國立臺南女中108學年度第 4 次教師甄選
(每題 5 分 ,答案請化為最簡分數或最簡根式 )
解答:{A(0,3,−2)B(0,9,−10)P(3,3,2)⇒{¯AB=10¯AP=5⇒¯PQ:¯QB=¯AP:¯AB=5:10=1:2⇒Q=13B+23P=(2,5,−2)⇒平面E的法向量=→AQ=(2,2,0)⇒E:2(x−0)+2(y−3)+0(z+2)=0⇒x+y=3
解答:d=A至平面CDE的距離=3+2+6−5√12+22+22=2⇒稜長¯AD=d×√2=2√2
解答:
解答:
令{S1:{甲袋:2紅1白乙袋:1白S2:{甲袋:1紅2白乙袋:1紅,則{P(S1→S1)=1/3P(S1→S2)=2/3P(S2→S1)=2/3P(S2→S2)=1/3;因此玩3局還是在S1的情形及其機率為{P(S1→S1→S1→S1)=1/27P(S1→S1→S2→S1)=4/27P(S1→S2→S1→S1)=4/27P(S1→S2→S2→S1)=4/27因此機率為1+4+4+427=1327
令C、D中點為坐標原點O(0,0,0),則{C(−3,0,0)D(3,0,0)B(0,√7,0)A(0,a,b);因此{¯AB=5¯AD=4⇒{(a−√7)2+b2=52⋯(1)32+a2+b2=16⋯(2);由(2)可得a2+b2=7代入(1)⇒7−2√7a+7=25⇒a=−112√7⇒b=5√32√7⇒{→AC=(−3,112√7,−5√32√7)→AD=(3,112√7,−5√32√7)→BC=(−3,−√7,0)→BD=(3,−√7,0)⇒{→u=→AC×→AD=(0,−30√32√7,−662√7)→v=→BC×→BD=(0,0,6√7)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=−198252=−1114
解答:
解答:
(x−21)221+(y−100)2100=2100⇒(x−21)21100+(y−100)2121=1⇒{a=1/√21b=1/10⇒c=√7910√21⇒{R1−R2=棕色區域R4−R3=藍色區域⇒R1−R2+R3−R4=矩形PQRS面積=¯RSׯPS=42×200=8400
解答:A=[5−28−3]⇒A2=[9−416−7]⇒A4=[17−832−15]⇒A6=[17−832−15][9−416−7]=[25−1248−23]
解答:
假設正方形BCDE邊長為2,中心點O為原點,則{A(0,0,h)B(−1,1,0)C(1,1,0)D(1,−1,0)E(−1,−1,0);由於坡度為23⇒h=23⇒A(0,0,23)⇒{→AD=(1,−1,−23)→AE=(−1,−1,−23)→AC=(1,1,−23)⇒{→u=→AE×→AD=(0,−43,2)→v=→AD×→AC=(43,0,2)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=452/9=913
解答:L1:{x+y=2y+z=1≡(2−t,t,1−t),t∈R⇒L1方向向量→u=(−1,1,−1);L2:{x=2y−z=3≡(2,s,s−3),s∈R⇒L2方向向量→v=(0,1,1);因此→u⊥→v,且L1,L2無交點,即兩直線歪斜;{在L1任找一點P(2,0,1)在L2任找一點Q(2,0,−3)→n=→u×→v=(2,1,−1)⇒→PQ=(0,0,−4)在→n的投影長=兩歪斜線L1,L2的距離=稜邊長=|→PQ⋅→n||→n|=4√6⇒體積=(4√6)3=16√69註:公布的答案是16√2解答:由題意可知{A=[abcd]A−1=[pqrs];現在[abcd][12]=[43]⇒[abcd]−1[abcd][12]=[abcd]−1[43]⇒[12]=[abcd]−1[43]⇒[pqrs][43]=[12]⇒(m,n)=(4,3)為{pm+qn=1rm+sn=2的一解
解答:
{雙曲線:(x−5)281−y264=1⇒左頂點A(5−9,0)=(−4,0)橢圓:x29+y24=1⇒左頂點C(−3,0),橢圓伸縮k倍後,C與A重疊,即橢圓a值由3變4因此(kx)29+(ky)24=1⇒x2(3/k)2+y2(2/k)2=1⇒3k=4⇒k=43
解答:{L:{2x−y+3z=7⋯(1)x−2y−bz=1⋯(2)L對稱比例式:x−1a=y−1=z−kc⋯(3),由(3)知L經過(1,1,k)代入(1)⇒2−1+3k=7⇒k=2;再將(1,1,k)=(1,1,2)代入(2)⇒1−2−2b=1⇒b=−1⇒L:{2x−y+3z=7⋯(1)x−2y+z=1⋯(2)⇒x+45=y=y−5−3⋯(4);(3)與(4)有相同的方向向量,即(5,1,−3)=(a,1,c)⇒{a=5c=−3⇒a+b+c+k=5−1−3+2=3
解答:L′:3x−4y=2⇒P′(2,1)、Q′(−2,−2)在L′上;A=[1221]⇒A−1=[−1/32/32/3−1/3]⇒{A−1P′=P=(0,1)A−1Q′=Q=(−2/3,−2/3)⇒L=↔PQ:y=52x+1⇒5x−2y+2=0
解答:A=[0−110]=[cosπ2−sinπ2sinπ2cosπ2]相當於逆時鐘旋轉90∘,因此{A5=AA+A2+A3+A4=0⇒A+A2+⋯+A10=2(A+A2+A3+A4)+A+A2=A+A2=[−1−11−1]
解答:
解答:A=[0−110]=[cosπ2−sinπ2sinπ2cosπ2]相當於逆時鐘旋轉90∘,因此{A5=AA+A2+A3+A4=0⇒A+A2+⋯+A10=2(A+A2+A3+A4)+A+A2=A+A2=[−1−11−1]
解答:
{O(−2,4,−1)P(4,12,−1)Q(−2,1,3)並令∠POQ的角平分線交¯PQ於R(a,b,c),則{¯OP=10¯OQ=5⇒¯OP¯OQ=¯PR¯RQ=105=21⇒R=13P+23Q=(0,143,53)⇒E之法向量:→OR=(2,23,83)⇒E方程式:2(x+2)+23(y−4)+83(z+1)=0⇒3x+y+4z+6=0
解答:過(2,0,0)及(0,4,2)之直線方程式:x−2−2=y4=z2⇒直線上的點P(−2t+2,4t,2t),t∈R至y軸距離=√(−2t+2)2+4t2=√8t2−8t+4⇒t=1/2時距離有最小值,此時P(1,2,1)⇒y軸上的點為(0,2,0)
解答:E與F夾角30∘⇒cos30∘=(1,1,1)⋅(a,b,c)√12+12+12×√a2+b2+c2⇒√32=a+b+c√3⋅√a2+b2+c2⇒√a2+b2+c2=23(a+b+c)⋯(1)又dist(A,E)=3⇒|a+b+c−1|√a2+b2+c2=3⇒√a2+b2+c2=13|a+b+c−1|⋯(2)將(1)代入(2)⇒23k=13|k−1|,其中k=a+b+c⇒49k2=19(k2−2k+1)⇒3k2+2k−1=0⇒k=−2±46=−1,13⇒a+b+c=13(−1不合,違反a+b+c>0)
解答:令M=|abc123321|=−4a+8b−4c柯西不等式:(a2+b2+c2)((−4)2+82+(−4)2)≥(−4a+8b−4c)2⇒6×96≥M2⇒24≥M≥−24⇒M之最大值為24
解答:假設{¯AB=a¯AD=bA為原點⇒{A(0,0,0)B(a,0,0)C(a,b,0)D(0,b,0)P(0,0,h),由{¯PB=2√2¯PC=3¯PD=√5⇒{a2+h2=8a2+b2+h2=9b2+h2=5⇒{a=2b=1h=2(h=−2不影響結果)⇒{→PB=(2,0,−2)→PD=(0,1,−2)⇒→n=→PB×→PD=(2,4,2)⇒平面PBD方程式:2x+4y+2(z−2)=0⇒x+2y+z=2⇒A至平面PBD距離=2√6=√63
解答:{x2a2+y24=1x2b2−y21=1共焦點⇒√a2−4=√b2+1⇒a2−b2=5又{依橢圓定義:¯PF1+¯PF2=2a依雙曲線定義:¯PF1−¯PF2=2b⇒{¯PF1=a+b¯PF2=a−b⇒¯PF1ׯPF2=a2−b2=5
解答:A(x1,y1)在Γ上⇒x2125+y219=1⇒y21=9−925x21;同理y22=9−925x22因此{¯AF=√(x1−4)2+y21=√(x1−4)2+9−925x21=45√(x1−254)2¯BF=9/5¯CF=45√(x2−254)2由於A,B皆在橢圓上,因此−4≤x1,x2≤4⇒{x1−254<0x2−254<0⇒{¯AF=45(254−x1)¯BF=45(254−x2)¯AF,¯BF,¯CF等差⇒¯AF+¯CF=2¯BF⇒45(252−x1−x2)=185⇒252−x1−x2=92⇒x1+x2=252−92=8
解答:E與F夾角30∘⇒cos30∘=(1,1,1)⋅(a,b,c)√12+12+12×√a2+b2+c2⇒√32=a+b+c√3⋅√a2+b2+c2⇒√a2+b2+c2=23(a+b+c)⋯(1)又dist(A,E)=3⇒|a+b+c−1|√a2+b2+c2=3⇒√a2+b2+c2=13|a+b+c−1|⋯(2)將(1)代入(2)⇒23k=13|k−1|,其中k=a+b+c⇒49k2=19(k2−2k+1)⇒3k2+2k−1=0⇒k=−2±46=−1,13⇒a+b+c=13(−1不合,違反a+b+c>0)
解答:令M=|abc123321|=−4a+8b−4c柯西不等式:(a2+b2+c2)((−4)2+82+(−4)2)≥(−4a+8b−4c)2⇒6×96≥M2⇒24≥M≥−24⇒M之最大值為24
解答:假設{¯AB=a¯AD=bA為原點⇒{A(0,0,0)B(a,0,0)C(a,b,0)D(0,b,0)P(0,0,h),由{¯PB=2√2¯PC=3¯PD=√5⇒{a2+h2=8a2+b2+h2=9b2+h2=5⇒{a=2b=1h=2(h=−2不影響結果)⇒{→PB=(2,0,−2)→PD=(0,1,−2)⇒→n=→PB×→PD=(2,4,2)⇒平面PBD方程式:2x+4y+2(z−2)=0⇒x+2y+z=2⇒A至平面PBD距離=2√6=√63
解答:{x2a2+y24=1x2b2−y21=1共焦點⇒√a2−4=√b2+1⇒a2−b2=5又{依橢圓定義:¯PF1+¯PF2=2a依雙曲線定義:¯PF1−¯PF2=2b⇒{¯PF1=a+b¯PF2=a−b⇒¯PF1ׯPF2=a2−b2=5
解答:A(x1,y1)在Γ上⇒x2125+y219=1⇒y21=9−925x21;同理y22=9−925x22因此{¯AF=√(x1−4)2+y21=√(x1−4)2+9−925x21=45√(x1−254)2¯BF=9/5¯CF=45√(x2−254)2由於A,B皆在橢圓上,因此−4≤x1,x2≤4⇒{x1−254<0x2−254<0⇒{¯AF=45(254−x1)¯BF=45(254−x2)¯AF,¯BF,¯CF等差⇒¯AF+¯CF=2¯BF⇒45(252−x1−x2)=185⇒252−x1−x2=92⇒x1+x2=252−92=8
你好:第5題的計算有點問題,另外,R1-R2+R3-R4的區塊應該是中間長條形棕色和藍色的總面積吧?(可是我不會算)謝謝
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