Processing math: 50%

2021年5月7日 星期五

110年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學 110 學年度第一次教師甄選

一、填充題

解答1944n=10k+4n3=1000k3+1200k2+480k+6444480k+64k=1,6,11,16,...k=1+5t,t=0,1,2,...n=10(1+5d)+4=50d+14,d=0,1,2,...an=50(n1)+14a10=509+14=464 
解答
AOBCA¯OCAAOC=45¯OA=¯AA=1AOC=AOB=45OABOC¯AA=¯OAtan452=21AAA:¯AA=¯AA2¯AA2=1(21)2=222=13OBC¯AA=1312¯OB¯OCsinBOC222=161812222=2222:tan45=2tan22.51tan222.5tan22.5=21

3.n   _(n)  
解答{A:B:A:D:{S1:11,S2:2,1{S1A,DS1S1CS2S2BS1S2AS2{P(S1S1)=3/4P(S1S2)=1/4P(S2S1)=1/2P(S2S2)=1/2{a1=3/4an=34an1+12(1an1)an=14an1+12=142an2+12(1+14)==14n1a1+12(1+14++14n2)=14n134+12(43134n2)=1314n+23an=23+13(14)n

解答x3+2x2+3x+4=0a,b,c{a+b+c=2ab+bc+c=3abc=4a2+b2+c2=(a+b+c)22(ab+bc+ca)=(2)223=2a3+b3+c3=(a+b+c)((a2+b2+c2)(ab+bc+ca))+3abc=2(a+b)(b+c)(c+a)=((a+b+c)3(a3+b3+c3))÷3=2|2aa+ba+cb+a2bb+cc+ac+b2c|=8abc+2(a+b)(b+c)(c+a)+2b(a+c)2+2c(a+b)2+2a(b+c)2=(8)(4)+2(2)+2b(2b)2+2c(2c)2+2a(2a)2=28+2(a(a+2)2+b(b+2)2+c(c+2)2)=28+2(a3+b3+c3+4(a2+b2+c2)+4(a+b+c))=28+2(288)=8
解答
區域 即為一菱形區域中間扣除一橢圓,如上圖著色區域;
18+16++2=90;(20+10)×2+1=61;90×4+61=421



x2+4y2=20x2(25)2+y2(5)2=1{4<a=25<52<b<3{(x,y)1x4,1y2}(14,1),(12,2)6(4,1)(2,2)4(2+4)×2+1=13()4×4+13=2942129=392


解答ak:k{a1=1an=1+n1k=1ak,for k6an=n1k=n6ak,for k7a1=1,a2=2,a3=a1+a2+1=4,a4=a1+a2+a3+1=8,a5=a1++a4+1=16,a6=a1++a5+1=32;a7=a1++a6=63,a8=a2++a7=125,a9=a3++a8=248,a10=a4+a5++a9=492

解答PL:x11=y21=z11P(t+1,t+2,t+1)¯PA+¯PB=(t2)2+(t2)2+t2+t2+(t1)2+(t+2)2=3t2+8+3(t+1)2+2=3(t2+83+(t+1)2+23)=3(¯PA+¯PB),{P(t,0)A(0,83)B(1,23)PxA,Bx¯PA+¯PBP¯ABx,AB:y=8+23x+83P(23,0)t=23P(23+1,23+2,23+1)=(13,83,13)
解答{Ay=logaxBy=2logaxCy=3logax{A(α,logaα)B(β,2logaβ)C(γ,3logaγ){¯ABx¯AB=6{logaα=2logaβα=β2|βα|=66α>ββ2β=6(β3)(β+2)=0β=3α=9¯AB¯BCγ=β=3{A(9,2loga3)B(3,2loga3)C(3,3loga3)3loga32loga3=6loga279=6a6=3a=63
解答

假設P(1,2)為弦\overline{AB}的三等分點,即\overline{AP}: \overline{PB}=1:2 \Rightarrow \cases{\overline{AP}=k \\\overline{BP}=2k};又\overline{OP}=\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt 5 \\ 另假設\overleftrightarrow{OP}交圓於C、D兩點,則\cases{\angle APC=\angle BPD (對頂角)\\ \angle OCA = \angle ABD (對同弧)} \quad\Rightarrow \triangle APC \sim \triangle DPB \\ \Rightarrow   {\overline{AP} \over \overline{PC}} = {\overline{DP} \over \overline{BP}} \Rightarrow {k\over \sqrt{37}-\overline{OP}} ={\sqrt{37} +\overline{OP} \over 2k} \Rightarrow 2k^2=(\sqrt{37}+\sqrt 5)(\sqrt{37}-\sqrt 5) =  32 \Rightarrow k=4\\ \Rightarrow \cases{\overline{AP}=4 \\ \overline{BP}=8} \Rightarrow \overline{AQ}= (8+4)\div 2= 6,其中Q為\overline{AB}中點 \Rightarrow \overline{PQ}=6-4=2 \Rightarrow \overline{OQ}=1\\ 令  \overleftrightarrow{AB}: y=m(x-1)+2,則\overline{OQ} = 1=\text{dist}({O, \overleftrightarrow{AB}}) = {|2-m |\over \sqrt{m^2+1}} \Rightarrow m=3/4\\ \Rightarrow \cases{m=3/4 \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}: y={3\over 4}(x-1)+2  \Rightarrow 3x-4y+5=0\\m =\infty \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}:x-1=0} \\ \Rightarrow 直線方程式為\bbox[red, 2pt]{3x-4y+5=0,或x=1}
解答\sqrt{x^2-8x+41} +\sqrt{x^2-2x+5} =\sqrt{(x-4)^2+5^2} +\sqrt{(x-1)^2 +2^2} \\ = \overline{AP} +\overline{AQ},其中\cases{A(x,0) \\P(4,5)\\ Q(1,-2)},即A在x軸上,P,Q在x軸的異側;\\因此\overline{AP} +\overline{AQ}的最小值=\overline{PQ},此時A為 \overline{PQ}與x軸的交點;\\而\overleftrightarrow{PQ}: y={7\over 3}x-{13\over 3},與x軸交於({13\over 7},0) \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{13\over 7}
解答f(x)= x^3-(2a-1)x^2+bx-c = (x-1)(x^2-2ax+(b-2a))+ (b-2a+c)\\ =(x-1)g(x) +b-2a+c\\ \lim_{x\to 1}{f(x)\over x^3-1} ={1\over 3} \Rightarrow \cases{f(1)=0\\ \lim_{x\to 1}{g(x)  \over x^2+x+1} ={1\over 3}} \Rightarrow \cases{b-2a+c=0 \\ b=4a} \Rightarrow c=-2a\\ f(x)=0有虛根 \Rightarrow g(x)=0為二虛根 \Rightarrow 判別式 : 4a^2-4(b-2a) \lt 0 \Rightarrow a^2-(4a-2a) \lt 0 \\ \Rightarrow a(a-2) \lt 0\Rightarrow 0\lt a\lt 2 \Rightarrow a= 1(\because a\in \mathbb{Z})\Rightarrow c=-2a =\bbox[red, 2pt]{-2}
解答





解答\triangle ABD \Rightarrow \cases{\angle DAB = \angle CAB-\angle CAD= \gamma-\alpha\\ \angle ABD=90^\circ +\angle CBD=90^\circ +\beta} \\\Rightarrow \angle ADB =180^\circ -\angle DAB-\angle ABD= 90^\circ+\alpha-\beta-\gamma \\ 再利用正弦定理 \Rightarrow {\overline{AB} \over \overline{AD}} ={\sin(90^\circ+\alpha-\beta-\gamma) \over \sin (90^\circ +\beta)} ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over \cos \beta} ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over 5/13} \\ 由於\overline{AD}= \overline{AC},所以{\overline{AB} \over \overline{AD}} ={\overline{AB} \over \overline{AC}} =\cos \gamma ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over 5/13} \Rightarrow {5\over 13} \cos \gamma= \cos (\alpha-\beta-\gamma)\\ =\cos(\alpha-\beta) \cos \gamma+ \sin(\alpha-\beta) \sin\gamma\\ =(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\cos \gamma + (\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta\cos \alpha)\sin \gamma \\ =({4\over 5}\cdot {5\over 13}+ {3\over 5}\cdot {12\over 13})\cos \gamma + ({3\over 5} \cdot {5\over 13}-{12\over 13} \cdot{4\over 5}) \sin \gamma ={56\over 65}\cos \gamma -{33\over 65}\sin \gamma \\ \Rightarrow {33\over 65}\sin \gamma ={31\over 65} \cos \gamma \Rightarrow \tan \gamma ={\sin \gamma \over \cos \gamma} ={31/65 \over 33/65} = \bbox[red, 2pt]{31\over 33}
解答
\cases{x+z=6\\ x^2+y^2=z^2} \Rightarrow x^2+y^2=(6-x)^2 \Rightarrow y^2=-12(x-3) \Rightarrow 焦距=3\\ 由於y^2=-12(x-3)為投影在x-y平面上的拋物線(上圖紅色曲線)\\,而真正的拋物線是在平面x+z=6上(上圖藍色曲線);\\兩曲線的頂點皆在(3,0,3),紅色曲線較胖(焦距較大),藍色曲線較瘦(焦距較小);\\ 而x+z=6在x-z平面上為一45度的斜直線,因此直正的焦距為{3\over \sqrt 2} =\bbox[red, 2pt]{3\sqrt 2\over 2}

解答
令\cases{A(z)\\ B(z+i)},由於\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=1,因此\triangle OAB為一正\triangle;\\再加上\overline{AB}為一垂直線,z有兩種可能,即上圖A或A';\\A, B,A',B'及C(z_0=1)皆為x^n=1之根,而\angle BOC=30^\circ,所以最小的n=\bbox[red, 2pt]{12}

本題送分

二、 說明題、 計算證明題:

解答(1)3x+4y=5 \Rightarrow y=(5-3x)\div 4 代入 (x-1)^2+ (y+2)^2 = (x-1)^2 +({5-3x\over  4}+2)^2 \\ = {1\over 16}(25x^2-110x+185) ={25\over 16}(x-{11\over 5})^2+4\Rightarrow 當x={11\over 5}時,有最小值4\\,此時y=(5-{33\over 5})\div 4= -{2\over 5};因此最小值為4,此時(x,y)=({11\over 5},-{2\over 5})(2)柯西不等式: ((x-1)^2+(y+2)^2) (3^2+4^2) \ge (3(x-1)+ 4(y+2))^2 \\ \Rightarrow ((x-1)^2+(y+2)^2) \cdot 25 \ge (3x+4y+5)^2  =(5+5)^2 =100\\ \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2\ge {100\over 25} =4,此時{x-1\over 3}= {y+2\over 4} \Rightarrow 4x-3y=10\\ 因此\cases{3x+4y=5\\ 4x-3y=10} \Rightarrow (x,y)=({11\over 5},-{2\over 5}),最小值為4 (3)P在直線L:3x+4y=5上\Rightarrow P(t,(5-3t)/4),t\in R \Rightarrow \overrightarrow{PQ} \bot L,其中Q(1,-2) \\ \Rightarrow (1-t,-2-{5-3t\over 4}) \cdot (4,-3)=0 \Rightarrow 10-4t+{15-9t\over 4}=0 \Rightarrow t={11\over 5} \Rightarrow P({11\over 5}, -{2\over 5}) \\ \Rightarrow (x-1)^2+ (y+2)^2 = \overline{PQ}^2 =  ({6\over 5})^2 +(-{8\over 5})^2 =4 \Rightarrow 最小值為4,此時(x,y)=({11\over 5}, -{2\over 5})(4)令\cases{f(x,y)=(x-1)^2 +(y+2)^2\\ g(x,y)=3x+4y-5},\text{依 Lagrange 算子}\Rightarrow \cases{f_x=\lambda g_x\\ f_y = \lambda g_y\\ g=0} \\ \Rightarrow \cases{2(x-1)=3\lambda \Rightarrow \lambda={2\over 3}(x-1)\cdots(1) \\ 2(y+2)=4\lambda \Rightarrow \lambda = {1\over 2}(y+2) \cdots(2) \\ 3x+4y=5 \cdots(3)},由(1)及(2)\Rightarrow {2\over 3}(x-1) ={1\over 2}(y+2)\\ \Rightarrow 4x-3y=10\cdots(4); 由(3)及(4) \Rightarrow (x,y)= ({11\over 5},-{2\over 5}) \Rightarrow g({11\over 5},-{2\over 5})=4;\\因此最小值為4,此時(x,y)= ({11\over 5},-{2\over 5})

學校公佈的解答

假設任兩台完全連線,則需連接 10 條線,欲符合條件至少要四條線
1.10 條線全部接上情形只有一種
1.若任意拆掉任一條線,二條線,三條線,皆可符合條件
共 10+10*9/2+10*9*8/(3*2*1)=175
2.若任意拆掉四條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5=205
3.若任意拆掉五條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)-5*6=222
4.若任意拆掉六條線,需扣除(1)其中四條線皆連至同一電腦的情形(2)任選相鄰兩台電腦維持連線,但各拆掉另外
三條線
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5*(6*5/2)-(5*4/2)=125
因此共有 1+175+205+222+125=728,每一種情形依丟銅板的方式決定,機率為 1/2^10
故欲接通五台電腦的機率為 728/1024= 91/128
========= end ========

解題僅供參考,其它教甄試題及詳解

沒有留言:

張貼留言