國立新竹科學園區實驗高級中等學校110學年度第1次教師甄選
一、填充題
解答:正△ABC三頂點及P分別為{A(z1)B(z2)C(z3)P(z0),其中{z1=cos0∘+isin0∘z2=cos120∘+isin120∘z3=cos240∘+isin240∘z0=cosθ+isinθ⇒z1,z2,z3為x3−1=0的三根⇒f(x)=x3−1=(x−z1)(x−z2)(x−z3)⇒f(z0)=(z0−z1)(z0−z2)(z0−z3)=z30−1=cos3θ+isin3θ−1⇒|(x−z1)(x−z2)(x−z3)|=|cos3θ+isin3θ−1|⇒|(x−z1)||(x−z2)||(x−z3)|=√(cos3θ−1)2+sin23θ⇒¯PAׯPBׯPC=√2−2cos3θ⇒當cos3θ=−1時,有最大值√2−(−2)=2解答:S={1,2,…,2021}有2021個元素,因此S的子集合個數有22021,其中一半的子集合元素和為奇數,另一半為偶數;因此元素和為奇數的子集合個數為22021÷2=22020
解答:⟨an⟩為等比,假設{a1:首項r:公比;依題意1a1−1a2=2a3⇒1a1−1a1r=2a1r2⇒r2−r−2=0⇒(r−2)(r+1)=0⇒r=2(r=−1⇒S6=a1−a1+a1−a1+a1−a1=0≠63)⇒S6=a1(1−r6)1−r=63⇒a1=1⇒⟨an⟩=⟨2n−1⟩;bn=(log2an+log2an+1)÷2=(n−1+n)÷2=n−12⟨(−1)nb2n⟩前2n項的和=(b22+b24+⋯+b22n)−(b21+b23+⋯+b22n−1)=n∑k=1b22k−n∑k=1b22k−1=n∑k=1(b22k−b22k−1)=14n∑k=1((4k−1)2−(4k−3)2)=14n∑k=1((8k−4)⋅2)=n∑k=1(4k−2)=2n(n+1)−2n=2n2
解答:g(x)=∫x+1xf(t)dt=x3⇒g′(x)=f(x+1)−f(x)=3x2⋯(1)將(1)代入f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)=3x2⇒{a=1b=−3/2c=1/2;又g(0)=∫10f(t)dt=0⇒[14x4−12x3+14x2+dx]|10=0⇒d−0=0⇒d=0⇒f(x)=x3−32x2+12x
解答:{2022!!=2022⋅2020⋅2018⋯2n!!整除2022!!⇒n=2022,2020,…,2,共1011個又1011!!=1011⋅1009⋅1007⋯1⇒2⋅1011!!=2022⋅2018⋅2014⋯2⇒1011!!整除2022!!⇒n=1011,1009,…,1共506個,也符合要求因此共有1011+506=1517個正整數n符合要求
解答:小立方體有3個面在大立方體的外面,也就是在裡面的機率為12;總共有4個小立方體的一個面是染色的,因此所有染色面在大立方體內的機率為(12)4=116
解答:(Sn)2=n∑k=1(ak)3⇒(a1+a2+⋯+an)2=a31+a32+⋯+a3n有一個公式:13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)2=(1+2+⋯+n)2因此,an=n⇒S109=109×110÷2=5995
解答:
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學校公布計算題答案,僅就填充題部份提供參考詳解,其它教甄試題及詳解
請教老師
回覆刪除第4題解答第三行的最後
f(0)=f(1) => d=a+b+c+d=0+d
如此不是還是一個恆等式d=d嗎
為什麼d=0呢?
謝謝老師
步驟跳太快了, 已修訂, 謝謝提醒!!
刪除感謝老師~~
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