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2019年4月1日 星期一

101學年度國中運動績優生甄試--數學科詳解


101 學年度國民中學運動成績優良學生 
升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  a÷(315)=a÷(165)=a×(516)=a×bb=516(B)


(4×109)÷(8×105)=4×1098×105=48×109105=12×1014=102×1013=5×1013(B)



(A) 1不是質數
(B) 4=2×2不是質數
(C) 91=13×7不是質數
故選(D)



0.6x1(B)


{a+3=02b5=0{a=3b=5/2{a+2b=3+5=232a4b+9=610+9=7(C)


x22x1=0x22x+1=2(x1)2=2x1=±2x=1±2(B)



(3x22x+1)A=3x2+2x1A=(3x22x+1)(3x2+2x1)=6x24x+2(A)



a16a1=(a1+15d)a1=15d=60d=4(A)



{A+B=180°A+D=180°{5y2+4x=180°5y2+32=180°{5y+4x=182°5y=150°{x=8°y=30°x+y=8°+30°=38°(D)



(x,y)=(1,5),(2,6),y=x+4(B)


矩形ABCD的長寬比為10:6=5:3,各選項斜線矩形的長寬如下:
(A) (10-2):(6-2)=8:4=2:1
(B) (10-1-1):(6-1-1)=8:4=2:1
(C) 6:(10-6.4)=6:3.6=60:36=5:3
(D) 6:(10-5)=6:5
故選(C)



GDFE¯DG¯GK=3a1a+1=212a+2=3a1a=3(C)




由上圖可知O至三線段¯AB,¯BC¯CA的距離都相等,因此O為內心故選(A)




3k+2k+7k+6k=36018k=360k=20ADB+ACD=(3k+6k)÷2=(60+120)÷2=90(B)




aa+57+4=10a+2=10a=8(C)



9899>9798>96979899<9798<9697(B)


=15000000=15×106=15×106=0.2×106=2×107(C)


7+(2)×[12(3)×5]÷9=7+(2)×[12(15)]÷9=7+(2)×[27]÷9=7+(54)÷9=76=1(B)


3a54=a33a5=4a12a=7(A)


(4)6>0,只有(D)是正數,其它均為負數,故選(D)

2x1>5>113x2x1>55>113xx>3x>2x>3(A)




P落在¯BC邊上13+t=1t=23故選(B)


x:y=3:1x=3k,y=k5x+2y=15k+2k=17k=34k=2x=6,y=2(2x1):(2y+1)=(121):(4+1)=11:5(C)


|x|>|y|(xy)2+(x+y)2=|xy|+|x+y|=yx(x+y)=2x(B)


m1+2xx2=01+2mm2=0m22m=1m22m+10=11(A)


a2+2a+1=(a+1)2¯AR=¯RQ=¯QP=¯AP=a+1¯AD=bb2(a+1)2=10a+35b2=(a+1)2+10a+35=(a+6)2b=a+6¯DR=ba=a+6(a+1)=5(A)



L//M15+4+5+2=18015+4+5+30=1804+5=1803015=135=1(D)


a1a6=a11084=(a1+a110)×6÷22a110=28a1=19(C)




¯AD=a¯BD=8a¯DC=¯BD=8a(




I為內心,也是內切圓的圓心,假設內切圓半徑為r,且與三角形各邊的交點為D、E、F,見上圖;
\overline{AD}=\overline{AE}=a, \overline{AD}=\overline{AE}=a, \overline{BD} =\overline{BF}=b,  \overline{CE}=\overline{CF}=c;由題意知\overline{AB}>\overline{BC} >\overline{AC},即a+b>b+c>c+a \Rightarrow a>c且b>a,即b>a>c
r^2=\overline{AI}^2-a^2=\overline{BI}^2-b^2=\overline{CI}^2-c^2 \Rightarrow \overline{BI} > \overline{AI} >  \overline{CI},故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\frac{\triangle AED}{\triangle BDE}=\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{\triangle AED}{12}=\frac{6}{4}\Rightarrow \triangle AED=18 \Rightarrow \triangle ABD=12+18=30\\ \frac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \Rightarrow \frac{30}{\triangle ADC}=\frac{6}{9}\Rightarrow \triangle ADC=45 \Rightarrow \triangle ABC=30+45=75,故選\bbox[red,2pt]{(D)}




\overline{BC}的中垂線為Y軸,因此可假設P(0,a)\overline{PA}=\overline{PC} \Rightarrow (a-4)^2=(-3)^2+a^2 \Rightarrow 8a=7\Rightarrow a=\frac{7}{8},故選\bbox[red,2pt]{(D)}





直角\triangle ABC\Rightarrow \overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2 = 8^2+15^2 =289 \Rightarrow \overline{BC}=17\\\triangle ABC面積=\overline{AC}\times\overline{AB}\div 2 = 15\times 8\div 2=60=\triangle AOC+\triangle AOB+\triangle BOC = \\ (\overline{AC}+\overline{AB} +\overline{BC})\times r \div 2 = (8+15+17)\times r \div 2 =20r \Rightarrow 20r = 60 \Rightarrow r=3\\ 直角\triangle ADC\Rightarrow \overline{CD}^2=\overline{AD}^2+\overline{AC}^2 = 3^2+15^2=234 \Rightarrow \overline{CD} = \sqrt{234} = 3\sqrt{26},故選\bbox[red,2pt]{(B)}
\triangle CDF=\overline{DC}\times\overline{EF}\div 2=\frac{1}{2}ab\\ \triangle BCF=\overline{BC}\times\overline{GF}\div 2=\frac{1}{2}ab=\triangle CDF\\ \Rightarrow \triangle CDF=\triangle BCF\Rightarrow \triangle DHC+\triangle CHF=\triangle BFH+\triangle CHF \\\Rightarrow \triangle DHC=\triangle BFH \Rightarrow \triangle DBF=\triangle DHB+\triangle BFH = \triangle DHB+\triangle DHC\\ = \triangle DBC=\frac{1}{2}a^2,故選\bbox[red,2pt]{(D)}





邊長為12的正三角形面積為12\times 6\sqrt{3}\div 2=36\sqrt{3}
正三角形的內心與重心為同一點,因此\overline{AI}:\overline{AG}=2:3 \Rightarrow \frac{\triangle ADE}{\triangle ABC}=\frac{\overline{AI}^2}{\overline{AG}^2}=\frac{4}{9} \Rightarrow \triangle ADE=\frac{4}{9}\times 36\sqrt{3} = 16\sqrt{3}故選\bbox[red,2pt]{(B)}



燃燒2\frac{3}{4}小時代表還有4-2\frac{3}{4}=1\frac{1}{4}小時的蠟燭剩下,剩下占全部的 1\frac{1}{4}\div 4 =\frac{5}{16},故選\bbox[red,2pt]{(C)}



假設衣服原價為a元,小丸子、小玉及美環分別花了0.9a, 0.7a,0.5a的錢買衣服;
小丸子比小玉多花了240元,即0.9a=0.7a+240 \Rightarrow a=240\div 0.2=1200,因此美環花了1200\times 0.5=600元買衣服,故選\bbox[red,2pt]{(B)}


(x^2+2x)+(x+2)=x(x+2)+(x+2)=(x+1)(x+2),故選\bbox[red,2pt]{(D)}




\overline{DF}\bot\overline{AB}\overline{CE}\bot\overline{AB},如上圖。
由於ABCD為等腰梯形,因此\overline{BC}=\overline{AD}=15,並令\overline{AF}=\overline{EB}=a,則\overline{FE}=25-2a=\overline{CD}
\triangle ABC為直角三角形\Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AC}^2+\overline{BC}^2 \Rightarrow 25^2=\overline{AC}^2+15^2 \Rightarrow \overline{AC}=20
又三角形ABC面積=\overline{AC}\times\overline{BC}\div 2=\overline{AB}\times\overline{CE}\div 2 \Rightarrow 25\overline{CE}=20\times 15 \Rightarrow \overline{CE}=12
在直角三角形CEB中, \overline{CB}^2= \overline{CE}^2+\overline{EB}^2 \Rightarrow 15^2=12^2+a^2 \Rightarrow a=9
因此梯形面積=((25-2a)+25)\times 12\div 2 =32\times 6=192,故選\bbox[red,2pt]{(B)}



\overline{DE}//\overline{FG}\Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{FG}} = \frac{\overline{AD}}{\overline{AF}} =\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\\ \overline{DE}//\overline{BC}\Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} =\frac{3}{3+2+1}=\frac{3}{6}\\由上述二式可知: \overline{DE}:\overline{FG}:\overline{BC}=3:5:6,故選\bbox[red,2pt]{(D)}--END--

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