110年板橋高中教甄-數學詳解

新北市立板橋高級中學 110 學年度第一次教師甄選

解答： $${x^2\over 16}-{y^2\over 9}=1\Rightarrow \cases{a=4\\ b=3} \Rightarrow c=5 \Rightarrow \cases{F_1(-5,0)\\ F_2(5,0)\\ |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=8}\\ 令2s=\triangle PF_1F_2周長= \overline{PF_1} +\overline{PF_2}+10 \Rightarrow \triangle PF_1F_2面積= \sqrt{s(s-\overline{PF_1})(s-\overline{PF_2})(s-10)} \\ =\sqrt{s(5+{1\over 2}(\overline{PF_2}- \overline{PF_1})(5+{1\over 2}(\overline{PF_1}- \overline{PF_2})(s-10)} =\sqrt{s\cdot 1\cdot 9\cdot(s-10)}\\ =3\sqrt{s(s-10)} =r(x')s \Rightarrow r(x')= 3\sqrt{1-{10\over s}} \Rightarrow \lim_{x'\to \infty}r(x') = \lim_{s\to \infty}  3\sqrt{1-{10\over s}} =\bbox[red,2pt]{3}$$

解答：

$$假設矩形EFGH對角線交點為P及\angle GPH=\theta，並在\overline{GE}上找一點Q，滿足\overline{HQ}\bot \overline{GE}, 見上圖；\\ \cases{\overleftrightarrow{AC}: {x+2\over 1} ={y-3\over 2} ={z+3\over -2} \Rightarrow 方向向量\vec u=(1,2,-2) \\\overleftrightarrow{GE}: {x-2\over -3} ={y+2\over 4} ={z\over 1} \Rightarrow 方向向量\vec v=(-3,4,1)} \Rightarrow \cases{\vec n= \vec u\times \vec v=(10,5,10)\\ \cos \theta={\vec u\cdot \vec v\over |\vec u||\vec v|}={1\over \sqrt{26}} \Rightarrow \sin \theta={5\over \sqrt {26}}};\\ \cases{在\overleftrightarrow{AC}上任取一點M(-2,3,-3) \\ 在\overleftrightarrow{GE}上任取一點N(2,-2,0) } \Rightarrow \overrightarrow{MN} =(4,-5,3) \\\Rightarrow \overline{AH}=\overrightarrow{MN}在\vec n投影長={ \overrightarrow{MN} \cdot \vec n\over |\vec n|} ={45 \over 15}=3\\ 另由\cases{A(-4,-1,1)\\ \overrightarrow{AH} = \vec n}\Rightarrow \overleftrightarrow{AH}:{x+4\over 2} ={y+1}={z-1\over 2} \equiv(2t-4,t-1,2t+1)\\ 再加上\overline{AH}=3 \Rightarrow \cases{t= 1\\t=-1} \Rightarrow \cases{H_1(-2,0,3)\\ H_2(-6,-2,1)} \Rightarrow \text{dist}(H_1,\overline{GE}) ={15\over \sqrt{26}}\lt \text{dist}(H_2,\overline{GE}) \\ \Rightarrow \cases{H=H_1=(-2,0,3)\\ \overline{HQ} =\text{dist}(H_1,\overline{GE})} \Rightarrow \overline{PH} = {15/ \sqrt{26} \over \sin \theta} ={25/\sqrt{26} \over 5/\sqrt{26}}=3 \Rightarrow \cases{\overline{GH}=\sqrt{234-9\sqrt{26} \over 13} \\ \overline{HE}=\sqrt{234+9\sqrt{26} \over 13}} \\ \Rightarrow 長方體體積= \sqrt{234-9\sqrt{26} \over 13} \times \sqrt{234+9\sqrt{26} \over 13} \times 3= \bbox[red, 2pt]{135\sqrt{26} \over 13}$$

解答： $$反面只能出現在兩次正面間\\10次正面 \to 次數=1\\9次正面:1次反面出現在10個位置\to 次數=C^{10}_1=10\\8次正面:2次反面出現在9個位置\to 次數=C^9_2\\ \cdots\cdots\\5次正面:5次反面出現在6個位置\to 次數=C^6_5\\4次正面:6次反面出現在5個位置，一定會有連續2個反面 \\因此總次數=\sum_{k=1}^5 C^{11-k}_k =1+10+36+ 56+35 +6 =144\\ \Rightarrow 機率為{1 \over 2^{10}} \times 144 =\bbox[red, 2pt]{9\over 64}$$

解答：

解答： $$n^3的個位數字是4 \Rightarrow n的個位數一定是4 \Rightarrow n=10k+4 \\\Rightarrow   n^3=(10k+4)^3 = 1000k^3+1200k^2+ 480k+ 64\\ 個位數已經是4了，十位數字取決於 (480k+64) \Rightarrow \cases{k=1 \Rightarrow n=14\\ k=6 \Rightarrow n=64}\\ \Rightarrow    最小的是14,第2小的是\bbox[red,2pt]{64}$$

解答： $$假設\cases{甲:紅球R個,黑球B個,白球W個\\ 乙:紅球10-R個,黑球10-B個,白球10-W個}，其中 1\le R,B,W \le 9\\依題意R\times B\times W=(10-R)(10-B)(10-W) \\顯然R=B=W=5符合要求；\\ R=5,(B,W)=(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)及其對調，共8種；\\同理B=5，W=5也各有8種，一共有8\times 3+1 =\bbox[red, 2pt]{25}種放法$$

解答：

$$\cases{(|x|-1)^2+ (|y|-1)^2=1\\ |x|\le 1且|y|\le 1} \Rightarrow 交集圖形為四單位圓的圓弧，見上圖紅色圓弧；$$

$$將圖形旋轉，使得原旋轉軸L與x軸重疊，如上圖；\\則本題變為上圖藍色正方形中間空白區域繞x軸旋轉所得之體積為何？\\上圖藍色正方形面積=\sqrt 2\times \sqrt 2=2，四塊弓形紅色區域面積=4({\pi\over 4}-{1\over 2})=\pi -2;\\ 因此中間空白區域面積= 2-(\pi-2)=4-\pi\\藍色正方形中心點C({\sqrt 2\over 2},{\sqrt 2\over 2})繞x軸旋所得圓形周長為:2\times {\sqrt 2\over 2}\pi= \sqrt 2\pi\\ 中間空白區域繞x軸旋轉體積=\sqrt 2\pi(4-\pi)= \bbox[red, 2pt]{4\sqrt 2\pi-\sqrt 2\pi^2}$$

解答：

$$令\cases{\overline{AC}=a \\ \overline{AI}=b}，依題意\overline{BC}=a+b；因此可在\overline{BC}上找一點D，使得\overline{CD}=a\\，則\triangle CAI\cong \triangle CDI (SAS) \Rightarrow \cases{\angle CAI=\angle CDI=\theta \\ \overline{AI}=\overline{ID} =b} \Rightarrow \angle DBI=\angle DIB = \theta/2\\ \triangle ABC: \angle A+\angle B+ \angle C=180^\circ \Rightarrow 2\theta + \theta + 42^\circ = 180^\circ \Rightarrow \theta = (180^\circ-42^\circ)/3= \bbox[red, 2pt]{46^\circ}$$

解答： $$f(x)=\begin{cases} -x^4+2x & x\le 0\\ \log_2(x+1) & x \gt 0\end{cases} \Rightarrow |f(x)|=\begin{cases} x^4-2x & x\le 0 & 圖形在第2象限\\ \log_2(x+1) & x \gt 0 & 圖形在第1象限\end{cases}\\ 當a \gt 0時，\lim_{x\to \infty} ax \gt \lim_{x\to \infty } \log_2(x+1) \Rightarrow |f(x)| \not \ge ax  \Rightarrow a \le 0;\\當a\le 0時，兩圖形\cases{y= x^4-2x\\ y=ax}的切點，即x^4-2x=ax \Rightarrow x(x^3-(a+2))=0\\ \Rightarrow \cases{x=0\\ x =\sqrt[3]{a+2}}，由於是切點，所以只有一根0，即a+2也是0 \Rightarrow a=-2\\ 因此 \bbox[red, 2pt]{-2\le a \le 0}$$

解答： $$\cases{f(x)=x^{109}+4x^{104}+1=0的109個根為r_n,n=1,2,\dots,109\\ Q(x)=0的109個根為r_n+{1\over r_n},n=1,2,\dots,109}\\ \Rightarrow \cases{f(x)= a\Pi_{n=1}^{109}(x-r_n),a為常數 \\ Q(x)= b\Pi_{n=1}^{109}(x-r_n-{1\over r_n}),b為常數}\\ 因此{Q(1) \over Q(-1)} ={b\Pi_{n=1}^{109}(1-r_n-{1\over r_n}) \over b\Pi_{n=1}^{109}(-1-r_n-{1\over r_n})}  ={\Pi_{n=1}^{109}(r_n^2-r_n+1) \over \Pi_{n=1}^{109}(r_n^2+r_n+1 )}  \\ ={\Pi_{n=1}^{109}({1+\sqrt 3 i\over 2}-r_n)({1-\sqrt 3i\over 2}-r_n) \over \Pi_{n=1}^{109}({-1+\sqrt 3i\over 2}-r_n)({-1-\sqrt 3i\over 2}-r_n )}  ={{1\over a}f({1+\sqrt 3i\over 2}) \cdot {1\over a}f({1-\sqrt 3i\over 2}) \over {1\over a}f({-1+\sqrt 3i\over 2}) \cdot {1\over a}f({-1-\sqrt 3i\over 2})}\\ ={f(e^{\pi i/3})\cdot f(e^{5\pi i/3}) \over f(e^{2\pi i/3})\cdot f(e^{4\pi i/3})}= {(e^{109\pi i/3}+4e^{104\pi i/3}+1) (e^{545\pi i/3}+4e^{520\pi i/3}+1) \over (e^{218\pi i/3}+4e^{208\pi i/3}+1) (e^{436\pi i/3}+4e^{416\pi i/3}+1)} \\= {(e^{\pi i/3}+4e^{2\pi i/3}+1) (e^{5\pi i/3}+4e^{4\pi i/3}+1) \over (e^{2\pi i/3}+4e^{4\pi i/3}+1) (e^{4\pi i/3}+4e^{2\pi i/3}+1)} ={({5\sqrt 3\over 2}i-{1\over 2})(-{5\sqrt 3\over 2}i-{1\over 2}) \over (-{3\sqrt 3\over 2}i-{3\over 2})({3\sqrt 3\over 2}i-{3\over 2})} ={76/4 \over 36/4} =\bbox[red, 2pt]{19/9}$$

解答：

$$假設\cases{A:甲抽到鬼牌,乙也抽到鬼牌\\ B:甲抽到鬼牌,乙抽到數字牌\\ C:甲抽到數字牌,乙抽到鬼牌\\ D:甲抽到數字牌,乙也抽到數字牌 }\qquad\qquad， 則各狀態轉換及其機率如上圖；\\甲勝(鬼牌在乙手上)的路徑有五條:\\ (1)P(S1\to S2\to S3\to A) = {36\over 35} \cdot{ 5\over 6} \cdot {16\over 15} \cdot {3\over 4} \cdot {4\over 3} \cdot{1\over 2} ={16\over 35} \\(2)P(S1\to S4 \to S2 \to S3\to A) = {36\over 35} \cdot{ 5\over 36}\cdot {1\over 4} \cdot {16\over 15} \cdot {3\over 4} \cdot {4\over 3} \cdot{1\over 2} ={16\over 35} \\(3)P(S1\to S4\to S2 \to S5\to S3\to A) = {36\over 35} \cdot{ 5\over 36}\cdot{1\over 4} \cdot {16\over 15} \cdot {3\over 16} \cdot {1\over 2}\cdot {4\over 3} \cdot{1\over 2} ={1\over 420} \\(4)P(S1\to S4 \to S5 \to S3\to A) = {36\over 35} \cdot{ 5\over 36} \cdot {3\over 4}\cdot {1\over 2}   \cdot {4\over 3} \cdot{1\over 2} ={1\over 28} \\ (5)P(S1\to S2 \to S5 \to S3\to A) = {36\over 35} \cdot{ 5\over 6} \cdot {16\over 15} \cdot {3\over 16} \cdot {1\over 2}   \cdot {4\over 3} \cdot{1\over 2} ={2\over 35} \\ 以上機率總和即為\bbox[red, 2pt]{4\over 7}\\ 註: P(S1\to S1)= \sum_{k=0}^\infty {1\over 36^k} ={36\over 35}$$

解答： $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n {2\over k+n} \ln\left({k+n\over n} \right) =\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n {2\over n}\cdot {n\over k+n} \ln\left({k+n\over n} \right) = \int_1^2 {2\over x}\ln x\;dx \\ =\left. \left[(\ln x)^2 \right]\right|_1^2 =\bbox[red, 2pt]{(\ln 2)^2}$$

 ==== end ====

註: 學校未公布非選的題目

    其它教甄試題及解答