100學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

100 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解：只有選項(D)的值是大於1的，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$；
若要認真算: $$a=1.2\bar { 34 } \Rightarrow 100a=123.4\bar { 34 } \Rightarrow 100a-a=123.4\bar { 34 } -1.2\bar { 34 } =122.2\\ \Rightarrow a=\frac { 122.2 }{ 99 } =\frac { 1222 }{ 990 } =\frac { 611 }{ 495 }$$

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解： $$y=5為一水平線，斜率為0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$z=\frac { 1+3i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+3i \right) \left( 1+i \right)  }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right)  } =\frac { -2+4i }{ 2 } =-1+2i\Rightarrow \bar{z}=-1-2i\Rightarrow 虛部為-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\frac { 3^{ n }+2^{ n } }{ 6^{ n } } =\frac { \left( \frac { 3 }{ 6 }  \right) ^{ n }+\left( \frac { 2 }{ 6 }  \right) ^{ n } }{ \left( \frac { 6 }{ 6 }  \right) ^{ n } } =\frac { \frac { 1 }{ 2^{ n } } +\frac { 1 }{ 3^{ n } }  }{ 1 } =\frac { 1 }{ 2^{ n } } +\frac { 1 }{ 3^{ n } } \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 3^{ n }+2^{ n } }{ 6^{ n } }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ 2^{ n } } +\frac { 1 }{ 3^{ n } }  \right)  } =0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$a_{ 10 }=\frac { 9 }{ 10 } a_{ 9 }=\frac { 9 }{ 10 } \cdot \frac { 8 }{ 9 } a_{ 8 }=\frac { 9 }{ 10 } \cdot \frac { 8 }{ 9 } \cdots \frac { 1 }{ 2 } a_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } a_{ 1 }=\frac { 5 }{ 10 } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$11^{ 5 }-4\times 11^{ 4 }-72\times 11^{ 3 }-56\times 11^{ 2 }+5\times 11+8\\ =11^{ 4 }\times \left( 11-4 \right) -72\times 11^{ 3 }-56\times 11^{ 2 }+5\times 11+8\\ =7\times 11^{ 4 }-72\times 11^{ 3 }-56\times 11^{ 2 }+5\times 11+8\\ =\left( 77-72 \right) \times 11^{ 3 }-56\times 11^{ 2 }+5\times 11+8\\ =5\times 11^{ 3 }-56\times 11^{ 2 }+5\times 11+8=\left( 55-56 \right) \times 11^{ 2 }+5\times 11+8\\ =-11^{ 2 }+5\times 11+8=\left( -11+5 \right) \times 11+8=-6\times 11+8\\ =-66+8=-58，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =x^{ 3 }-2x^{ 2 }-x+2=(x-1)(x+1)(x-2) \\ g\left( x \right) =2x^{ 2 }-x-1=(2x+1)(x-1) \end{cases}\Rightarrow x-1為最高公因式，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
每小時60公里相當於每分鐘1公里，每小時120公里相當於每分鐘2公里；
一開始甲坐標為(0,0)，乙坐標為(0,7)；x分鐘後，甲坐標為(x,0)，乙坐標為(0,7-2x)，兩船相距$\sqrt{x^2+(7-2x)^2}=\sqrt{5x^2-28x+49}$公里。因此在$x=\frac{28}{10}= \frac{14}{5}$有最小值，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} (A){ \left( 0.2 \right)  }^{ -3.5 }={ \left( \frac { 1 }{ 5 }  \right)  }^{ -3.5 }={ \left( { 5 }^{ -1 } \right)  }^{ -3.5 }={ 5 }^{ 3.5 } \\ (B){ \left( 0.2 \right)  }^{ -2.5 }={ 5 }^{ 2.5 } \\ (C){ \left( 0.2 \right)  }^{ -1.5 }={ 5 }^{ 1.5 } \\ (D){ \left( 0.2 \right)  }^{ -\sqrt { 3 }  }={ 5 }^{ \sqrt { 3 }  }={ 5 }^{ 1.732 } \end{cases}\Rightarrow (A)>(B)>(D)>(C)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\log _{ 16 }{ 0.25 } =\frac { \log { 0.25 }  }{ \log { 16 }  } =\frac { \log { \frac { 1 }{ 4 }  }  }{ \log { { 2 }^{ 4 } }  } =\frac { \log { { 2 }^{ -2 } }  }{ \log { { 2 }^{ 4 } }  } =\frac { -2\log { 2 }  }{ 4\log { 2 }  } =-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\log { 2^{ 300 } } =300\log { 2 } =300\times 0.301=90.3\Rightarrow 2^{ 300 }是90+1=91位數，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sin { 120° } \cos { 30° } -\cos { 225° } \sin { 315° } +\cot { 330° } \csc { 270° } \\ =\sin { 60° } \cos { 30° } -\cos { 45° } \sin { 45° } +\cot { 30° } \csc { 90° } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \cdot \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \cdot \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } +\sqrt { 3 } =\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } +\sqrt { 3 }  =\frac { 1 }{ 4 } +\sqrt { 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} a:b:c=3:5:7 \\ \frac { a }{ \sin { \angle A }  } =\frac { b }{ \sin { \angle B }  } =\frac { c }{ \sin { \angle C }  }  \end{cases}\Rightarrow \sin { \angle A } :\sin { \angle B } :\sin { \angle C } =3:5:7\\ \Rightarrow \frac { \sin { \angle A } +\sin { \angle B }  }{ \sin { \angle C }  } =\frac { 3K+5K }{ 7K } =\frac { 8 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

由俯視圖(上圖左)可知B至山腳的水平距離$\overline{BC}=\overline{AB}\times \sqrt{3} =250\sqrt{3}$；再由水平視角(上圖右)可知B至山腳的水平距離$\overline{BC}=\overline{BD}$，因此山高$\overline{CD}=\overline{BD}=250\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$y=\cos { x } +\sqrt { 3 } \sin { x } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \cos { x } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \sin { x }  \right) =2\left( \sin { y } \cos { x } +\cos { y } \sin { x }  \right) \\ =2\sin { \left( y+x \right)  } \Rightarrow -2\le 2\sin { \left( y+x \right)  } \le 2\Rightarrow -2\le y\le 2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } i \right) =\sqrt { 2 } \left( \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right) \\ \Rightarrow { \left( 1+i \right)  }^{ 20 }=\left( \sqrt { 2 }  \right) ^{ 20 }\left( \cos { \left( \frac { \pi  }{ 4 } \times 20 \right)  } +i\sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } \times 20 \right)  }  \right) \\ =2^{ 10 }\left( \cos { \left( 5\pi  \right)  } +i\sin { \left( 5\pi  \right)  }  \right) =2^{ 10 }\left( -1+0 \right) =-2^{ 10 }=-1024，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$餘弦定理:\cos { A } =\frac { \overline { AB } ^{ 2 }+\overline { AC } ^{ 2 }-\overline { BC } ^{ 2 } }{ 2\times \overline { AB } \times \overline { AC }  } =\frac { 4^{ 2 }+8^{ 2 }-{ \left( 6\sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 } }{ 2\times 4\times 8 } =\frac { 1 }{ 8 }  =\frac { \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC }  }{ \left| \overrightarrow { AB }  \right| \left| \overrightarrow { AC }  \right|  }\\ \Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } =\frac { 1 }{ 8 } \times \left| \overrightarrow { AB }  \right| \left| \overrightarrow { AC }  \right| =\frac { 1 }{ 8 } \times 4\times 8=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$7(x+3)-4(y-1)=0 \Rightarrow 7x-4y+25=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\cos { \theta  } =\frac { \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b }  }{ \left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right|  } =\frac { -5+2+6 }{ \sqrt { 5^{ 2 }+1^{ 2 }+3^{ 2 } } \times \sqrt { (-1)^{ 2 }+2^{ 2 }+2^{ 2 } }  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 35 } \times 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 35 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$E_1的法向量\vec{u}=(1,1,1)，E_2的法向量\vec{v}=(3,-1,1)\\\Rightarrow 欲求平面之法向量\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,1)\times(3,-1,1) = (2,2,-4) \\\Rightarrow 過P且法向量為\vec{w}之平面方程式為 2(x-5)+2(y-6)-4(z-6)=0 \Rightarrow x+y-2z+1=0\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$令P=(3,-2,1)且在X軸上任二點Q(1,0,0)及R(0,0,0)\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow {PQ}=(-2,2,-1)\\\overrightarrow {PR}=(-3,2,-1)\end{cases} \\\Rightarrow \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}=(0,1,2)\Rightarrow 過P且法向量為(0,1,2)之平面方程式為(y+2)+2(z-1)=0 \\\Rightarrow y+2z=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$2x^{ 2 }+2y^{ 2 }-8x-5y+8=0\Rightarrow 2\left( x^{ 2 }-4x+4 \right) +2\left( y^{ 2 }-\frac { 5 }{ 2 } y+\frac { 25 }{ 16 }  \right) +8-8-\frac { 25 }{ 8 } =0\\ \Rightarrow 2{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+2{ \left( y-\frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 25 }{ 8 } \Rightarrow { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-\frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$圓心O(0,0)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=(3,4)為切線的法向量\\\Rightarrow 切線方程式: 3(x-3)+4(y-4)=0\equiv 3x+4y=25，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} S_{ 1 }:x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }-9=0\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }=3^{ 2 } \\ S_{ 2 }:x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }-2x-4y+4z-7=0\Rightarrow (x-1)^{ 2 }+(y-2)^{ 2 }+(z+2)^{ 2 }=4^{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} S_{ 1 }:圓心O_{ 1 }(0,0,0),半徑r_{ 1 }=3 \\ S_{ 2 }:圓心O_{ 2 }(1,2,-2),半徑r_{ 2 }=4 \end{cases}\Rightarrow \vec{n}=\overrightarrow{O_1O_2}=(1,2,-2)為交平面的法向量\\又\overline{O_1O_2}= \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3=r_1，因此兩圓心連線與交平面的交點P，如下圖$$

$$令\overline{O_1P}=a \Rightarrow \overline{AP}^2=\overline{AO_1}^2-\overline{O_1P}^2 = \overline{AO_2}^2-\overline{O_2P}^2 \Rightarrow 9-a^2=16-(3-a)^2\\\Rightarrow a=\frac{1}{3} \Rightarrow \overline{O_1P}:\overline{PO_2}=1:8 \Rightarrow P=O_2/9 = (1/9, 2/9, -2/9) \\ \Rightarrow 經過P且法向量為\vec{n}的平面方程式為 (x-1/9)+2(y-2/9)-2(z+2/9)=0 \\ \Rightarrow x+2y-2z=1\Rightarrow 2x+4y-4z-2=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { x^{ 2 } }{ 4^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =1\Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow \frac { 2b^{ 2 } }{ a } =\frac { 2\times 9 }{ 4 } =\frac { 9 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\frac { x^{ 2 } }{ 16 } -\frac { y^{ 2 } }{ 4 } =1\Rightarrow \frac { 2x }{ 16 } -\frac { 2yy' }{ 4 } =0\Rightarrow y'=\frac { x }{ 4y } \\ 切線即為角平分線,在P(4\sqrt { 2 } ,2)的斜率y'=\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 4\times 2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ 因此過P且斜率為\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } 的直線方程式為y-2=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (x-4\sqrt { 2 } )\\ \Rightarrow \sqrt { 2 } \left( y-2 \right) =x-4\sqrt { 2 } \Rightarrow x-\sqrt { 2 } y-2\sqrt { 2 } =0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
第1晚有3種選擇、第2晚也有3種選擇、...第5晚也有3種選擇，共有$3^5=243$種選擇，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：假設淋浴間的編號為1-7；7間淋浴間被選到3間的可能有以下幾種情形：
(1,3,5-7)→3種情形；
(1,4,6-7)→2種情形；
(1,5,7)→1種情形；
(2,4,(6-7))→2種情形；
(2,5,7)→1種情形；
(3,5,7)→1種情形；
共有3+2+1+2+1+1=10種情形，每一種情形由甲乙丙三人來排列，共有3!=6種排法，因此共有$10\times 6=60$種情形，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$11^{ 14 }=(10+1)^{ 14 }=\sum _{ n=0 }^{ 14 }{ C^{ 14 }_{ n }10^{ n } } \Rightarrow 11^{ 14 }除以100的餘數=\left( \sum _{ n=0 }^{ 1 }{ C^{ 14 }_{ n }10^{ n } } \right)除以100的餘數  \\ =\left( C^{ 14 }_{ 0 }+C^{ 14 }_{ 1 }\times 10=1+140=141\right)除以100的餘數  =41，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
10人環狀排列數為$(10-1)!=9!$，甲乙兩人相對而坐環狀排列相當於9人環狀排列(乙一定要坐在甲對面)，排列數為8!，機率為$\frac{8!}{9!}=\frac{1}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

取出5枚硬幣中，10元硬幣有a枚、5元硬幣b枚、1元硬幣c枚，且$0\le a\le4, 0\le b\le 3, 0\le c\le 3, a+b+c=5$

所有可能情形如上圖，期望值為$406/14=29$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：分數超過140，代表超過平均數3個標準差($140=110+10\times 3)$。由常態分布可知其機率為$1-0.99865=0.00135$，也就是說1000名學生中只有1.35個學生的分數超過140，不可能每班分數超過140的人數都相同，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

假設總人數為N，其中0.999N沒病、0.001N患病
被判定患病的人數為:被誤判的健康人數+被正確判斷的病人，即$0.999N\times 0.01+0.001N\times 0.99 =0.01098N$
因此被判定有愛滋病，真正有病的機率為$0.001N/0.01098N \approx 0.091=9.1\%$
，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
四個正一個負排列，共有$\frac{5!}{4!}=5$種排法，每一種排法的機率都是$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$，因此出現4次正面的機率為$5\times\frac{1}{32}=\frac{5}{32}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$A=2X-3B\Rightarrow X=\frac { 1 }{ 2 } \left( A+3B \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 8 \end{matrix} \right] +3\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 7 \\ 4 & 1 & 8 \end{matrix} \right]  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 8 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 9 & -6 & 21 \\ 12 & 3 & 24 \end{matrix} \right]  \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 8 & -4 & 24 \\ 16 & 8 & 32 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 12 \\ 8 & 4 & 16 \end{matrix} \right] ， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} A(1,3) \\ B(-2,1) \\ C(5,0) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow { AB } =(-3,-2) \\ \overrightarrow { AC } =(4,-3) \end{cases}\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }{ \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }-{ \left( \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \left( (-3)^{ 2 }+(-2)^{ 2 } \right) \left( 4^{ 2 }+(-3)^{ 2 } \right) -{ \left( -12+6 \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 13\times 25-36 } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 289 } =\frac { 17 }{ 2 }， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A \right) =6-5=1\Rightarrow A^{ -1 }=\frac { 1 }{ det\left( A \right)  } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
除(0,0,0)尚有其它解，表示有無限多組解。也就是有兩式相同，即$x+ay+z=0$與$x-y+z=0$相同，因此$a=-1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$2x+y=4   \Rightarrow   y=4-2x   \Rightarrow   xy=x(4-2x)=-2x^2+4x   =   -2(x^2-2x+1)+2  \\ =-2(x-1)^2+2   \le   2\Rightarrow  當x=1,y=2時 xy  有 最大值為   2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} x>0\Rightarrow 1<x^{ 2 }\Rightarrow x>1 \\ x<0\Rightarrow 1>x^{ 2 }\Rightarrow 0>x>-1 \end{cases}\Rightarrow x>1或0>x>-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
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