108年竹北高中教甄2-數學詳解

國立竹北高中 108 學年度第 1 學期第 2 次教師甄選

1. 小穎的冰箱中有 5 顆士力架巧克力及 7 根加倍佳棒棒糖﹐今自 108 年 6 月 6 日起每天吃一個（巧克力或棒棒糖中的一個）﹐直到冰箱內的巧克力及棒棒糖吃完為止﹒若這 5 顆巧克力及 7 根棒棒糖被吃到的機會均等﹐則在這種吃的過程中﹐冰箱內剩下巧克力數不多於冰箱內剩下棒棒糖個數的機率為 _______

解答： 

吃一個巧克力代表向右走一格，吃一個棒棒糖代表向上走一格；此題相當於由A走到B，但不能經過紅點，見上圖，共有297種走法；全部的走法(不考慮紅點)有${12!\over 5! 7!}=792$種，因此機率為${297 \over 792}= \bbox[red,2pt]{3\over 8}$

2. 若曲線$y=x^3-9x^2+15x+7$，點$P(0,a)$在曲線之外，$a\in R$，若過 P 的切線可以有相異的三 條時﹐求$a$的範圍為 _______

解答： $$y=x^3-9x^2+15x+7 \Rightarrow y'=3x^2-18x+15;\\令切點為(k,k^3-9k^2+15k+7)，則經過此切點的切線斜率為3k^2-18k+15\\ \Rightarrow 切線L方程式: y=(3k^2-18k+15)(x-k)+k^3-9k^2+15k+7，\\又L經過(0,a) \Rightarrow a=(3k^2-18k+15)(0-k)+k^3-9k^2+15k+7 \\ \Rightarrow f(k)=-2k^3+9k^2+7-a=0 有三相異實數解 \Rightarrow f'(k)=0 \Rightarrow -6k(k-3)=0 \Rightarrow k=0,3;\\ f(k)=0有三相異實數解 \Rightarrow f(0)f(3) \lt 0 \Rightarrow (7-a)(34-a) \lt 0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{7 \lt a \lt 34}$$

3. 試求$\sum_{n=1}^\infty (3n-1)\cdot \cfrac{1}{ 5^{n-1}}$ _______

解答： $$S=\sum_{n=1}^\infty (3n-1)\cdot {1\over 5^{n-1}} =\sum_{n=1}^\infty {3n\over 5^{n-1}} -\sum_{n=1}^\infty {1\over 5^{n-1}} =S_1-S_2，其中\cases{S_1= \sum_{n=1}^\infty {3n\over 5^{n-1}}\\ S_2= \sum_{n=1}^\infty {1\over 5^{n-1}}}\\ S_1={3\over 5^0} +{6\over 5}+{9\over 5^2} +\cdots \Rightarrow 5S_2= 15+6 +{9\over 5}+{12\over 5^2}+\cdots \\ \Rightarrow 5S_1-S_1=15+ {3\over 5^0} +{3\over 5} +{3\over 5^2} + \cdots \Rightarrow 4S_1 =15+3\left({1\over 1-1/5}\right) =15+{15\over 4}\\ \Rightarrow S_1={15\over 4}+{15\over 4^2}\\ S_2=1+ {1\over 5}+ {1\over 5^2}+\cdots = {1\over 1-1/5} ={5\over 4}\\ 因此S=S_1-S_2 ={15\over 4}+{15\over 4^2}- {5\over 4} ={10\over 4}+{15\over 16} = \bbox[red,2pt]{55\over 16}$$

4. 空間中﹐有一平面 $E$ 過點$P(2,3,1)$，且分別交$x$軸,$y$軸,$z$軸之正向於$A, B, C$三點，$O$為原點，且 $k=2\overline{OA}+3\overline{OB} +4\overline{OC}$ (1)求 $k$之最小值 _______ (2)$k$有最小值時，平面$E$的方程式 ______

解答： 

(1) $$令\cases{A(a,0,0)\\ B(0,b,0)\\ C(0,0,c)} \Rightarrow E:{x\over a}+{y \over b}+{z\over c}=1；又P(2,3,1)在E上\Rightarrow {2\over a}+{3 \over b}+{1\over c}=1;\\ 柯西不等式:\left({2\over a}+{3 \over b}+{1\over c} \right)(2a+3b+4c) \ge (\sqrt 4+\sqrt 9 +\sqrt 4)^2 \\ \Rightarrow 1\cdot k \ge 7^2=49 \Rightarrow k的之最小值為\bbox[red,2pt]{49}$$ (2) $$k=49 代表柯西不等式等號成立，因此{\sqrt{2\over a} \over \sqrt{2a}} ={\sqrt{3\over b} \over \sqrt{3b}} ={\sqrt{1\over c} \over \sqrt{4c}} \Rightarrow {1\over a}={1\over b}={1\over 2c}\\ 將上式代入{2\over a}+{3 \over b}+{1\over c}=1 \Rightarrow \cases{a=b= 7\\c=7/2} \Rightarrow E:{x\over 7}+{y \over 7}+{2z\over 7}=1 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x+y+2z= 7}$$

5. 對於曲線$f(x)=x^3$ 與$x=0,x=1$及$x$軸圍成區域，將閉區間 $[0,1]\;n$等分成$n$個區域， $U_n,L_n$分別為上和、下和；若$|U_n-L_n| \lt 10^{-4}$，試求 n 的最小正整數 _______

解答： $$\cases{U_n=\sum_{k=1}^n {1\over n}\cdot \left({k\over n} \right)^3 \\L_n=\sum_{k=1}^n {1\over n}\cdot \left({k-1\over n} \right)^3} \Rightarrow U_n-L_n = {1\over n} < {1\over 10000} \Rightarrow n= \bbox[red,2pt]{10001}$$

6. 有一光源位於$(-4,7)$，試求曲線$y=\sqrt{x(4-x)}$落在$x$軸的投影長 _______

解答：

$$曲線\Gamma: y=\sqrt{x(4-x)} \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4 \Rightarrow \Gamma為一圓心之上半部，其\cases{圓心O(2,0)\\ 半徑r=2} \\令過P(-4,7)之切線L交於x軸於Q(a,0)，則L:7x+(a+4)y+28-7(a+4)=0\\ d(O,L)=2 \Rightarrow \cfrac{|42-7(a+4)|}{\sqrt{49+(a+4)^2}} =2 \Rightarrow 45a^2-228a-64=0 \Rightarrow (3a-16)(15a+4)=0 \\\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{16\over 3}(x軸投影長=原點至Q的距離=a)$$

7. 若水中有一半徑為 3 公分的球，其中浮出水面 1 公分，求此球在水面上的體積為 _______

解答： 

$$所求體積相當於圓\Gamma:x^2+y^2=3^2弓形部份繞x軸旋轉所得體積\\ =\int_2^3 (9-x^2)\pi\;dx =\pi\left.\left[ 9x-{1\over 3}x^3\right] \right|_2^3 =\bbox[red,2pt]{8\pi\over 3}$$

8. 如圖，轉盤游戲$\cdot$轉盤被分成 8 個均匀的扇形區域$\cdot$游戲規則：用力旋轉轉盤，轉盤停止時箭頭 A 所指區域的數字就是游戲所得的點數（轉盤停留的位置是随機的）$\cdot$假设箭頭指到區域分界線的機率为0.1 ，同時規定所得點數为 0$\cdot$某同學進行了一次游戲，記所得點數為$\xi$$\cdot$求$\xi$的期望值 _______

解答： $$\left(1\times {3\over 8} +6\times {3\over 8}+ 8\times {2\over 8} \right)\times (1-0.1)= \bbox[red,2pt]{333\over 80}$$

9. 已知$O$為原點，$A, B$為橢圓$\cfrac{x^2}{25} +\cfrac{y^2}{16}=1$上兩點，且$\overline{OA} \bot \overline{OB}$，則$\cfrac{1}{\overline{OA}^2} +\cfrac{1}{\overline{OB}^2}$ = _______

解答： $${x^2\over 25} +{y^2\over 16}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\b=4}，取\cases{A(a,0)=(5,0)\\ B(0,b)=(0,4)} \Rightarrow {1\over \overline{OA}^2} +{1\over \overline{OB}^2} ={1\over 25}+{1\over 16} =\bbox[red,2pt]{41 \over 400}$$

二、計算證明題

1. 試就$a$值討論方程組$\cases{ax+y+z=1 \\ x+ay+z=1\\ x+y+az=1}$的解， 並說明其幾何意義﹒

解答： $$\cases{ax+y+z=1 \\ x+ay+z=1\\ x+y+az=1} \Rightarrow \triangle =\begin{vmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 &a\end{vmatrix} =a^3+2-3a =(a-1)^2(a+2);\\若\triangle =0，則a=1或a=-2；\\當a=1，則原聯立方程組變為x+y+z=1 \Rightarrow 有無限多組解；\\當a=-2\Rightarrow \cases{-2x+y+z=1 \cdots(1)\\ x-2y+z=1\cdots(2)\\ x+y-2z=1\cdots(3)}， (2)-(1)\Rightarrow  3x-3y=0 \Rightarrow x=y\\ 將x=y代回(2)及(3)\Rightarrow \cases{-x+z=1\\ 2x-2z=1} \Rightarrow \cases{x-z=-1\\ x-z=1/2}，矛盾，故無解;\\ 當a\ne 1,a\ne -2時，(x,y,z)=\left({\triangle_x\over \triangle }, {\triangle_y\over \triangle },{\triangle_z\over \triangle }\right) =\left({1\over a+2 }, {1\over a+2 },{1\over a+2 }\right)，有一組解\\因此\bbox[red,2pt]{\cases{a=1時,無限多組解 \\ a=-2時,無解 \\a\ne 1,a\ne -2時,有一組解x=y=z=1/(a+2) }}$$

2. 設一隨機試驗的樣本空間 $S$ 只有兩個樣本點 $a$ 及 $a'$﹐令事件$A=\{a\},A'=\{a'\}$，並設事件 $A$發生的機率為$p,(0\lt p\lt 1)$，不發生的機率為$q(=1-p)$。今將此試驗重複$n$次，令$X$表示事件$A$發生的次數，試證：$X$的期望值為$np$ = _______

解答： $$E(X)= \sum_{x=0}^n xC^n_xp^xq^{n-x} = \sum_{x=1}^n xC^n_xp^xq^{n-x} =\sum_{x=1}^n {n!\over (x-1)!(n-x)!}p^xq^{n-x} \\= np \sum_{x=1}^n {(n-1)!\over (x-1)!(n-x)!}p^{x-1}q^{n-x} =np \sum_{y=0}^{m} {m!\over y!(m-y)!}p^yq^{m-y},其中\cases{y=x-1 \\m=n-1}\\ =np(p+q)^m = np，\bbox[red,2pt]{故得證}$$

3. 已知一圓柱形玉米罐頭，底面的圓半徑為 r，表面積為 V，若不考慮罐頭厚度，欲獲得最大體積，試求此時罐頭高度與半徑的比值。

解答： $$假設罐頭高度為ar，則表面積V=2\times r^2\pi + 2r\pi \times ar =2r^2\pi(a+1) \Rightarrow r= \sqrt{V\over 2\pi(a+1)}；\\罐頭體積=r^2\pi \times ar= a\pi r^3 = a\pi \left({V\over 2\pi(a+1)}\right)^{3/2} = {V\sqrt V\over 2\sqrt{2\pi}}a(a+1)^{-3/2}\\ 令f(a)=a(a+1)^{-3/2} \Rightarrow f'(a)= (a+1)^{-3/2} -{3\over 2}a(a+1)^{-5/2} =(a+1)^{-5/2}((a+1)-{3\over 2}a) \\ =(a+1)^{-5/2}(1-a/2) \Rightarrow f(a=2)為極大值，即體積有極大值，比值即為\bbox[red,2pt]{2}$$

4. 已知數列 $\langle a_n\rangle$ ，滿足 $\cases{a_1=1\\ a_{n+1}=2a_n+1, (n\in N)};$ (1)求數列$\langle a_n\rangle$的一般式。 (2)若數列 $\langle b_n \rangle$滿足$4^{b_1-1} \cdot 4^{b_2-1} \cdot 4^{b_3-1} \cdot \cdots \cdot 4^{b_n-1} =(a_n+1)^{b_n}$，試證數列 $\langle b_n \rangle$為等差數列.

解答： 

(1) $$\cases{a_1=1\\ a_{n+1}=2a_n+1}\\ \Rightarrow \begin{aligned}a_n&= 2a_{n-1}+1\\&=2(2a_{n-2}+1)+1 \\ &= 2^2a_{n-2}+2 + 1\\ &= 2^{n-1}a_1+ 2^{n-2}+2^{n-3} +\cdots + 1\\ &= 2^{n-1}+ 2^{n-2}+2^{n-3} +\cdots + 1 \\ &= {1-2^n\over 1-2}= 2^n-1\end{aligned}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{a_n=2^n-1,n\in N}$$ (2) $$4^{b_1-1} \cdot 4^{b_2-1} \cdot\cdots 4^{b_n-1} =(a_n+1)^{b_n}\Rightarrow \cases{4^{b_1-1}=(a_1+1)^{b_1} \\4^{\sum_{k=1}^nb_k-n} =(2^n-1+1)^{b_n} } \\ \Rightarrow \cases{2^{2b_1-2} =2^{b_1}\\ 2^{2\sum_{k=1}^nb_k-2n} =2^{nb_n}} \Rightarrow \cases{b_1=2\\ 2\sum_{k=1}^nb_k-2n=nb_n } \\\Rightarrow \sum_{k=1}^nb_k={nb_n+2n \over 2} ={n(b_n+2)\over 2} ={n(b_n+b_1)\over 2} \Rightarrow \langle b_n\rangle 為一等差數列，\bbox[red,2pt]{故得證}$$

5. 已知斜三稜柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的各稜長均為2，測稜 $BB_1$ 與底面$ABC$所成角度為${\pi \over 3}$ ，且側面 $ABB_1A_1 \bot$底面$ABC$。 (1)證明：點$B_1$在平面$ABC$上的投影點$O$為$AB$的中點 (2)求點$C_1$到平面$CB_1A$的距離

解答： 

(1) $$\angle B_1BO={\pi \over 3} \Rightarrow \overline{BO}= \overline{BB_1}\cos \angle B_1BO=2\times {1\over 2}=1={1\over 2}\overline{AB} \Rightarrow O為\overline{AB}的中點，\bbox[red,2pt]{故得證}$$ (2)

$$令B(0,0,0)\Rightarrow \cases{A(2,0,0)\\ C(1,\sqrt 3,0)\\ B_1(1,0,\sqrt 3)\\ A_1(3,0,\sqrt 3)\\ C_1(2,\sqrt 3,\sqrt 3)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{CB_1}=(0,-\sqrt 3,\sqrt 3) \\ \overrightarrow{CA}=(1,-\sqrt 3,0)} \Rightarrow \overrightarrow{CB_1}\times \overrightarrow{CA}=(3,\sqrt 3,\sqrt 3) \\ \Rightarrow 平面CB_1A:3(x-1)+\sqrt 3y+\sqrt 3(z-\sqrt 3) =0 \Rightarrow 3x+\sqrt 3y+\sqrt 3z=6\\ \Rightarrow C_1(2,\sqrt 3,\sqrt 3)至平面CB_1A之距離= {6+3+3-6 \over \sqrt{9+3+3}} ={6\over \sqrt{15}} = \bbox[red,2pt]{{2\over 5}\sqrt{15}}$$

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