100學年度國中運動績優生甄試--數學科詳解

100 學年度國民中學運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解： $$16\div 4\times(1+3)=16\div 4\times 4=4\times 4=16 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sqrt{20}-5=\sqrt{5}a\Rightarrow a=\frac{\sqrt{20}-5}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{20}-5)\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}\\=\frac{10-5\sqrt{5}}{5}=2-\sqrt{5}\Rightarrow \begin{cases} m=2\\n=-1\end{cases}\Rightarrow m+n=2-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(1.2\times 10^{-7})\div(3\times 10^{-12}) = \frac{1.2\times 10^{-7}}{3\times 10^{-12}} =0.4\times 10^5 = 4\times 10^4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$假設第三邊長為a，若第三邊是斜邊，則a^2=(\sqrt{11})^2+5^2=36\Rightarrow a=6；\\若5是斜邊長，則5^2=(\sqrt{11})^2+a^2\Rightarrow a^2=14 \Rightarrow a=\sqrt{14}；故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} -\sqrt{24}=-2\sqrt{6}→不是 \\ \frac{\sqrt{27}}{11}=\frac{3\sqrt{3}}{11}→是\\\sqrt{18}=3\sqrt{2}→不是\\-\sqrt{120}=-4\sqrt{30}→不是\\\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}→是 \end{cases}\Rightarrow 有兩個和\sqrt{3}是同類方根，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \frac{\sqrt{7}}{5}\\\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{35}}{5} \\ \frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}\\\frac{7}{5} \end{cases}\Rightarrow 相同分母下取分子最大數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sqrt{(x-4)^2}+\sqrt{(y+3)^2}=0\Rightarrow \begin{cases}x-4=0\\y+3=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=4\\y=-3\end{cases}\\\Rightarrow \sqrt{x+y}=\sqrt{1}=\pm 1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$1.5\times 10^{-7}\div 3\times 10^{-12}=\frac{1.5\times 10^{-7}}{3}\times 10^{-12}   =0.5\times 10^{-7-12}=0.5\times 10^{-19}=5\times 10^{-20}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\triangle ABC為直角三角形，非等腰三角形，因此\angle A之角平分線不會均分\overline{BC}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$該路徑上所有的點至O點的距離皆相等，因此圖形為圓的一部份(弧)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

ABCDEFGH為正八邊形$\Rightarrow \overline{AE}$為直徑$\Rightarrow \overline{AO} = \overline{OE}=$半徑$\Rightarrow \triangle AOD面積=\triangle ODC面積=\triangle ADE 面積\div 2 = 4\div 2 =2 \Rightarrow$ ABCDEFGH為正八邊形面積$=\triangle ODC\times 8 = 2\times 8=16$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$x^2+2x-9408=0 \Rightarrow (x^2+2x+1)-9408-1=0 \Rightarrow (x+1)^2-9409=0 \\\Rightarrow x+1=97 \Rightarrow x=96，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\overline{AB}: \overline{BC}: \overline{CA} =\sqrt{3}:\sqrt{5}:\sqrt{7} \Rightarrow \overline{CA}>\overline{BC}>\overline{AB} \Rightarrow \angle B>\angle A>\angle C，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

內角加外角為180度，外角不可能是360度，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

上圖之$\triangle DBA$與$\triangle CBA$符合SSA條件，但兩三角形並不全等，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

若圖形按實際比例應為上圖，若$\overline{BP}\bot\overline{AC}$，則P點落在線段 $\overline{AC}$之外。因此若要符合P點在AC之間移動，則P=A時 $\overline{AP} +\overline{BP} +\overline{CP}= \overline{AC}+\overline{AB}=5+5=10$為最小值，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$
此題題目恐有疑義，在其他考試$\overline{BC}=6$，P點就會落在A、C之間，則答案就是9.8，選項$\bbox[red,2pt]{(C)}$就是答案。

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解：

作$\overline{GH}\bot\overline{AB}$，見上圖。令圓半徑為$r=\overline{AD}=\overline{AG}$，則$\overline{GH}=\overline{FB}=r/2$；
因此在直角$\triangle AGH$中，$\overline{GH}:\overline{AG}=1:2 \Rightarrow \angle AGH=60^\circ \Rightarrow \angle AGF=60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\angle A=90^\circ 且I為內心 \Rightarrow \angle IAB=45^\circ \Rightarrow 直線\overline{AI}的斜率為1\\斜率為1且經過(3/2,1)的直線方程式為 y-1=x-3/2 \Rightarrow 當x=0時，y-1=-3/2\\ \Rightarrow y=-1/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$y=\frac{1}{3}x+2 \Rightarrow y-2=\frac{1}{3}x\Rightarrow x=3y-6\Rightarrow 小蓉蓉年齡是兒子的3倍少6歲\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

直線L經過$(0,b)及(b/100,0)$，見上圖，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{cases} S_{ 10 }=100 \\ S_{ 20 }=50 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { \left( 2a_{ 1 }+9d \right) \times 10 }{ 2 } =100 \\ \frac { \left( 2a_{ 1 }+19d \right) \times 20 }{ 2 } =50 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a_{ 1 }+9d=20 \\ 2a_{ 1 }+19d=5 \end{cases}\Rightarrow 10d=-15\Rightarrow d=-1.5\\ \Rightarrow 2a_{ 1 }-13.5=20\Rightarrow a_{ 1 }=16.75\Rightarrow S_{ 30 }=\frac { \left( 2a_{ 1 }+29d \right) \times 30 }{ 2 } =\left( 33.5-43.5 \right) \times 15=-150\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

直走5步再向右轉45度，相當於在畫一個正n多邊形；45度的外角為180-45=135度，由 $$\frac{(n-2)\times 180}{n}=135 \Rightarrow n=8$$ 因此機器人畫了一個正八邊形，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$2(2x-1)-x=7x \Rightarrow 4x-2-x=7x\Rightarrow -2=4x \Rightarrow x=-\frac{1}{2} ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$ax+by=1通過(0,1/b)及(1/a, 0)，不通過第二象限\Rightarrow 1/a>0且1/b<0\\ \Rightarrow b<0, a>0 \Rightarrow (b,a )在第二象限，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases}(A)a\div b\div c=\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{bc}\\(B)a\times\frac{1}{c} \div b = \frac{a}{cb}\\(C)a\div\frac{1}{c\times b}=a\times c\times b\\ (D) a\div (c\times b)=\frac{a}{c\times b}\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$101\times\frac{101}{100}=\frac{(100+1)^2}{100}=\frac{100^2+2\times 100+1}{100}=100+2+\frac{1}{100}=102+\frac{1}{100}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} S_{ 35 }=158 \\ S_{ 12 }=66 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { \left( 2a_{ 1 }+34d \right) \times 35 }{ 2 } =158 \\ \frac { \left( 2a_{ 1 }+11d \right) \times 12 }{ 2 } =66 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a_{ 1 }+34d=\frac { 316 }{ 35 }  \\ 2a_{ 1 }+11d=11 \end{cases}\Rightarrow 23d=-\frac { 69 }{ 35 } \Rightarrow d=-\frac { 3 }{ 35 } \\ \Rightarrow 2a_{ 1 }-11\times \frac { 3 }{ 35 } =11\Rightarrow a_{ 1 }=\frac { 209 }{ 35 } \Rightarrow a_{ 24 }=a_{ 1 }+23d=\frac { 209 }{ 35 } -\frac { 3 }{ 35 } \times 23=\frac { 140 }{ 35 } =4\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(0)+f(9)-f(4)=6+(-5)-7=-6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(3x^2+5x+4)-(3x^2-5x+2)=10x+2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

假設濃度為6%的食鹽水有$x$公克，則鹽占$0.06x$公克，白開水占$0.94x$公克；
加了白開水70公克後，濃度變為5%，即$\frac{0.06x}{70+0.94x}=\frac{5}{100} \Rightarrow 70+0.94x=1.2x$；
再加70公克的白開水，濃度變為a%，即$\frac{0.06x}{70+70+0.94x}=\frac{a}{100}\Rightarrow a=\frac{6x}{70+1.2x}=5-\frac{350}{70+1.2x}$；

由於$0<\frac{350}{70+1.2x}<1\Rightarrow 4<a<5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\frac{3}{5}a=b+\frac{2}{5}a\Rightarrow \frac{1}{5}a=b\Rightarrow \frac{a}{b}=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$16+17\times 2=60\Rightarrow$確定當選；
若有3個人的票都比小参多，則總票數至少是$17\times 3+16=67$超過總投票數60，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

內角和定理：三角形三內角和為180度，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\sqrt { \frac { a^{ 2 }+b^{ 2 } }{ 4 } +\frac { ab }{ 2 }  } =\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+2\cdot \frac { a }{ 2 } \cdot \frac { b }{ 2 } +{ \left( \frac { b }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( \frac { a }{ 2 } +\frac { b }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( \frac { a+b }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\frac { a+b }{ 2 } =\frac { 19+13 }{ 2 } =\frac { 32 }{ 2 } =16，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

作$\overline{DG}//\overline{FC}$，見上圖； $$\triangle CDF面積=\triangle DGC面積 且\triangle ADE面積=\triangle面積 ADG \\ \Rightarrow \triangle ADE+\triangle CDF=\triangle ADC=\triangle ABC \Rightarrow a=b\Rightarrow a:b=1:1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：14與15互質，但都不是質數，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

$$令O_1半徑r_1,O_2半徑r_2=2, O_3半徑r_3=3,\\ 在\overline{DO_3}上找一點P，使得\overline{CP} // \overline{O_2O_3}；並在\overline{CO_2}上找一點Q，使得\overline{BQ} // \overline{O_1O_2}，見上圖\\ \triangle BCQ\sim \triangle CDP(AAA) \Rightarrow \frac{\overline{BQ}}{\overline{CQ}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{DP}} \Rightarrow \frac{r_1+r_2}{r_2-r_1}=\frac{r_2+r_3}{r_3-r_2}\Rightarrow \frac{2+r_1}{2-r_1}=\frac{5}{1} \\ r_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\Rightarrow O_1直徑=2r_1=\bbox[red,2pt]{\frac{8}{3}}$$

$\bbox[red,2pt]{(無正確選項)}$

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解：

在四邊形中，$\angle A+\angle B+\angle C=360^\circ-\angle 1$；同理$\angle D+\angle E+\angle F=360^\circ-\angle 2$及$\angle G+\angle H+\angle I=360^\circ-\angle 3$；
因此$\angle A+\angle B+\cdots+\angle I=360\times 3-(\angle 1+\angle 2+\angle 3)$ = $1080^\circ -(\angle 1+\angle 2+\angle 3)$；
又$\angle 1=\angle 4 \Rightarrow \angle A+\angle B+\cdots+\angle I=1080^\circ -(\angle 4+\angle 2+\angle 3)=1080^\circ-180^\circ = 900^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

鈍角三角形的外心不在三角形內，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

0沒有倒數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

--END--