國立彰化女子高級中學 110 學年度第一次教師甄選
一、填充題
解答:1−9的個位數字中,只有4的三次方個位數仍是4,因此假設n=10k+4⇒n3=1000k3+1200k2+480k+64末二位數是否為44只與480k+64有關⇒k=1,6,11,16,...⇒k=1+5t,t=0,1,2,...⇒n=10(1+5d)+4=50d+14,d=0,1,2,...⇒an=50(n−1)+14⇒a10=50⋅9+14=464
解答:
假設A在△OBC的垂足為A′,在¯OC的垂足為A″,如上圖;由於∠AOC=45∘⇒¯OA″=¯AA″=1又∠AOC=∠AOB=45∘⇒→OA′為∠BOC的角平分線⇒¯A′A″=¯OA″tan45∘2=√2−1在直角△AA′A″:¯AA′=√¯AA″2−¯A′A″2=√1−(√2−1)2=√2√2−2四面體體積=13⋅△OBC⋅¯AA′=13⋅12⋅¯OB⋅¯OC⋅sin∠BOC⋅√2√2−2=16⋅√18⋅1√2⋅√2√2−2=√2√2−22註:tan45∘=2tan22.5∘1−tan222.5∘⇒tan22.5∘=√2−1
3.有甲、乙兩箱,甲箱內有一白球、一黑球,乙箱內有一白球。每次先從甲箱任取一球放入乙箱內,再由乙箱任取一球放回甲箱裡,這樣的操作稱做一局。第n局結束時,求甲箱內有一白一黑的機率為 _?(以n表示)
解答:令{事件A:從甲袋拿一白球至乙袋,再從乙袋拿一白球至甲袋事件B:從甲袋拿一白球至乙袋,再從乙袋拿一黑球至甲袋事件A:從甲袋拿一黑球至乙袋,再從乙袋拿一白球至甲袋事件D:從甲袋拿一黑球至乙袋,再從乙袋拿一黑球至甲袋及{狀態S1:甲袋有1黑球1白球,乙袋有一白球狀態S2:甲袋有2白球,乙袋有1黑球因此{S1事件A,事件D→S1S1事件C→S2S2事件B→S1S2事件A→S2⇒{P(S1→S1)=3/4P(S1→S2)=1/4P(S2→S1)=1/2P(S2→S2)=1/2因此{a1=3/4an=34an−1+12(1−an−1)⇒an=14an−1+12=142an−2+12(1+14)=⋯=14n−1a1+12(1+14+⋯+14n−2)=14n−1⋅34+12(43−13⋅4n−2)=13⋅14n+23⇒an=23+13⋅(14)n
解答:x3+2x2+3x+4=0之三根為a,b,c⇒{a+b+c=−2ab+bc+c=3abc=−4⇒a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=(−2)2−2⋅3=−2⇒a3+b3+c3=(a+b+c)((a2+b2+c2)−(ab+bc+ca))+3abc=−2⇒(a+b)(b+c)(c+a)=((a+b+c)3−(a3+b3+c3))÷3=−2因此|−2aa+ba+cb+a−2bb+cc+ac+b−2c|=−8abc+2(a+b)(b+c)(c+a)+2b(a+c)2+2c(a+b)2+2a(b+c)2=(−8)⋅(−4)+2⋅(−2)+2b(−2−b)2+2c(−2−c)2+2a(−2−a)2=28+2(a(a+2)2+b(b+2)2+c(c+2)2)=28+2(a3+b3+c3+4(a2+b2+c2)+4(a+b+c))=28+2(−2−8−8)=−8
解答:
區域 D 即為一菱形區域中間扣除一橢圓,如上圖著色區域;
只考慮菱形四分之一的區域,不含坐標軸,格子點共有18+16+⋯+2=90個;坐標軸上的格子點共有(20+10)×2+1=61個;整個菱形區域格子點共有90×4+61=421個;
x2+4y2=20⇒x2(2√5)2+y2(√5)2=1⇒{4<a=2√5<52<b<3在四分之一橢圓內,不含坐標軸,只需考量{(x,y)∣1≤x≤4,1≤y≤2},只有(1−4,1),(1−2,2),共6個格子點,但需扣除邊線上的點(4,1)及(2,2),剩下4個格子點;坐標軸上有(2+4)×2+1=13個格子點;因此橢圓內(不含邊線上)有4×4+13=29個格子點;所求之格子點共有421−29=392

解答:ak:走k步的方法數⇒{a1=1an=1+∑n−1k=1ak,for k≤6an=∑n−1k=n−6ak,for k≥7a1=1,a2=2,a3=a1+a2+1=4,a4=a1+a2+a3+1=8,a5=a1+⋯+a4+1=16,a6=a1+⋯+a5+1=32;a7=a1+⋯+a6=63,a8=a2+⋯+a7=125,a9=a3+⋯+a8=248,a10=a4+a5+⋯+a9=492
解答:P在L:x−11=y−2−1=z−11上⇒P(t+1,−t+2,t+1)⇒¯PA+¯PB=√(t−2)2+(−t−2)2+t2+√t2+(−t−1)2+(t+2)2=√3t2+8+√3(t+1)2+2=√3(√t2+83+√(t+1)2+23)=√3(¯P′A′+¯P′B′),其中{P′(t,0)A′(0,√83)B′(−1,−√23),即P′在x軸上,A′,B′在x軸的異側因此¯P′A′+¯P′B′的最小值發生於P在¯A′B′與x軸的交點,而↔A′B′:y=√8+√2√3x+√83⇒P′(−23,0),即t=−23⇒P(−23+1,23+2,−23+1)=(13,83,13)
解答:{A在y=logax上B在y=2logax上C在y=3logax上⇒{A(α,logaα)B(β,2logaβ)C(γ,3logaγ);又{¯AB與x軸平行¯AB=6⇒{logaα=2logaβ⇒α=β2|β−α|=6由於正方形邊長為6⇒α>β⇒β2−β=6⇒(β−3)(β+2)=0⇒β=3⇒α=9又¯AB⊥¯BC⇒γ=β=3⇒{A(9,2loga3)B(3,2loga3)C(3,3loga3)⇒3loga3−2loga3=6⇒loga279=6⇒a6=3⇒a=6√3
解答:
解答:√x2−8x+41+√x2−2x+5=√(x−4)2+52+√(x−1)2+22=¯AP+¯AQ,其中{A(x,0)P(4,5)Q(1,−2),即A在x軸上,P,Q在x軸的異側;因此¯AP+¯AQ的最小值=¯PQ,此時A為¯PQ與x軸的交點;而↔PQ:y=73x−133,與x軸交於(137,0)⇒x=137
解答:f(x)=x3−(2a−1)x2+bx−c=(x−1)(x2−2ax+(b−2a))+(b−2a+c)=(x−1)g(x)+b−2a+climx→1f(x)x3−1=13⇒{f(1)=0limx→1g(x)x2+x+1=13⇒{b−2a+c=0b=4a⇒c=−2af(x)=0有虛根⇒g(x)=0為二虛根⇒判別式:4a2−4(b−2a)<0⇒a2−(4a−2a)<0⇒a(a−2)<0⇒0<a<2⇒a=1(∵a∈Z)⇒c=−2a=−2
解答:
解答:△ABD⇒{∠DAB=∠CAB−∠CAD=γ−α∠ABD=90∘+∠CBD=90∘+β⇒∠ADB=180∘−∠DAB−∠ABD=90∘+α−β−γ再利用正弦定理⇒¯AB¯AD=sin(90∘+α−β−γ)sin(90∘+β)=cos(α−β−γ)cosβ=cos(α−β−γ)5/13由於¯AD=¯AC,所以¯AB¯AD=¯AB¯AC=cosγ=cos(α−β−γ)5/13⇒513cosγ=cos(α−β−γ)=cos(α−β)cosγ+sin(α−β)sinγ=(cosαcosβ+sinαsinβ)cosγ+(sinαcosβ−sinβcosα)sinγ=(45⋅513+35⋅1213)cosγ+(35⋅513−1213⋅45)sinγ=5665cosγ−3365sinγ⇒3365sinγ=3165cosγ⇒tanγ=sinγcosγ=31/6533/65=3133
解答:
{x+z=6x2+y2=z2⇒x2+y2=(6−x)2⇒y2=−12(x−3)⇒焦距=3由於y2=−12(x−3)為投影在x−y平面上的拋物線(上圖紅色曲線),而真正的拋物線是在平面x+z=6上(上圖藍色曲線);兩曲線的頂點皆在(3,0,3),紅色曲線較胖(焦距較大),藍色曲線較瘦(焦距較小);而x+z=6在x−z平面上為一45度的斜直線,因此直正的焦距為3√2=3√22
解答:
學校公佈的解答:
解答:
令{A(z)B(z+i),由於¯OA=¯OB=¯OC=1,因此△OAB為一正△;再加上¯AB為一垂直線,z有兩種可能,即上圖A或A′;A,B,A′,B′及C(z0=1)皆為xn=1之根,而∠BOC=30∘,所以最小的n=12
本題送分
二、 說明題、 計算證明題:
解答:(1)3x+4y=5⇒y=(5−3x)÷4代入(x−1)2+(y+2)2=(x−1)2+(5−3x4+2)2=116(25x2−110x+185)=2516(x−115)2+4⇒當x=115時,有最小值4,此時y=(5−335)÷4=−25;因此最小值為4,此時(x,y)=(115,−25)(2)柯西不等式:((x−1)2+(y+2)2)(32+42)≥(3(x−1)+4(y+2))2⇒((x−1)2+(y+2)2)⋅25≥(3x+4y+5)2=(5+5)2=100⇒(x−1)2+(y+2)2≥10025=4,此時x−13=y+24⇒4x−3y=10因此{3x+4y=54x−3y=10⇒(x,y)=(115,−25),最小值為4 (3)P在直線L:3x+4y=5上⇒P(t,(5−3t)/4),t∈R⇒→PQ⊥L,其中Q(1,−2)⇒(1−t,−2−5−3t4)⋅(4,−3)=0⇒10−4t+15−9t4=0⇒t=115⇒P(115,−25)⇒(x−1)2+(y+2)2=¯PQ2=(65)2+(−85)2=4⇒最小值為4,此時(x,y)=(115,−25)(4)令{f(x,y)=(x−1)2+(y+2)2g(x,y)=3x+4y−5,依 Lagrange 算子⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{2(x−1)=3λ⇒λ=23(x−1)⋯(1)2(y+2)=4λ⇒λ=12(y+2)⋯(2)3x+4y=5⋯(3),由(1)及(2)⇒23(x−1)=12(y+2)⇒4x−3y=10⋯(4);由(3)及(4)⇒(x,y)=(115,−25)⇒g(115,−25)=4;因此最小值為4,此時(x,y)=(115,−25)學校公佈的解答:
假設任兩台完全連線,則需連接 10 條線,欲符合條件至少要四條線
1.10 條線全部接上情形只有一種
1.若任意拆掉任一條線,二條線,三條線,皆可符合條件
共 10+10*9/2+10*9*8/(3*2*1)=175
2.若任意拆掉四條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5=205
3.若任意拆掉五條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)-5*6=222
4.若任意拆掉六條線,需扣除(1)其中四條線皆連至同一電腦的情形(2)任選相鄰兩台電腦維持連線,但各拆掉另外
三條線
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5*(6*5/2)-(5*4/2)=125
因此共有 1+175+205+222+125=728,每一種情形依丟銅板的方式決定,機率為 1/2^10
故欲接通五台電腦的機率為 728/1024= 91/128
========= end ========解題僅供參考,其它教甄試題及詳解
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