98學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分：選擇題一、單選題
1. 箱子裡有30顆紅球，20顆藍球。小明從箱子中隨機抽出1顆球，記錄球的顏色後放回。重複此動作5次，並依序記錄。下列各選項都是小明可能呈現的紀錄，試問哪一選項發生的機率最大？
(1) 紅紅紅紅紅
(2) 藍藍藍藍藍
(3) 紅紅藍紅紅
(4) 紅藍紅藍紅
(5) 藍紅紅藍紅
解：
抽出紅球的機率為\(\frac{30}{50}=\frac{3}{5}\)，抽出藍球的機率為\(\frac{20}{50}=\frac{2}{5}\)，因此抽出紅球的機率較高；而且抽出後放回，所以每次抽出紅球的機率皆相同(3/5)，每次抽出藍球的機率皆相同(2/5)。
(1) 機率為\((3/5)^5\)
(2) 機率為\((2/5)^5\)
(3) 機率為\((3/5)^4\times(2/5)\)
(4) 機率為\((3/5)^3\times(2/5)^2\)
(5) 機率為\((3/5)^3\times(2/5)^2\)
(4) 機率為\((3/5)^3\times(2/5)^2\)
(5) 機率為\((3/5)^3\times(2/5)^2\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
2. A,B,C,D是四組資料的散佈圖，如圖所示。利用最小平方法計算它們的迴歸直線，發現有兩組資料的迴歸直線相同，試問是哪兩組？
(1) A、B
(2) A、C
(3) A、D
(4) B、C
(5) B、D
解：
圖A與圖D(紅色)重疊如上圖；
四個圖形的X軸坐標皆相同(3,4,5,6,7,8)，僅考慮各圖形Y坐標的平均值，圖B與圖C有幾乎相同的Y坐標平均值；圖D的Y坐標平均值略高於圖A；故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
3. 若\((a,b)\) 是對數函數 \(y=\log{x}\)圖形上一點，則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？
(1) (1,0) (2) \((10a,b+1)\) (3)\((2a,2b)\) (4)\((\frac{1}{a},1-b)\) (5)\((a^2,2b)\)
解：
\((a,b)\) 是對數函數 \(y=\log{x}\)圖形上一點，即\(\log{a}=b\)
(1) \(\log{1}=0\Rightarrow (1,0)\)在該圖形上
(2) \(\log{10a}=\log{10}+\log{a}=1+b\Rightarrow (10a, b+1)\)在該圖形上
(3)\(\log{2a}=\log{2}+\log{a}=\log{2}+b\ne 2b\Rightarrow (2a,2b)\)不在該圖形上
(4)\(\log{\frac{1}{a}}=\log{1}-\log{a}=0-b\ne 1-b\Rightarrow (\frac{1}{a},1-b)\)不在該圖形上
(5)\(\log{a^2}=2\log{a}=2b\Rightarrow (a^2,2b)\)在該圖形上
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\)
4. 國一學生30萬人，智商測驗的結果是「平均數100，標準差15」的常態分配。若以智商130以上做為甄選國一學生為資優生的門檻，則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的敘述，哪些是正確的？
(1) 約有5%的國一學生通過資優生甄選門檻
(2) 約有15萬名國一學生的智商在100以上
(3) 超過20萬名國一學生智商介於85至115之間
(4) 隨機抽出1000名國一學生，可期望有25名資優生
(5) 如果某偏遠學校只有14名的國一學生，那麼該校不會有資優生
(1) 130與平均數100的差距為30，剛好是二個標準差的距離；在常態分配中(見上圖)，超過平均值二個標準差的比率為\(100\%-50\%-34.1\%-13.6\%=2.3\%\ne 5\%\)
(2)100為平均值，常態分配中，超過平均值的比率為50%
(3)\(P(85\le X\le 115)=P(|X-\mu|\le \sigma)=68.2\%\Rightarrow\)人數為30萬\(\times 68.2\%= 20.46\)萬
(4)由(1)知: 約有2.3%的學生是資優生，因此1000名學生中約有23\(\approx 25\)人是資優生
(5)不一定！這只是機率問題，並非絕對不出現。
故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\)。
5. 經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料，得到這樣的結論：『員工就學年數每增加一年，其年薪平均增加8萬5千元』。試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？
(1) 「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數
(2) 「年薪」之全距與「就學年數」之全距
(3) 「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數
(4) 「年薪」與「就學年數」之相關係數
(5) 「年薪」對「就學年數」之迴歸直線斜率
(2)全距為最大值與最小值的差距，亦無法推估兩變數之間的關係
(3)平均數僅一個固定數值，亦無法推估兩變數之間的關係
(4)若相關係數為零，兩變數不相關，無法推估
(5)\(y=mx+b\Rightarrow \triangle y=(m(x+1)+b)-(mx+b)=m\)，直線斜率乘上變化值就可預估落點
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
試問下列選項中的敘述，哪些是正確的？
(1) 學生要參加課外活動社團之比例隨著年級增加而遞減
(2) 由上述資訊可以估算全體學生要參加課外活動社團的比例
(3) 在95%信心水準下，每一個年級學生要參加課外活動社團的比例之信賴區間，都可以由題目中已知的數據算出
(4) 在95%信心水準下，三個年級的調查結果，以高一學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最長
(5) 在95%信心水準下，三個年級的調查結果，以高三學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最短
(1)\(\bigcirc\)：要參加的比例為66%>52%>22%，隨著年級增加而遞減
(2)\(\bigcirc\)：抽樣人數與各年級人數比例皆已知，可以推估
(3) \(\bigcirc\)：在95%信心水準下，信賴區間為\([p-2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]\)
(4)\(\times\)：信賴區間的長短取決於\(p(1-p)\)的大小；高一至高三的\(p(1-p)\)分別為\(0.66\times 0.34,0.52\times 0.48,0.22\times 0.78\)，約為\(0.22, 0.25,0.17\)；因此信賴區間最長的是高二，不是高一；
(5)\(\bigcirc\)：由(4)知: 高三的信賴區間最短
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3,5)}\)
三、選填題
A. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價100萬元；該汽車的價值在第一年後折舊20%，第二年以後每年折舊前一年車價的15%。陳先生現在想用這部車換新車，試問舊車可抵多少萬元？(萬元以下四捨五入)
解：
新車100萬元→一年後變為\(100\times(1-20\%)=80\)萬元→二年後變為\(80\times (1-15\%)=68\)萬元→三年後變為\(68\times(1-15\%)=57.8\approx 58\)萬元；
答：\(\bbox[red,2pt]{58}\)萬元
B. 某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率（即偵測錯誤的機率）。共有760人接受此血液偵測技術實驗，實驗前已知樣本中有735人未患老年癡呆症。實驗後，血液偵測判斷為未患老年癡呆症者有665人，其中真正未患老年癡呆症有660人。試問此血液偵測技術的誤判率為？(化成最簡分數)
解：$$760人經實驗偵測結果為\begin{cases}未患病者665人(真正未患病者為660人)\\患病者760-665=95人\end{cases}，\\但實情是\begin{cases}未患病者735人\\患病者760-735=25人\end{cases}；\\因此有665-660=5名患病者被誤判為未患病；有735-660=75名未患病者被誤判為患病；\\
共有5+75=80人被誤判，誤判率為\frac{80}{760}=\bbox[red,2pt]{\frac{2}{19}}$$
共有5+75=80人被誤判，誤判率為\frac{80}{760}=\bbox[red,2pt]{\frac{2}{19}}$$
C. 某公司召聘新員工，共有1600人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室，該校可租借的大教室有50間，每間可容納40人，每間租金500元；小教室有60間，每間可容納20人，每間租金150元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過60間。試問租借大教室 ？ 間，小教室 ？ 間，來進行筆試，最省租借場地費用。
解：
假設借大教室\(x\) 間，小教室 \(y\)間，依題意：$$滿足\begin{cases}0\le x\le 50\\0\le y\le 60\\x+y\le 60\\40x+20y\ge 1600\end{cases}，求f(x,y)=500x+150y最小時的x與y值$$
滿足所有條件的區域如上圖四邊形，各頂點分別為\(A=(20,40), B=(50,10), C=(50,0), D=(40,0)\)，代入\(f\)可得：$$\begin{cases}f(A)=500\times 20+150\times 40=16000\\f(B)=500\times 50+150\times 10=26500 \\f(C)=500\times 50 +0=25000 \\f(D)= 500\times 40+0= 20000 \end{cases}$$因此\(f(A)\)有最小值，即租用大間\(\bbox[red,2pt]{20}\)間，小間\(\bbox[red,2pt]{40}\)費用最少；
D. 某動物園的遊園列車依序編號1到7，共有7節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則7節車廂一共有 ？種畫法。
解：
中間的三節車廂由企鵝、無尾熊及貓熊三種動物排列，有\(3!=6\)種排法；
剩下四節車廂由1個企鵝、1個無尾熊及2個貓熊排列，有\(\frac{4!}{2}=12\)種排法；
因此全部共有\(6\times 12=\bbox[red,2pt]{72}\)種畫法。
剩下四節車廂由1個企鵝、1個無尾熊及2個貓熊排列，有\(\frac{4!}{2}=12\)種排法；
因此全部共有\(6\times 12=\bbox[red,2pt]{72}\)種畫法。
第貳部份：非選擇題
一、某製造玩具工廠，每次接到訂單都需開模5萬元，製造每一千個玩具材料費需2萬元，由此建立生產的基本成本函數 \(f(x)=5+2x\)，其中x以千個為單位。依過去經驗，接到訂單數量與報價總值有如下關係：$$\begin{array}{c|c}數量千個(千個)&報價總值(萬元)\\ \hline 5&37.5\\10&70\\15&97.5\end{array}$$以此資料建立一個二次函數的報價總值函數\(g(x)\) ，以及獲利函數\(h(x)=g(x)-f(x)\) 。(1) 若接到訂單為20千個，試問交貨時，每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？
(2) 試求報價總值函數 \(g(x)\)。
(3) 根據 \(h(x)\)，試問訂單數量是多少時，獲利總值最高？（5分）
解：
(1)依照成本函數\(f(20)=5+2\times 20=45\)萬元，因此每\(\bbox[red,2pt]{千}\)個玩具的基本成本平均為\(45\div 20= \bbox[red,2pt]{2.25}\)萬元；
(2)依題意\(g(x)\)為一個二次函數，即$$g(x)=ax^{ 2 }+bx+c\Rightarrow \begin{cases} g(5)=37.5 \\ g(10)=70 \\ g(15)=97.5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 25a+5b+c=37.5\cdots (1) \\ 100a+10b+c=70\cdots (2) \\ 225a+15b+c=97.5\cdots (3) \end{cases}\\ \begin{cases} (2)-(1) \\ (3)-(2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 75a+5b=32.5\cdots (4) \\ 125a+5b=27.5\cdots (5) \end{cases}\Rightarrow (5)-(4)\Rightarrow 50a=-5\Rightarrow a=-0.1\\ a=-0.1代入(4)\Rightarrow -7.5+5b=32.5\Rightarrow 5b=40\Rightarrow b=8\\ a=-0.1及b=8代入(1)\Rightarrow -2.5+40+c=37.5\Rightarrow c=0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{g(x)=-0.1x^{ 2 }+8x}$$
(3)$$h(x)=g(x)-f(x)=\left( -0.1x^{ 2 }+8x \right) -\left( 5+2x \right) =-0.1x^{ 2 }+6x-5=-0.1\left( x^{ 2 }-60x+900 \right) -5+90\\ =-0.1(x-30)^{ 2 }+85$$也就是訂單數量為\(\bbox[red,2pt]{30千}\)時有最高獲利85萬元。
(2)依題意\(g(x)\)為一個二次函數，即$$g(x)=ax^{ 2 }+bx+c\Rightarrow \begin{cases} g(5)=37.5 \\ g(10)=70 \\ g(15)=97.5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 25a+5b+c=37.5\cdots (1) \\ 100a+10b+c=70\cdots (2) \\ 225a+15b+c=97.5\cdots (3) \end{cases}\\ \begin{cases} (2)-(1) \\ (3)-(2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 75a+5b=32.5\cdots (4) \\ 125a+5b=27.5\cdots (5) \end{cases}\Rightarrow (5)-(4)\Rightarrow 50a=-5\Rightarrow a=-0.1\\ a=-0.1代入(4)\Rightarrow -7.5+5b=32.5\Rightarrow 5b=40\Rightarrow b=8\\ a=-0.1及b=8代入(1)\Rightarrow -2.5+40+c=37.5\Rightarrow c=0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{g(x)=-0.1x^{ 2 }+8x}$$
(3)$$h(x)=g(x)-f(x)=\left( -0.1x^{ 2 }+8x \right) -\left( 5+2x \right) =-0.1x^{ 2 }+6x-5=-0.1\left( x^{ 2 }-60x+900 \right) -5+90\\ =-0.1(x-30)^{ 2 }+85$$也就是訂單數量為\(\bbox[red,2pt]{30千}\)時有最高獲利85萬元。
二、設有A、B兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有a公升的純酒精，B瓶裝有b公升的礦泉水。每一輪操作都是先將A瓶的溶液倒出一半到B瓶，然後再將B瓶的溶液倒出一半回A瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設n輪操作後，A瓶有\(a_n\) 公升的溶液，B瓶有\(b_n\) 公升的溶液。已知二階方陣\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)滿足\(\begin{bmatrix} a_{ n } \\ b_{ n } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ n }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\)。
(1)求二階方陣\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)。
(2)當\(a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，求\(a_{100}\)及\(b_{100}\)。
(3)當\(a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
(1)求二階方陣\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)。
(2)當\(a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，求\(a_{100}\)及\(b_{100}\)。
(3)當\(a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
解：
(1) $$\begin{cases} A=a \\ B=b \end{cases}\xrightarrow { 將A瓶的溶液倒出一半到B瓶 } \begin{cases} A=\frac { a }{ 2 } \\ B=b+\frac { a }{ 2 } \end{cases}\\ \xrightarrow { 將B瓶的溶液倒出一半回A瓶 } \begin{cases} A=\frac { a }{ 2 } +\left( b+\frac { a }{ 2 } \right) /2=\frac { 3 }{ 4 } a+\frac { 1 }{ 2 } b \\ B={ \left( b+\frac { a }{ 2 } \right) }/{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } a+\frac { 1 }{ 2 } b \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 1 } \\ b_{ 1 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}}$$
(2)$$\begin{bmatrix} a_{ 100 } \\ b_{ 100 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ 100 }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}^{ 100 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}^{ 99 }\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}^{ 99 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}=\cdots =\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} a_{ 100 } \\ b_{ 100 } \end{bmatrix}=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}}$$
(3)$$\begin{bmatrix} a_{ 2 } \\ b_{ 2 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{bmatrix}^{ 2 }\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}^{ 2 }\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \frac { 11 }{ 16 } & \frac { 5 }{ 8 } \\ \frac { 5 }{ 16 } & \frac { 3 }{ 8 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{bmatrix}\Rightarrow a_{ 2 }=\frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 5 }{ 8 } \times \frac { 1 }{ 3 } \\ \Rightarrow A瓶酒精濃度=\frac { \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } }{ \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 5 }{ 8 } \times \frac { 1 }{ 3 } } =\frac { \frac { 11 }{ 24 } }{ \frac { 16 }{ 24 } } =\frac { 11 }{ 16 } =\bbox[red,2pt]{68.75\%}$$
-- END (僅供參考) --
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