110學年度四技二專統測--數學(S)詳解

110 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗-數學(S)

解答：$$\cases{A=\{2,4,6\} \\B=\{ 3,6\}\\ C=\{1,2,3\}} \Rightarrow A\cap B=\{ 6\} \Rightarrow (A\cap B) \cup C = \{6\} \cup \{1,2,3\} =\{1,2,3,6\}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(x+3)(2x-1)(x-2)=0的解為-3,1/2,2 \Rightarrow 三根之和=-3+{1\over 2}+2 = -{1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{A(a,b)在第四象限\\ B(c,d)在第二象限} \qquad \Rightarrow \cases{a \gt 0\\ b\lt 0 \\ c\lt 0 \\ d\gt 0} \Rightarrow \cases{ac \lt 0\\ bd \lt 0} \Rightarrow C(ac,bd)在第三象限，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$${|13-c| \over \sqrt{5^2+12^2}} ={|13-c| \over 13} =2 \Rightarrow c=39(c=-36不合，因為c\ge 0)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$B在單位圓上\Rightarrow \overline{OB}=1 \Rightarrow \tan \theta ={\overline{BD} \over \overline{OB}} =\overline{BD}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\alpha,\beta為x^2-5x+6=0的兩根 \Rightarrow (\alpha,\beta)=(2,3)或(3,2) \Rightarrow (x-\alpha^2)(x-\beta^2) = (x-4)(x-9)\\ = x^2-13x+36，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$大齒輪周長=2\pi\times 80=160\pi \Rightarrow 160\pi = 25\theta \Rightarrow \theta ={160\over 25}\pi ={32\over 5}\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$(1\cdot 10+ 2\cdot 20+ 3\cdot 40 + 4\cdot 45 + 5\cdot 35)\div (10+20+40+45+35)\\ =525\div 150 =3.5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$公比r={a_2\over a_1} ={a_3\over a_2} \Rightarrow {a+12\over a} ={a+16\over a+12} \Rightarrow (a+12)^2=a(a+16)\\ \Rightarrow 8a+144=0 \Rightarrow a=-18 \Rightarrow a+(a+12)+ (a+16) = 3a+28 = -54+28 =-26\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$C^6_3= 20，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$兩人都買黑色的機率為{1\over 5}\times {1\over  5} ={1\over 5^2}；其它四色也是一樣；\\因此兩人買同色機率為5\times {1\over 5^2}={1\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$圓半徑r=\overline{AB} =\sqrt{0+2^2}=2 \Rightarrow 圓方程式: (x+1)^2+(y-1)^2=r^2=4 \\ \Rightarrow x^2+y^2+2x-2y-2=0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$兩點\cases{A(a,423)\\ B(b,47)}都在y=3^x上 \Rightarrow \cases{423=3^a\\ 47=3^b} \Rightarrow \cases{\log_3 423 = a\\ \log_3 47 = b} \\ \Rightarrow a-b= \log_3 423 -\log_3 47= \log_3{423\over 47} =\log_3 9=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$y=\log_r x 通過\cases{(a,3)\\ (b,4)\\ P(ab,c)} \Rightarrow \cases{3=\log_r a\\ 4=\log_r b\\ c=\log_{r}ab =\log_r a+\log_r b=3+4=7}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$剩下八個區位給2人分配，有C^8_2=28種分法；每種分法乙、丙二人可互換\\，因此共有28 \times 2=56種安排方式，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$由圖形可知:\cases{m_1 \gt 0,b_1 \lt 0\\ m_2 \lt 0,b_2 \gt 0} \Rightarrow \cases{m_1 \gt m_2 \\ b_2 \gt b_1}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$L左側不含原點，因此平面A即為2x-y+2 \lt 0，將P(-2,k)代入可得-4-k+2 \lt 0 \\ \Rightarrow -2\lt k，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$不含坐標軸，共有六個整數解，見上圖；也就是(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(2,2)，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\vec u_i\cdot \vec u_0代表\vec u_i在\vec u_0上的投影長，因此x_1 \gt x_4 \gt x_2\gt x_3，其中x_2,x_3 \lt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$P(-1,-2) \Rightarrow \cos \theta =-{1\over \sqrt 5} \Rightarrow \sin \theta=-{2\over \sqrt 5} \Rightarrow \cos (90^\circ +\theta)= -\sin \theta ={2\over \sqrt 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{\theta為第二象限角\\ \cos^2\theta ={144\over 169}} \Rightarrow \cos \theta =-\sqrt{144\over 169} =-{12\over 13} \Rightarrow \sin \theta ={5\over 13} \Rightarrow \tan \theta =-{5\over 12}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\angle C= 180^\circ -\angle A-\angle B=180^\circ -105^\circ - 45^\circ = 30^\circ  \\再由正弦定理:{\overline{AB} \over \sin \angle C}=2R \Rightarrow {5\over \sin 30^\circ} ={5\over 1/2}=10 =2R \Rightarrow R=5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$f(-1)=8 \Rightarrow a+2a+1+1 = 8 \Rightarrow 3a=6 \Rightarrow a=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{圓心(1,2)至L_1距離=2 =半徑\\ 圓心(1,2)至L_2距離=4 \gt 半徑} \Rightarrow \cases{m=1\\ n=0}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$假設木星至地理的距離a，利用餘弦定理: \cos 120^\circ=-{1\over 2} ={a^2+1^2-5.1^2 \over 2a} \approx {a^2-25\over 2a} \\ \Rightarrow a^2+a-25=0 \Rightarrow a={-1+\sqrt{101} \over 2} \approx {-1+10\over 2}=4.5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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