圓柱體被平面截出的體積

圓柱體底面圓半徑為R，平面E過底面圓直徑且與底面夾角為θ，求圓柱體被平面E截出的體積為何？

解：

上圖綠色體積即為下圖的綠色體積。

底面圓方程式為$x^2+y^2=R^2$，所求體積由許多直角三角形所累積而成，如上圖的紅色三角形；該三角形與底面圓的交點坐標為$(x,y)$，則三角形的底長為$y$，高為$y\tan \theta$，因此三角形面積為${1\over 2}y^2\tan\theta ={1\over 2}(R^2-x^2)\tan \theta$，所求體積為$\int_{-R}^R {1\over 2}(R^2-x^2)\tan \theta\;dx =\bbox[red,2pt]{ {2\over 3}R^3\tan \theta}$