110學年度四技二專統測--數學(A)詳解

110 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗-數學(A)

解答：$$x+2=3(y-4) \Rightarrow y={1\over 3}(x+2)+4 \Rightarrow \cases{斜率=1/3\\ y截距=2/3+4} \Rightarrow 斜率+y截距=1+4=5\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$圓心角\theta = {1\over \pi} \times 360^\circ = {2\pi\over \pi} =2 \Rightarrow 圓周長 = 2\pi r= 2\pi \times 3=6\pi \\\Rightarrow 圓弧長=6\pi\times {  \theta \over 2\pi}=6\pi\times {  2 \over 2\pi} =6 \Rightarrow 扇形周長=6+2r = 6+6=12，故選\bbox[red, 2pt]{(D)} $$

解答：$$兩張鈔票1500元，一定是一張仟元鈔，另一張是伍百元鈔\\，因此機率={C^{10}_1C^6_1 \over C^{16}_2} ={60\over 120}={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$x^2f(3x) +xf(6x-1)-3 = (3x-1)P(x)+1\\x={1\over 3}代入上式\Rightarrow {1\over 9}f(1)+{1\over 3}f(1)-3=1 \Rightarrow {4\over 9}f(1)=4 \Rightarrow f(1)= 9，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$K=\vec a\cdot \vec b= |\vec a||\vec b|\cos \theta =\sqrt 5 \cdot 2 \cos \theta，當\cos \theta=-1時，K有最小值-2\sqrt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$A(0,1)\not \in S且D(1,0)\not \in S，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: -485^\circ + 360^\circ \times 2=235^\circ \\(B)\bigcirc: {13\over 3}\pi ={13\over 3}\times 180^\circ = 780^\circ\\ (C)\bigcirc:定義\\ (D)\times: 若\theta=0^\circ ，終邊落在x軸上，稱為象限角(不是第一，也不是第四象限角)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$\cos (180^\circ-\theta) = {5^2+10^2-10^2 \over 2\times 5\times 10} ={1\over 4} \Rightarrow \cos \theta=-{1\over 4} \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{1-({1\over 4})^2}={\sqrt {15}\over 4}\\ \theta 在第二象限，所以\sin \theta \gt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{a+ar=20\\ |r|=3} \Rightarrow \cases{r=3 \Rightarrow a=5 \Rightarrow ar^3 =5\cdot 27=135\\ r=-3 \Rightarrow a=-10 \Rightarrow ar^3 = (-10)\cdot (-27)=270} \\ \Rightarrow 第4項=ar^3 =135或270，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$${1\over 2}\sin(2x)的最大值為{1\over 2}、最大值為-{1\over 2}，無法藉由平移使其最大值變為1，同時最小值是-1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(A)\log_8 7^3 ={\log_2 7^3\over \log_2 8}={3\log_2 7\over 3\log_2 2}=\log _2 7\\ (B)\log_2 3+\log_4 9 = \log_2 3+\log_4 9 =\log_2 3+\log_2 3 = 2\log_2 3=\log_2 3^2\\ (C)0.19\times \log_2 3^{10} = 0.19\times 10\times \log_2 3=1.9\times \log_2 3= \log_2 3^{1.9} \\(D){\log_{10} \sqrt{8.9} \over \log_{100}2} = {\log_{10} \sqrt{8.9} \over {1\over 2}\log_{10}2} = 2\log_2 \sqrt{8.9} = \log_2 8.9 \\ \Rightarrow (B)最大，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$4小時30分鐘-3小時=90分鐘=2\times 45分鐘=2\sigma \\由常態分配圖可知: P(x < \mu-2\sigma)=50\%-34\%-13.5\%= 2.5\%\\ \Rightarrow 人數為1000\times 2.5\% =25人，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$已知:\cases{A(-1,0) \\B(1,1)\\ C(a,b)\\重心G(0,2)} \Rightarrow G=(A+B+C)/3 \Rightarrow \cases{0=a/3\\ 2=(b+1)/3} \Rightarrow C(0,5) \\ \Rightarrow \triangle AOC ={1\over 2}\cdot \overline{OA} \cdot \overline{OB}= {1\over 2}\cdot 1 \cdot 5=2.5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{f(x)= 2x^3+a_2x^2 +a_1x+ a_1\\ g(x)=3x^2+b_1x+ b_0}\\ (A)\times: \cases{f(3x)為3次多項式\\ g(2x)為2次多項式} \qquad\Rightarrow f(3x) +g(2x) 為3次多項式\\ (B)\bigcirc: f(3x)的領導係數=2\times 3^3=54\\ (C)\times: \cases{f(2x)的領導係數=2\times 2^3=16\\ g(3x)的領導係數=3\times 3^2=27} \qquad\Rightarrow f(2x)\cdot g(3x)的領導係數=16\times 27 \ne 36 \\(D)\times：　\cases{f(2x)的領導係數=2\times 2^3=16\\ g(-3x)的領導係數=3\times (-3)^2=27} \qquad\Rightarrow 商式之領導係數={16\over 27} \ne 1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$x^2+ax+b = (x-2)(x-3)= x^2-5x+6 \Rightarrow \cases{a=-5\\ b=6} \\\Rightarrow x^2-2bx-7a =x^2-12x+35= (x-5)(x-7)\\ \Rightarrow  x^2-2bx-7a =0的兩根為5,7，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$(1+3)^r \ge 1000000 \Rightarrow r\log 4\ge 6 \Rightarrow r\ge {6\over 2\log 2} ={3\over 0.301} \approx 9.9 \Rightarrow r=10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{A(0,3)\\ B(-3,2)\\ C(-1,0)\\ D(1,0)\\ E(3,2)\\ f(x,y)=-30x +20y+100} \Rightarrow \cases{f(A)=160\\ f(B)=230\\ f(C)= 130\\ f(D)=70 \\ f(E)=50} \Rightarrow \cases{M=230\\ m=50} \Rightarrow M-m=180，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$由圖形可知x=0,4為y=0之二根，即-x^2+ax+b=-x(x-4) \Rightarrow x^2-ax-b = x(x-4)\\ 因此x^2-ax-b\ge 5 \Rightarrow x(x-4)\ge 5 \Rightarrow x^2-4x-5 \ge 0 \Rightarrow (x-5)(x+1)\ge 0\\ \Rightarrow x\ge 5或x\le -1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{C_1:x^2+y^2 +2x+2y=0 \\ C_2:x^2+y^2-2x-2y=0} \Rightarrow \cases{C_1:(x+1)^2 +(y+1)^2=2\\ C_2:(x-1)^2 +(y-1)^2=2} \Rightarrow \cases{C_1:圓心O_1(-1,-1),半徑r_1=\sqrt 2\\ C_2:圓心O_2(1,1),半徑r_2=\sqrt 2} \\(A) \times: \text{dist}(O_1,L) ={2\over \sqrt 2}=\sqrt 2 \ne 2 \\(B)\bigcirc: \text{dist}(O_2,L) = {2\over \sqrt 2} =\sqrt 2=r_2 \Rightarrow C_2與L相切 \\(C)\times: \text{dist}(O_1,L)=\sqrt 2= r_1 \Rightarrow C_1與L相切 \\(D)\times: \overleftrightarrow{O_1O_2}:x=y，過原點，不過第2象限\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$等差數列\langle a_n\rangle，其中\cases{a_1=400 \\ d=7{2\over 3}={23\over 3}} \Rightarrow S_7= \sum_{k=1}^7 a_k = ((400+400+{23\over 3}\cdot 6)\cdot 7)\div 2 \\ =(400+446)\times 7\div 2=423\times 7=2961，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{A=科學館:9-17\\ B=歷史館:9-17\\ C=文創館:12-21\\ D=市集:12-21\\ E=夜市:18:21} \quad \Rightarrow \cases{第一天早上(9-12)有2種選擇(A,B)\\ 第一天下午(14-17)有4種選擇(A,B,C,D)\\ 第一天晚上(18-21)有3種選擇(C,D,E)\\ 第二天早上(9-12)有2種選擇(A,B)\\ 第二天下午(14-17)有4種選擇(A,B,C,D)} \\ 晚上只有一次，只能去E，因此有以下排法:\\\Rightarrow (1早,1午,1晚,2早,2午)=(A,C,E,B,D),(A,D,E,B,C),(B,C,E,A,D), (B,D,E,A,C)\\共4種，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$5項中有2項相同，共有C^5_2種可能；剩下5項任取3項有C^5_3取法；而全部10項任取5項有C^{10}_5種取法\\因此機率為{C^5_2C^5_3\over C^{10}_5} ={100\over 252}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$假設\cases{鐵塔高度h \\ 景觀大樓與鐵塔的水平距離w} \Rightarrow \cases{\tan 45^\circ = (h-10)/w\\ \tan 30^\circ = (h-30)/w} \Rightarrow w= h-10 = \sqrt 3(h-30) \\ \Rightarrow (\sqrt 3-1)h=30\sqrt 3-10 \Rightarrow h={30\sqrt 3-10\over \sqrt 3-1} =(15\sqrt 3-5)(\sqrt 3+1)= 40+10\sqrt 3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$五件取三件，價格較高的二件總和可能值為: \\45(B+C),50(B+D),55(B+E=C+D),60(C+E),65(D+E)\\共有五種不同金額，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$假設\cases{員工薪水a萬元\\ 經理薪水b萬元}，其中b\gt a \Rightarrow 中位數=a=4 \Rightarrow 平均數={16a+ 4b\over 20} =5 \\ \Rightarrow b=9 \Rightarrow \sigma = \sqrt{16 \cdot (4-5)^2 +4\cdot (9-5)^2 \over 20} =\sqrt{80\over 20} =2萬元，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
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