臺中市立臺中第一高級中等學校110學年度第1次教師甄選
壹、填充題第一部分
解答:{2k⋅4m⋅8n=5124p⋅3q⋅6r=211⋅616⇒{2k+2m+3n=2922p+r⋅3q+r=227⋅316⇒{k+2m+3n=92p+r=27q+r=16⇒{(k,m,n)=(4,1,1),(2,2,1),(1,1,2)(p,q,r)=(14−k,17−2k,2k−1),k=1−8⇒{a=3b=8⇒(a,b)=(3,8)解答:A−1B=C⇒B=AC⇒[14−12]=[xyzu][4−26−318]=[4x−3y−26x+18y4z−3u−26z+18u]⇒{4x−3y=1−26x+18y=44z−3u=−1−26z+18u=2⇒(x,y,z,u)=(−5,−7,2,3)
解答:log4x−logx8+2=0⇒12log2x−3log2x+2=0⇒(log2x)2+4(log2x)−6=0⇒log2x=−2+√10(−2−√10不合,∵x>1⇒log2x>0)⇒2(log2x)3+9(log2x)2−7(log2x)−3=2(−2+√10)3+9(−2+√10)2−7(−2+√10)−3=2(−68+22√10)+9(14−4√10)−7(−2+√10)−3=1+√10
解答:
點O為¯BC的中點,並令O為坐標原點,則{B(−3,0,0)C(3,0,0)A(0,3√3,0),又¯CD=¯BD,D在平面x=0上,即D(0,y,z)四面體體積=13△ABC⋅z=18√3⇒13⋅9√3⋅z=18⇒z=6;此外,平面ABC與平面DBC夾角60∘⇒tan60∘=zy⇒y=√33z=2√3⇒D(0,2√3,6)⇒¯AD=√(√3)2+62=√39
解答:{P在x軸移動Q在y軸移動⇒{P(a,0)Q(0,b),又{¯PQ=10¯PR:¯RQ=3:2⇒{a2+b2=102R=25P+35Q⇒{b2=100−a2R(25a,35b)≡R(x,y)⇒259y2=100−254x2⇒x216+y236=1⇒R的軌跡為一橢圓⇒R(4cosθ,6sinθ)⇒令d=R至(2,0)的距離=√(4cosθ−2)2+36sin2θ=√20sin2θ−16cosθ+20=√−20cos2θ−16cosθ+40⇒{cosθ=−2/5⇒M=6√30/5cosθ=1⇒m=2⇒(M,m)=(6√305,2)
解答:{limx→1f(x)x−1=36limx→−1f(x)x+1=−36limx→2f(x)x−2=0limx→−2f(x)x+2=0⇒{f(x)=p(x)(x−1)且p(1)=36f(x)=q(x)(x+1)且q(−1)=−36f(x)=r(x)(x−2)且r(2)=0f(x)=s(x)(x+2)且s(−2)=0⇒f(x)=(ax+b)(x−1)(x+1)(x−2)2(x+2)2代回{limx→1f(x)x−1=36limx→−1f(x)x+1=−36⇒{(a+b)⋅2⋅(−1)2⋅32=36(−a+b)⋅(−2)⋅(−3)2⋅12=−36⇒{a+b=2−a+b=2⇒{a=0b=2⇒f(x)=2(x2−1)(x−2)2(x+2)2⇒f(3)=2⋅8⋅1⋅25=400
解答:{E(X)=1E(X2)=3E(Y)=2E(Y2)=5E(XY)=3⇒{Var(X)=E(X2)−(E(X))2=3−1=2Var(Y)=E(Y2)−(E(Y))2=5−4=1Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=3−2=1⇒Var(3X−2Y+7)=9Var(X)+4Var(Y)−12Cov(X,Y)=18+4−12=10
解答:假設f(x)=x3+a2x2+a1x+a0,且f(x)=0的三根為b,c,d;由於abcd=−5⇒bcd=−5/a⇒a0=5/a⇒f(x)=x3+a2x2+a1x+5a再由f(x)=0的三根為b,c,d⇒{f(x+1)=0的三根為b−1,c−1,d−1f(x+2)=0的三根為b−2,c−2,d−2f(x+3)=0的三根為b−3,c−3,d−3⇒{f(x+1)的常數項=1+a2+a1+5/a=−(b−1)(c−1)(d−1)=−11/af(x+2)的常數項=8+4a2+2a1+5/a=−(b−2)(c−2)(d−2)=−33/af(x+3)的常數項=27+9a2+3a1+5/a=−(b−3)(c−3)(d−3)=−73/a⇒{a1=17/2a2=−3/2a=−2⇒f(x)=x3−32x2+172x−52⇒f(x−1)=0的三根為b+1,c+1,d+1⇒(b+1)(c+1)(d+1)=(−1)×f(x−1)的常數項=(−1)×(−1−32−172−52)=272⇒a(b+1)(c+1)(d+1)=−2×272=−27
解答:三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的對稱中心點為(−b3a,f(−b3a)),因此{−b3a=1⇒b=−3a⋯(1)f(−b3a)=f(1)=a+b+c+d=2⋯(2);又f′(2)=−4⇒12a+4b+c=−4⋯(3)將(1)代入(3)⇒c=−4代入(2)⇒a−3a−4+d=2⇒d=2a+6⇒k=|b2+c2+d2a|=|9a2+16+4a2+24a+36a|=|13a2+24a+52a|=|13a+24+52a|若a>0,則13a+52a≥2√13a⋅52a=2⋅26=52;若a<0,則13a+52a≥−52;因此k的最小值發生在13a+52a=−52,此時k=|−52+24|=|−28|=28
解答:甲乙皆在A箱抽中1號球的情形:甲抽中1號球的機率26,乙隨後抽中1號球的機率15,因此機率為26×15=115;甲乙皆在A箱抽中2號球或3號球的機率都是115,也就是甲乙在A箱抽中同號球的機率為115×3=15;甲乙兩人在三箱皆抽同號的機率就是(15)3=1125,因此甲乙兩人取得不同的三位數機率為1−1125=124125,而一半是甲大,另一半是乙大,因此乙大的機率為124125×12=62125
解答:假設{a=2xb=3x,則6x+1−3⋅8x+2⋅27x−36x=6ab−3a3+2b3−a2b2=3a(2b−a2)+b2(2b−a2)=(3a+b2)(2b−a2)=0⇒a2=2b⇒22x=2⋅3x⇒2xlog2=log2+xlog3⇒x(2log2−log3)=log2⇒x=log22log2−log3⇒x2x−1=log2/(2log2−log3)log3/(2log2−log3)=log2log3=log32
解答:
解答:{P在x軸移動Q在y軸移動⇒{P(a,0)Q(0,b),又{¯PQ=10¯PR:¯RQ=3:2⇒{a2+b2=102R=25P+35Q⇒{b2=100−a2R(25a,35b)≡R(x,y)⇒259y2=100−254x2⇒x216+y236=1⇒R的軌跡為一橢圓⇒R(4cosθ,6sinθ)⇒令d=R至(2,0)的距離=√(4cosθ−2)2+36sin2θ=√20sin2θ−16cosθ+20=√−20cos2θ−16cosθ+40⇒{cosθ=−2/5⇒M=6√30/5cosθ=1⇒m=2⇒(M,m)=(6√305,2)
貳、填充題第二部分
解答:⟨an⟩=x,y,x+y,x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y,34x+55y,...由於x,y∈N,從右向左試,找第一個an=115,可得13x+21y=115⇒{x=4y=3⇒x+y=7解答:{limx→1f(x)x−1=36limx→−1f(x)x+1=−36limx→2f(x)x−2=0limx→−2f(x)x+2=0⇒{f(x)=p(x)(x−1)且p(1)=36f(x)=q(x)(x+1)且q(−1)=−36f(x)=r(x)(x−2)且r(2)=0f(x)=s(x)(x+2)且s(−2)=0⇒f(x)=(ax+b)(x−1)(x+1)(x−2)2(x+2)2代回{limx→1f(x)x−1=36limx→−1f(x)x+1=−36⇒{(a+b)⋅2⋅(−1)2⋅32=36(−a+b)⋅(−2)⋅(−3)2⋅12=−36⇒{a+b=2−a+b=2⇒{a=0b=2⇒f(x)=2(x2−1)(x−2)2(x+2)2⇒f(3)=2⋅8⋅1⋅25=400
解答:{E(X)=1E(X2)=3E(Y)=2E(Y2)=5E(XY)=3⇒{Var(X)=E(X2)−(E(X))2=3−1=2Var(Y)=E(Y2)−(E(Y))2=5−4=1Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=3−2=1⇒Var(3X−2Y+7)=9Var(X)+4Var(Y)−12Cov(X,Y)=18+4−12=10
解答:假設f(x)=x3+a2x2+a1x+a0,且f(x)=0的三根為b,c,d;由於abcd=−5⇒bcd=−5/a⇒a0=5/a⇒f(x)=x3+a2x2+a1x+5a再由f(x)=0的三根為b,c,d⇒{f(x+1)=0的三根為b−1,c−1,d−1f(x+2)=0的三根為b−2,c−2,d−2f(x+3)=0的三根為b−3,c−3,d−3⇒{f(x+1)的常數項=1+a2+a1+5/a=−(b−1)(c−1)(d−1)=−11/af(x+2)的常數項=8+4a2+2a1+5/a=−(b−2)(c−2)(d−2)=−33/af(x+3)的常數項=27+9a2+3a1+5/a=−(b−3)(c−3)(d−3)=−73/a⇒{a1=17/2a2=−3/2a=−2⇒f(x)=x3−32x2+172x−52⇒f(x−1)=0的三根為b+1,c+1,d+1⇒(b+1)(c+1)(d+1)=(−1)×f(x−1)的常數項=(−1)×(−1−32−172−52)=272⇒a(b+1)(c+1)(d+1)=−2×272=−27
解答:三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的對稱中心點為(−b3a,f(−b3a)),因此{−b3a=1⇒b=−3a⋯(1)f(−b3a)=f(1)=a+b+c+d=2⋯(2);又f′(2)=−4⇒12a+4b+c=−4⋯(3)將(1)代入(3)⇒c=−4代入(2)⇒a−3a−4+d=2⇒d=2a+6⇒k=|b2+c2+d2a|=|9a2+16+4a2+24a+36a|=|13a2+24a+52a|=|13a+24+52a|若a>0,則13a+52a≥2√13a⋅52a=2⋅26=52;若a<0,則13a+52a≥−52;因此k的最小值發生在13a+52a=−52,此時k=|−52+24|=|−28|=28
解答:甲乙皆在A箱抽中1號球的情形:甲抽中1號球的機率26,乙隨後抽中1號球的機率15,因此機率為26×15=115;甲乙皆在A箱抽中2號球或3號球的機率都是115,也就是甲乙在A箱抽中同號球的機率為115×3=15;甲乙兩人在三箱皆抽同號的機率就是(15)3=1125,因此甲乙兩人取得不同的三位數機率為1−1125=124125,而一半是甲大,另一半是乙大,因此乙大的機率為124125×12=62125
解答:假設{a=2xb=3x,則6x+1−3⋅8x+2⋅27x−36x=6ab−3a3+2b3−a2b2=3a(2b−a2)+b2(2b−a2)=(3a+b2)(2b−a2)=0⇒a2=2b⇒22x=2⋅3x⇒2xlog2=log2+xlog3⇒x(2log2−log3)=log2⇒x=log22log2−log3⇒x2x−1=log2/(2log2−log3)log3/(2log2−log3)=log2log3=log32
解答:
移動矩形ABCD,將A視為原點,¯AC在x軸上,見上圖;¯AC=√¯AD2+¯DC2=5,又¯ADׯDC=¯ACׯDE⇒¯DE=12/5;同理,直角△CDE⇒¯EC=9/5;矩形ABCD在x−y平面上,D繞x軸旋轉θ,因此D(165,−125cosθ,125sinθ)⇒¯BD=√(75)2+(125)2(1−cosθ)2+(125)2sin2θ=√4925+14425(2−2cosθ)=√337−288cosθ5
參、計算證明題(第一題 9 分,第二題 10 分,合計 19 分)
解答:
通過A(−6,9)與L垂直的直線L′:4x−3y=−51,假設通過B且與L′平行的直線L″
解答:\mathbf{(1)}\; f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 = (x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) (x-\phi) \\ \Rightarrow f'(x)=4x^3+3x^2+2x+1 \\= (x-\beta) (x-\gamma) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\gamma) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\beta) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) \\ 因此{1\over 1-\alpha}+{1\over 1-\beta} +{1\over 1-\gamma}+{1\over 1-\phi} \\={ (1-\beta)(1-\gamma )(1-\phi)+ (1-\alpha) (1-\gamma )(1-\phi) +(1-\alpha) (1-\beta)(1-\phi)+ (1-\alpha) (1-\beta)(1-\gamma ) \over (1-\alpha) (1-\beta)(1-\gamma )(1-\phi)}\\ ={f'(1)\over f(1)} ={10\over 5} =\bbox[red, 2pt]2 \\\mathbf{(2)}\; \overline{AP} \times \overline{AQ} \times \overline{AR} \times \overline{AS} =|1+i-\alpha| \times|1+i-\beta| \times|1+i-\gamma| \times|1+i-\phi| \\ =|(1+i-\alpha) \times(1+i-\beta) \times(1+i-\gamma) \times(1+i-\phi)| =|f(1+i)| \\=|-4+(2i-2)+ 2i+(1+i)+1|=|5i-4|= \bbox[red, 2pt]{\sqrt{41}}
解答:\mathbf{(1)}\; f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 = (x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) (x-\phi) \\ \Rightarrow f'(x)=4x^3+3x^2+2x+1 \\= (x-\beta) (x-\gamma) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\gamma) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\beta) (x-\phi) +(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) \\ 因此{1\over 1-\alpha}+{1\over 1-\beta} +{1\over 1-\gamma}+{1\over 1-\phi} \\={ (1-\beta)(1-\gamma )(1-\phi)+ (1-\alpha) (1-\gamma )(1-\phi) +(1-\alpha) (1-\beta)(1-\phi)+ (1-\alpha) (1-\beta)(1-\gamma ) \over (1-\alpha) (1-\beta)(1-\gamma )(1-\phi)}\\ ={f'(1)\over f(1)} ={10\over 5} =\bbox[red, 2pt]2 \\\mathbf{(2)}\; \overline{AP} \times \overline{AQ} \times \overline{AR} \times \overline{AS} =|1+i-\alpha| \times|1+i-\beta| \times|1+i-\gamma| \times|1+i-\phi| \\ =|(1+i-\alpha) \times(1+i-\beta) \times(1+i-\gamma) \times(1+i-\phi)| =|f(1+i)| \\=|-4+(2i-2)+ 2i+(1+i)+1|=|5i-4|= \bbox[red, 2pt]{\sqrt{41}}
========== END ========
解題僅供參考,學校未公布計算題題目,其它教甄試題及詳解
沒有留言:
張貼留言