k+46)=0\Rightarrow k=47(k是正整數)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$C^{ 5 }_{ 2 }\times C^{ 3 }_{ 2 }\times C^{ 1 }_{ 1 }=\frac { 5! }{ 2!3! } \times \frac { 3! }{ 2!1! } =\frac { 5! }{ 2!2! } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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21. 將3個不同的球放入2個不同的盒子中，每個盒子裝球數量不限，試問共有幾種放法？

(A) 3  (B)  6   (C)  8  (D)  9 

解：
每個球不相同，且每個球都有2種選擇，因此共有$2\times 2\times 2=8$種放法，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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22. 平時考試共有6題，老師規定只選4題作答，但前2題必選，試問選題的方法有幾種？

(A) 4   (B)  6  (C)  8   (D) 10

解：

前2題必選，剩下4題選2題作答，有$C^4_2=6$種選法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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23. 千位數的數字為偶數，個位數的數字為奇數，在正整數的四位數中共有幾個？

(A)  1600  (B) 2000  (C)  2500  (D)  3000

解：
千位數字可能為2,4,6,8，有4種選法；百位數及十位數都有10種選法；個位數可能為1,3,5,7,9，有5種選法；因此共有$4\times 10\times 10\times 5=2000$個，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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24. 設袋中有3個黑球、4個紅球，若每次由袋中任意取出一球，且取出後放回，則在第4次取出紅球的機率為何？

(A)$\frac{1}{7^4}$   (B) $\frac{3^3\times 4}{7}$   (C)$\frac{1}{7}$   (D) $\frac{4}{7}$

解：

無論第幾次，抽出紅球的機率都是$4/(3+4)=4/7$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
都沒擊中的機率為$(1-4/5)\times(1-3/4)\times(1-2/3) = (1/5)\times(1/4)\times(1/3)=1/60$，因此擊中的機率為$1-1/60=59/60$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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