臺灣警察專科學校110學年度專科警員班
第40期正期學生組新生入學考試甲組數學試題
壹、單選題
解答:y=cosx的週期為2π,在一個週期內,y=14有兩個解;在二個週期[−2π,2π]有4個解,也就是4個交點,故選(D)解答:{L1:ax−y+b=0L2:cx−y+d=0⇒{L1斜率=aL2斜率=c;由圖形知{a>c,且a,c>0b<0d>0⇒d>b,故選(D)
解答:−3≤x≤5⇒−4≤x−1≤4⇒|x−1|≤4⇒|−x+1|≤4≡|ax+1|≤b⇒{a=−1b=4,故選(C)
解答:{7x+3y=105x−3y=2⇒{x=1y=1,即(1,1,z),z∈R為一平行z軸的直線,故選(D)
解答:取法有4男1女(C54C51)、3男2女(C53C52)、2男3女(C52C53)、1男4女(C51C54),共有5×5+10×10+10×10+5×5=250種取法,故選(A)
解答:f(x)=x5−4x4−72x3−56x2+15x+8⇒f(11)=115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+8=(11−4)114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+8=7⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+8=5⋅113−56⋅112+15⋅11+8=−112+15⋅11+8=4⋅11+8=52,故選(B)
解答:y=ax2+bx+3a在x=−2有最大值−1⇒{y(−2)=−1y′(−2)=0⇒{4a−2b+3a=−1⋯(1)−4a+b=0⋯(2)由(2)⇒b=4a代入(1)⇒4a−8a+3a=−1⇒4a2−a−3=0⇒(4a+3)(a−1)=0⇒a=−34(a=1不合,違反y有最大值)⇒b=4a=−3,故選(D)
解答:{a=2−1/2=1√2b=3−1/3=13√3c=4−1/4=2−1/2=a⇒{a6=18b6=19⇒a=c>b,故選(C)
解答:logx+logy=2⇒log(xy)=2⇒xy=102=100;令k=4x+1y=x+4yxy=x+4y100,其中4x+y≥2√4xy=40⇒k≥40100=25⇒4x+1y最小值為25,故選(D)
解答:2log(7−x)=log2+log(x−3)⇒log(7−x)2=log2(x−3)⇒(7−x)2=2(x−3)⇒x2−14x+49=2x−6⇒x2−16x+55=0⇒(x−5)(x−11)=0⇒x=5(x=11不合,違反7−x>0),故選(B)
解答:3−i為一根,則3+i也為一根,因此(x−(3−i))(x−(3+i))=x2−6x+10為f(x)的因式利用長除法,可得f(x)=(x2−6x+10)(x+a+6)+(6(a+6)−6)x+10−10(a+6)餘式為0⇒a=−5⇒f(x)=(x2−6x+10)(x+1)⇒f(x)=0的另一根為−1,故選(A)
解答:{a4=42a10=27⇒{a1+3d=42a1+9d=27⇒{a1=99/2d=−5/2⇒Sn=n(2a1+(n−1)d)÷2=12dn2+(a1−d2)n⇒ddnSn=0⇒dn+(a1−d2)=0⇒n=(d2−a1)/d=12+995=20.3≈20,故選(C)
解答:f(x)=(ax−1x3)8=8∑k=0C8k(ax)k⋅(−1x3)8−k=8∑k=0C8k(−1)8−kakx4k−24當k=6時,常數項=C86(−1)2a6=1792⇒a6=1792÷28=64⇒a=2,故選(A)
解答:sinθ−cosθ=−15⇒(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=125⇒2sinθcosθ=2425又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2425=4925⇒sinθ+cosθ=75由{sinθ−cosθ=−15sinθ+cosθ=75⇒{sinθ=3/5cosθ=4/5⇒tanθ=3/4,故選(A)
解答:
∠C=90∘⇒¯BD為直徑⇒∠A=90∘⇒¯BD2=¯AB2+¯AD2=122+162=202⇒直徑=2r=¯BD=20⇒半徑r=10;圓周角∠ADC=60∘⇒圓心角∠AOC=120∘;再利用餘弦定理:cos∠AOC=¯OA2+¯OC2−¯AC22⋅¯OA⋅¯OC⇒−12=102+102−¯AC22⋅10⋅10⇒¯AC2=300⇒¯AC=10√3,故選(B)
解答:A=[acbd],則{A[73]=[21]A[94]=[15]⇒{[acbd][73]=[21][acbd][94]=[15]⇒{{7a+3c=29a+4c=1{7b+3d=19b+4d=5⇒{a=5b=−11c=−11d=26,故選(B)
解答:{圓心O(−1,2)P(3,5)⇒→OP=(4,3)⇒過P且法向量為(4,3)的直線L方程式:4(x−3)+3(y−5)=0⇒(0,9)在L上,故選(A)
解答:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ⇒sinθ+cosθ=√1+sin2θ因此{(A)sin12∘+cos12∘=√1+sin24∘(B)sin32∘+cos32∘=√1+sin64∘(C)sin52∘+cos52∘=√1+sin104∘=√1+sin86∘(D)sin72∘+cos72∘=√1+sin144∘=√1+sin36∘⇒(C)最大,故選(C)
解答:英文及格且數學不及格英文及格人數=2/5−1/31−3/8=1/155/8=875,故選(B)
解答:→a+→b+→c=→0⇒→a+→b=−→c⇒|→a+→b|=|−→c|=5⇒|→a+→b|2=25又|→a+→b|2=(→a+→b)⋅(→a+→b)=|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2=4+2→a⋅→b+9=25⇒→a⋅→b=→a⋅→b=6⋯(1)|→a+2→b+3→c|2=|→a+2→b+3(−→a−→b)|2=|−2→a−→b|2=|2→a+→b|2=(2→a+→b)⋅(2→a+→b)=4|→a|2+|→b|2+4→a⋅→b=16+9+24=49(將(1)代入)⇒|→a+2→b+3→c|=√49=7,故選(C)
解答:(x2+y2)(x2−y2)=0⇒x2−y2=0⇒(x+y)(x−y)=0⇒x+y=0或x−y=0也就是兩條直線,故選(B)
解答:|→a||→b|sinθ=|→a×→b|⇒2⋅7⋅sinθ=|(3,6,−2)|⇒14sinθ=√32+62+(−2)2=7⇒sinθ=714=12,故選(A)
解答:∠ADB=90∘⇒¯BD2=¯AB2−¯AD2=242−152=351;∠CBD=90∘⇒¯BC2=¯CD2−¯BD2=202−351=49⇒¯BC=7⇒sinθ=¯BC¯CD=720,故選(A)
解答:x2169+y2144⇒{a=13b=12⇒{M=a2=169m=b2=144,故選(A)
解答:z=(3−4i)(2−5i)(5+2i)(12−5i)⇒|z|=|3−4i||2−5i||5+2i||12−5i|=5⋅√29√29⋅13=513,故選(B)
解答:(2,0,0),(0,−6,0),(0,0,4)在E上⇒E:x2−y6+z4=1⇒原點至E的距離=1√14+126+116=1712=127,故選(D)
解答:(A)limn→∞3n2+52n+7=∞(B)limn→∞2n+5n4n+3n=∞(C)limn→∞√n2+n+1−n=limn→∞n2+n+1−n2√n2+n+1+n=limn→∞n+1√n2+n+1+n=limn→∞1+1/n√1+1/n+1/n2+1=1/2(D)limn→∞cos(nπ)=±1,故選(C)
解答:{x+2y+3z=6⋯(1)2x−y+z=2⋯(2)3x+y+4z=k⋯(3)⇒△=|1232−11314|=0,⇒有無限多組解{2×(2)+(1)⇒5x+5z=10(2)+(3)⇒5x+5z=k+2有無限多解⇒k+2=10⇒k=8,故選(D)
解答:A=[acbd],則{A[73]=[21]A[94]=[15]⇒{[acbd][73]=[21][acbd][94]=[15]⇒{{7a+3c=29a+4c=1{7b+3d=19b+4d=5⇒{a=5b=−11c=−11d=26,故選(B)
解答:{圓心O(−1,2)P(3,5)⇒→OP=(4,3)⇒過P且法向量為(4,3)的直線L方程式:4(x−3)+3(y−5)=0⇒(0,9)在L上,故選(A)
解答:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ⇒sinθ+cosθ=√1+sin2θ因此{(A)sin12∘+cos12∘=√1+sin24∘(B)sin32∘+cos32∘=√1+sin64∘(C)sin52∘+cos52∘=√1+sin104∘=√1+sin86∘(D)sin72∘+cos72∘=√1+sin144∘=√1+sin36∘⇒(C)最大,故選(C)
解答:英文及格且數學不及格英文及格人數=2/5−1/31−3/8=1/155/8=875,故選(B)
解答:→a+→b+→c=→0⇒→a+→b=−→c⇒|→a+→b|=|−→c|=5⇒|→a+→b|2=25又|→a+→b|2=(→a+→b)⋅(→a+→b)=|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2=4+2→a⋅→b+9=25⇒→a⋅→b=→a⋅→b=6⋯(1)|→a+2→b+3→c|2=|→a+2→b+3(−→a−→b)|2=|−2→a−→b|2=|2→a+→b|2=(2→a+→b)⋅(2→a+→b)=4|→a|2+|→b|2+4→a⋅→b=16+9+24=49(將(1)代入)⇒|→a+2→b+3→c|=√49=7,故選(C)
解答:(x2+y2)(x2−y2)=0⇒x2−y2=0⇒(x+y)(x−y)=0⇒x+y=0或x−y=0也就是兩條直線,故選(B)
解答:∠ADB=90∘⇒¯BD2=¯AB2−¯AD2=242−152=351;∠CBD=90∘⇒¯BC2=¯CD2−¯BD2=202−351=49⇒¯BC=7⇒sinθ=¯BC¯CD=720,故選(A)
解答:x2169+y2144⇒{a=13b=12⇒{M=a2=169m=b2=144,故選(A)
解答:z=(3−4i)(2−5i)(5+2i)(12−5i)⇒|z|=|3−4i||2−5i||5+2i||12−5i|=5⋅√29√29⋅13=513,故選(B)
解答:(2,0,0),(0,−6,0),(0,0,4)在E上⇒E:x2−y6+z4=1⇒原點至E的距離=1√14+126+116=1712=127,故選(D)
解答:(A)limn→∞3n2+52n+7=∞(B)limn→∞2n+5n4n+3n=∞(C)limn→∞√n2+n+1−n=limn→∞n2+n+1−n2√n2+n+1+n=limn→∞n+1√n2+n+1+n=limn→∞1+1/n√1+1/n+1/n2+1=1/2(D)limn→∞cos(nπ)=±1,故選(C)
解答:{x+2y+3z=6⋯(1)2x−y+z=2⋯(2)3x+y+4z=k⋯(3)⇒△=|1232−11314|=0,⇒有無限多組解{2×(2)+(1)⇒5x+5z=10(2)+(3)⇒5x+5z=k+2有無限多解⇒k+2=10⇒k=8,故選(D)
貳、多重選題題
解答:(A)×:{X∼B(10,0.5)Y∼B(10,0.8)⇒{E(X)=np=5E(Y)=np=8⇒E(Y)>E(X)(B)◯:{Var(X)=np(1−p)=10⋅0.5⋅0.5=2.5Var(Y)=10⋅0.8⋅0.2=1.6⇒Var(X)>Var(Y)(C)◯:P(X≤5)=5∑k=0C10k0.5k0.510−k=0.510(C100+C101+C102+C103+C104+C105)=6381024≥0.5(D)×:p=0.8,圖形為左偏,也就是P(Y≤5)<12(E)◯:{X∼B(10,0.5)Y∼B(10,0.8)⇒{X圖形對稱Y圖形左偏⇒P(Y>5)≥P(X>5),故選(BCE)
解答:(B)×:有無限多(C)×:有無限多(D)×:有無限多,故選(AE)
解答:(B)×:由於2x>x⇒−x>−2x,所以無交點(D)×:2x>x⇒2|x|>|x|≥−x,所以無交點,故選(ACE)
解答:{P(x,y)F1(3,2)F2(−3,2)⇒Γ:|¯PF1−¯PF2|=k;由於¯F1F2=6,因此0<k<6才是雙曲線,故選(AB)
解答:(A)×:∞∑n=11=1+1+⋯=∞(B)×:調和數列發散,即∞∑n=11n=∞(C)◯:∞∑n=112n=1/21−1/2=1(D)◯:∞∑n=11n(n+1)=∞∑n=1(1n−1n+1)=1−12+12−13+⋯=1(E)×:∞∑n=11n(n+2)=∞∑n=112(1n−1n+2)=12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯)=12(1+12)=34,故選(CD)
解答:tanθ=−4⇒P(x,5)在y=−4x上⇒P(−54,5)⇒{sinθ=4/√17cosθ=−1/√17⇒{sin(−θ)=−sinθ=−4/√17sin(90∘+θ)=cosθ=−1/√17=−17/√17cos(180∘−θ)=−cosθ=1/√17=17/√17,故選(CDE)
解答:(A)◯:恰有一組解⇒|k22k|≠0⇒(k+2)(k−2)≠0⇒k≠2,−2(B)×:k=2⇒{2x+2y=52x+2y=5⇒兩式相同,有無限多解(C)◯:k=−2⇒{−2x+2y=−32x−2y=9⇒{2x−2y=32x−2y=9⇒無解(D)×:兩直線{2x−2y=32x−2y=9距離=6√22+22=3√2≠2(E)◯:2x+2y=5的斜率為−1,故選(ACE)
=========== END ==========
解題僅供參考,其它警專試題及詳解
39答案應該是CD
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