Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

2020年12月5日 星期六

107年臺北市中正高中教甄-數學詳解

 臺北市立中正高級中學107學年度第1次專任教師甄選
數學科初選試卷

解:{(21/2)6=23=8(31/3)6=32=931/3>21/2{(21/2)14=27=128(71/7)14=72=4921/2>71/731/3>21/2>71/7(x21/2)(x31/3)(x71/7)=|(x21/2)(x31/3)(x71/7)|(x21/2)(x31/3)(x71/7)={(x21/2)(x31/3)(x71/7)if x31/371/7x21/2(x21/2)(x31/3)(x71/7)if 21/2x31/3x71/7{x31/371/7x21/2x=21/2,31/3,71/7x31/371/7x21/2

解:uvx+y+z118H35=217H34=156H33=105H32=64H31=331215H32=64H31=33121+15+10+6+3+1+6+3+1=66

f(x)=x22x+2=(x1)2+1f(1){f(x),x1f(x),x1U3n=ni=11nf(i1n)+3ni=n+11nf(in)=1nni=1[(i1n)22(i1n)+2]+1n3ni=n+1[(in)22(in)+2]=1nni=1[i22i+1n22(i1n)+2]+1n3ni=n+1[i2n22(in)+2]=1n(2n33n2+n6n2n2nn+2n)+1n(52n3+24n2+2n6n28n2+2nn+4n)=54n3+21n2+3n6n39n2+nn2+6=(9+72n+12n2)(9+1n)+6=5n+12n2+6

(A)四男三女排列,恰有二女相鄰的的排列數:
     三女排列數:3!,再乘上左2右1或左1右2兩種分組,因此共有2×3!排法;
      在二組女生中間一定要塞一個男生,剩下三男往三個空間(兩組女生的左外側、右外側或兩組中間)組合,組合數為H33=10,再乘上四男排列數4!;
因此有男生排列數×女生排列數=(10×4!)×(2×3!)=2880
(B)阿正以外的三男三女排列,恰有二女相鄰
   方法同A,因此男生排列數×女生排列數=(H32×3!)×(2×3!)=432
(C)條件如(B),再加上阿正在最左邊或最右邊
   排列數為(B)的2倍,即432×2=864

因此所求之數為(A)-(C) =2880864=2016

解:{BAD=DAE=DAC=θ¯AB=a¯AD=b¯AE=c¯AC=dABD:ADE:AEC=¯BD:¯DE:¯EC=3:4:8;{ABD=12absinθADE=12bcsinθAEC=12cdsinθ{ab:bc=3:4bc:cd=4:8{a:c=3:4b:d=1:2{a=3tb=sc=4td=2s,where s,tRcosθ=a2+b292ab=b2+c2162bc=c2+d2642cd9t2+s296st=s2+16t2168st=16t2+4s26416st72t2+8s272=6s2+96t296=48t2+12s2192{s212t2+12=0s28t216=0s26t230=0{s=62t=7cosθ=9t2+s296st=144sinθ=24ABC=12adsin3θ=12(37)(122)(3sinθ4sin3θ)=1814(32428)=4527
6.台灣彩券最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「 42 選 6」: 購買者從 01~42 中任選六個號碼,當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎;近期,台灣彩券發行新的樂透彩──雙贏彩,玩法是「 24 選 12」: 購買者從 01~24 中任選十二個號碼,當這十二個號碼與開出的十二個號碼完全相同或完全不同(皆不計次序)時均得頭獎。 假設原來的小樂透中頭獎的機率是 p,而新發行的雙贏彩中頭獎的機率是 q。試求比值 q/p為何?(答案請化為小數,四捨五入至小數點下第一位)
2C24121C426=2C426C2412=1517391=3.8793.9

0<x<1f(x)=xx=x0=xf(2×12018)++f(2×10082018)=2×12018++2×100820181x<2f(x)=xx=x1f(2×10092018)++f(2×20172018)=2×10092018++2×201720181009f(2)=22=0f(2×20182018)=0=22018(1+2++2017)1009=20171009=1008
{a=10+51b=1051{a2+b2=20ab=7(a+b)2=a2+b2+2ab=20+14=34a+b=34a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)=34×(207)=1334
L:x32=y+43=z96{L(2t+3,3t4,6t+9),tRLu=(2,3,6)A(11,5,30)LA(2t+3,3t4,6t+9)AAu(2t8,3t9,6t+39)(2,3,6)=04t16+9t+27+36t+234=049t+245=0t=5A(7,11,21);,B(3,16,5)LB(2s+3,3s4,6s+9)BBu(2s+6,3s+12,6s+4)(2,3,6)=0s=0B(3,4,9){¯AA=182+(6)2+(9)2=21¯BB=62+122+42=14PAAPBB¯PA¯PB=¯AA¯BB=2114=32P=(2A+3B)/5=(14+95,22125,42+275)=(1,2,3)¯PA+¯PB=122+32+272+22+182+82=212+142=352(1)P=(1,2,3),(2)¯PA+¯PB=352
(1)α=3152+31+521(α+1)3=(3152+31+52)3α3+3α2+3α+1=152+1+52+3344(3152+31+52)=13(α+1)α3+3α2+6α+5=0f(x)=x3+3x2+6x+5(2)α,β,γf(x)=x3+3x2+6x+5=0{α+β+γ=3αβ+βγ+γα=6αβγ=5f(x)=(xα)(xβ)(xγ)f(3)=27+27+18+5=77=(3α)(3β)(3γ)g(x)=x4+4x3+9x2+10x+8=(x3+3x2+6x+5)(x+1)x+3=f(x)(x+1)x+3{g(α)=f(α)(α+1)α+3=α+3g(α)=f(β)(β+1)β+3=β+3g(β)=f(γ)(γ+1)γ+3=γ+31g(α)+1g(β)+1g(γ)=1α+3+1β+3+1γ+3=αβ+βγ+γα6(α+β+γ)+27(3α)(3β)(3γ)=66×(3)+2777=5177
解:
(1)limnf(n)n5=8f(x)=8x5+ax4+bx3+cx2+dx+elimx0f(x)x=4{d=4e=0f(x)=8x5+ax4+bx3+cx2+4xf(0)=22c=2c=1f(x)=8x5+ax4+bx3+x2+4x{f(1)=2f(1)=6{8+a+b+1+4=28+ab+14=6{a+b=11ab=17{a=3b=14f(x)=8x5+3x414x3+x2+4x(2)11f(x)dx=[43x6+35x572x4+13x3+2x2]|11=2330(1110)=13
解:{log6(x+2)log6(5x){x+2>05x>02<x<5S={x2<x<5,xR}log6(x+2)+log6(5x)=log6(ax)(x+2)(5x)=axf(x)=x24x+a10=0(A)f(x)=01=0164(a10)=0a=14x=2S(B)f(x)=021滿2<x<5164(a10)>0{a<14x1=2+14ax2=214a{{x1Sx2S{2<2+14a<5214a2{5<a14a2滿{x1Sx2S{2+14a52<214a<5{a52<a142<a5a=1,0,1,2,3,4,5(A)(B)a=1,0,1,2,3,4,5,14{m=1+0+1+2+3+4+5+14=28n=8(m,n)=(28,8)
解:


先求拋物線的對稱軸:
    在拋物線上半部任找二點A、C,下半部任找一點B。作CD¯AB,且CD交拋物線下半部於D。分別作圖找¯AB¯CD的中點E與F,作直線EF。在拋物線上半部任找一點G,作圖GHEFGH交拋物線下半部於H,則對稱軸L=¯GH的中垂線。




再找焦點:
    對稱軸L與拋物線的交點為P(頂點),於L上任找一點Q(在拋物線外),過Q作直線L',使得LL;在L'上找R,及S,使得¯QP=¯QR=¯RS;作直線PS交拋物於T,過T作直線垂直L並交L於F,F即為焦點。




國中方法:{¯AB=¯BC=1¯BP=a{¯FH=¯CP=1a¯AE=¯EB=¯HP=1/2¯GH¯AE¯GH¯AE=¯FH¯FE¯GH1/2=1a1¯GH=1a2¯GP=12+1a2=1a2AGQ:{PAB=GPA=θ¯GA=¯GP=1a2¯QG=1¯GP=a/2¯AQ=1a(1a/2)2=a2+(a/2)2a=512¯BC¯BP=1/a=5+12高中方法:{DFA=FAB=2θtanDFA=¯AD¯DFtan2θ=2tanPAB=¯BP¯ABtanθ=atan2θ=2tanθ1tan2θ=2a1a2=2a2+a1=0a=1+521a=5+12




3 則留言:

  1. 你好:請問計算題第一題,AB直線和直線L沒有相交,那三角形PAA"和三角形PBB"還會相似嗎?為什麼呢?謝謝

    回覆刪除
    回覆
    1. 假設平面E包含直線L,將A及B投影至E上就能看出兩三角形相似

      刪除
  2. 作者已經移除這則留言。

    回覆刪除