臺北市立中正高級中學107學年度第1次專任教師甄選數學科初選試卷
解:{(21/2)6=23=8(31/3)6=32=9⇒31/3>21/2,又{(21/2)14=27=128(71/7)14=72=49⇒21/2>71/7,因此31/3>21/2>71/7;(x−21/2)(x−31/3)(x−71/7)=|(x−21/2)(x−31/3)(x−71/7)|⇒(x−21/2)(x−31/3)(x−71/7)={(x−21/2)(x−31/3)(x−71/7)if x≥31/3或71/7≤x≤21/2−(x−21/2)(x−31/3)(x−71/7)if 21/2≤x≤31/3或x≤71/7⇒{x≥31/3或71/7≤x≤21/2x=21/2,31/3,71/7⇒x≥31/3或71/7≤x≤21/2解:uvx+y+z數量118H35=217H34=156H33=105H32=64H31=331215H32=64H31=331⇒共有21+15+10+6+3+1+6+3+1=66組正整數解
解:f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1⇒f(1)為最小值⇒{f(x)遞減,x≤1f(x)遞增,x≥1⇒U3n=n∑i=11nf(i−1n)+3n∑i=n+11nf(in)=1nn∑i=1[(i−1n)2−2(i−1n)+2]+1n3n∑i=n+1[(in)2−2(in)+2]=1nn∑i=1[i2−2i+1n2−2(i−1n)+2]+1n3n∑i=n+1[i2n2−2(in)+2]=1n(2n3−3n2+n6n2−n2−nn+2n)+1n(52n3+24n2+2n6n2−8n2+2nn+4n)=54n3+21n2+3n6n3−9n2+nn2+6=(9+72n+12n2)−(9+1n)+6=5n+12n2+6
解:
(A)四男三女排列,恰有二女相鄰的的排列數:
三女排列數:3!,再乘上左2右1或左1右2兩種分組,因此共有2×3!排法;
在二組女生中間一定要塞一個男生,剩下三男往三個空間(兩組女生的左外側、右外側或兩組中間)組合,組合數為H33=10,再乘上四男排列數4!;
因此有男生排列數×女生排列數=(10×4!)×(2×3!)=2880
(B)阿正以外的三男三女排列,恰有二女相鄰
方法同A,因此男生排列數×女生排列數=(H32×3!)×(2×3!)=432
(C)條件如(B),再加上阿正在最左邊或最右邊
排列數為(B)的2倍,即432×2=864
因此所求之數為(A)-(C) =2880−864=2016
解:令{∠BAD=∠DAE=∠DAC=θ¯AB=a¯AD=b¯AE=c¯AC=d⇒△ABD:△ADE:△AEC=¯BD:¯DE:¯EC=3:4:8;又{△ABD=12absinθ△ADE=12bcsinθ△AEC=12cdsinθ⇒{ab:bc=3:4bc:cd=4:8⇒{a:c=3:4b:d=1:2⇒{a=3tb=sc=4td=2s,where s,t∈Rcosθ=a2+b2−92ab=b2+c2−162bc=c2+d2−642cd⇒9t2+s2−96st=s2+16t2−168st=16t2+4s2−6416st⇒72t2+8s2−72=6s2+96t2−96=48t2+12s2−192⇒{s2−12t2+12=0s2−8t2−16=0s2−6t2−30=0⇒{s=6√2t=√7⇒cosθ=9t2+s2−96st=√144⇒sinθ=√24⇒△ABC=12adsin3θ=12(3√7)(12√2)(3sinθ−4sin3θ)=18√14(3√24−√28)=452√7
6.台灣彩券最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「 42 選 6」: 購買者從 01~42 中任選六個號碼,當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎;近期,台灣彩券發行新的樂透彩──雙贏彩,玩法是「 24 選 12」: 購買者從 01~24 中任選十二個號碼,當這十二個號碼與開出的十二個號碼完全相同或完全不同(皆不計次序)時均得頭獎。 假設原來的小樂透中頭獎的機率是 p,而新發行的雙贏彩中頭獎的機率是 q。試求比值 q/p為何?(答案請化為小數,四捨五入至小數點下第一位)
解:2C24121C426=2C426C2412=1517391=3.879≈3.9
解:0<x<1⇒f(x)=x−⌊x⌋=x−0=x⇒f(2×12018)+⋯+f(2×10082018)=2×12018+⋯+2×100820181≤x<2⇒f(x)=x−⌊x⌋=x−1⇒f(2×10092018)+⋯+f(2×20172018)=2×10092018+⋯+2×20172018−1009f(2)=2−2=0⇒f(2×20182018)=0因此所求之值=22018(1+2+⋯+2017)−1009=2017−1009=1008
解:{a=√10+√51b=√10−√51⇒{a2+b2=20ab=7⇒(a+b)2=a2+b2+2ab=20+14=34⇒a+b=√34⇒a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)=√34×(20−7)=13√34
解:L:x−32=y+4−3=z−96⇒{L上的點可表示成(2t+3,−3t−4,6t+9),t∈RL的方向向量→u=(2,−3,6)假設A(11,5,−30)在L上的投影點A′(2t+3,−3t−4,6t+9)⇒→A′A⊥→u⇒(2t−8,−3t−9,6t+39)⋅(2,−3,6)=0⇒4t−16+9t+27+36t+234=0⇒49t+245=0⇒t=−5⇒A′(−7,11,−21);同理,B(−3,−16,5)在L上的投影點B′(2s+3,−3s−4,6s+9)⇒→B′B⊥→u⇒(2s+6,−3s+12,6s+4)⋅(2,−3,6)=0⇒s=0⇒B′(3,−4,9)因此{¯AA′=√182+(−6)2+(−9)2=21¯BB′=√62+122+42=14,由於△PAA′∼△PBB′⇒¯PA′¯PB′=¯AA′¯BB′=2114=32⇒P=(2A′+3B′)/5=(−14+95,22−125,−42+275)=(−1,2,−3)⇒¯PA+¯PB=√122+32+272+√22+182+82=21√2+14√2=35√2答:(1)P=(−1,2,−3),(2)¯PA+¯PB=35√2
解:
(1)α=3√−1−√52+3√−1+√52−1⇒(α+1)3=(3√−1−√52+3√−1+√52)3⇒α3+3α2+3α+1=−1−√52+−1+√52+3⋅3√−44(3√−1−√52+3√−1+√52)=−1−3(α+1)⇒α3+3α2+6α+5=0⇒f(x)=x3+3x2+6x+5(2)α,β,γ為f(x)=x3+3x2+6x+5=0之三根⇒{α+β+γ=−3αβ+βγ+γα=6αβγ=−5又f(x)=(x−α)(x−β)(x−γ)⇒f(3)=27+27+18+5=77=(3−α)(3−β)(3−γ)g(x)=x4+4x3+9x2+10x+8=(x3+3x2+6x+5)(x+1)−x+3=f(x)(x+1)−x+3⇒{g(α)=f(α)(α+1)−α+3=−α+3g(α)=f(β)(β+1)−β+3=−β+3g(β)=f(γ)(γ+1)−γ+3=−γ+3⇒1g(α)+1g(β)+1g(γ)=1−α+3+1−β+3+1−γ+3=αβ+βγ+γα−6(α+β+γ)+27(3−α)(3−β)(3−γ)=6−6×(−3)+2777=5177
解:
(1)limn→∞f(n)n5=8⇒f(x)=8x5+ax4+bx3+cx2+dx+e又limx→0f(x)x=4⇒{d=4e=0⇒f(x)=8x5+ax4+bx3+cx2+4xf″(0)=2⇒2c=2⇒c=1⇒f(x)=8x5+ax4+bx3+x2+4x最後{f(1)=2f(−1)=6⇒{8+a+b+1+4=2−8+a−b+1−4=6⇒{a+b=−11a−b=17⇒{a=3b=−14⇒f(x)=8x5+3x4−14x3+x2+4x(2)∫1−1f(x)dx=[43x6+35x5−72x4+13x3+2x2]|1−1=2330−(−1110)=−13
解:{log6(x+2)log6(5−x)⇒{x+2>05−x>0⇒−2<x<5≡S={x∣−2<x<5,x∈R}log6(x+2)+log6(5−x)=log6(a−x)⇒(x+2)(5−x)=a−x⇒f(x)=x2−4x+a−10=0(A)f(x)=0有1解⇒判別式=0⇒16−4(a−10)=0⇒a=14⇒x=2∈S(B)f(x)=0有2實數解,恰有1解滿足−2<x<5⇒16−4(a−10)>0⇒{a<14x1=2+√14−ax2=2−√14−a⇒{{x1∈Sx2∉S⇒{−2<2+√14−a<52−√14−a≤−2⇒{5<a≤14a≤−2不可能同時滿足{x1∉Sx2∈S⇒{2+√14−a≥5−2<2−√14−a<5⇒{a≤5−2<a≤14⇒−2<a≤5⇒a=−1,0,1,2,3,4,5綜合(A)與(B)的結果a=−1,0,1,2,3,4,5,14⇒{m=−1+0+1+2+3+4+5+14=28n=8⇒(m,n)=(28,8)
解:
先求拋物線的對稱軸:
在拋物線上半部任找二點A、C,下半部任找一點B。作↔CD∥¯AB,且↔CD交拋物線下半部於D。分別作圖找¯AB與¯CD的中點E與F,作直線↔EF。在拋物線上半部任找一點G,作圖↔GH⊥↔EF且 ↔GH交拋物線下半部於H,則對稱軸L=¯GH的中垂線。
再找焦點:
對稱軸L與拋物線的交點為P(頂點),於L上任找一點Q(在拋物線外),過Q作直線L',使得L⊥L′;在L'上找R,及S,使得¯QP=¯QR=¯RS;作直線↔PS交拋物於T,過T作直線垂直L並交L於F,F即為焦點。
國中方法:假設{¯AB=¯BC=1¯BP=a⇒{¯FH=¯CP=1−a¯AE=¯EB=¯HP=1/2¯GH∥¯AE⇒¯GH¯AE=¯FH¯FE⇒¯GH1/2=1−a1⇒¯GH=1−a2⇒¯GP=12+1−a2=1−a2直角△AGQ:{∠PAB=∠GPA=θ⇒¯GA=¯GP=1−a2¯QG=1−¯GP=a/2¯AQ=1−a⇒(1−a/2)2=a2+(a/2)2⇒a=√5−12⇒¯BC¯BP=1/a=√5+12為黃金比例高中方法:{∠DFA=∠FAB=2θ⇒tan∠DFA=¯AD¯DF⇒tan2θ=2tan∠PAB=¯BP¯AB⇒tanθ=a⇒tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2a1−a2=2⇒a2+a−1=0⇒a=−1+√52⇒1a=√5+12為黃金比例
你好:請問計算題第一題,AB直線和直線L沒有相交,那三角形PAA"和三角形PBB"還會相似嗎?為什麼呢?謝謝
回覆刪除假設平面E包含直線L,將A及B投影至E上就能看出兩三角形相似
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