國立彰化女子高級中學 110 學年度第一次教師甄選
一、填充題
解答:1−9的個位數字中,只有4的三次方個位數仍是4,因此假設n=10k+4⇒n3=1000k3+1200k2+480k+64末二位數是否為44只與480k+64有關⇒k=1,6,11,16,...⇒k=1+5t,t=0,1,2,...⇒n=10(1+5d)+4=50d+14,d=0,1,2,...⇒an=50(n−1)+14⇒a10=50⋅9+14=464
解答:
假設A在△OBC的垂足為A′,在¯OC的垂足為A″,如上圖;由於∠AOC=45∘⇒¯OA″=¯AA″=1又∠AOC=∠AOB=45∘⇒→OA′為∠BOC的角平分線⇒¯A′A″=¯OA″tan45∘2=√2−1在直角△AA′A″:¯AA′=√¯AA″2−¯A′A″2=√1−(√2−1)2=√2√2−2四面體體積=13⋅△OBC⋅¯AA′=13⋅12⋅¯OB⋅¯OC⋅sin∠BOC⋅√2√2−2=16⋅√18⋅1√2⋅√2√2−2=√2√2−22註:tan45∘=2tan22.5∘1−tan222.5∘⇒tan22.5∘=√2−1
3.有甲、乙兩箱,甲箱內有一白球、一黑球,乙箱內有一白球。每次先從甲箱任取一球放入乙箱內,再由乙箱任取一球放回甲箱裡,這樣的操作稱做一局。第n局結束時,求甲箱內有一白一黑的機率為 _?(以n表示)
解答:令{事件A:從甲袋拿一白球至乙袋,再從乙袋拿一白球至甲袋事件B:從甲袋拿一白球至乙袋,再從乙袋拿一黑球至甲袋事件A:從甲袋拿一黑球至乙袋,再從乙袋拿一白球至甲袋事件D:從甲袋拿一黑球至乙袋,再從乙袋拿一黑球至甲袋及{狀態S1:甲袋有1黑球1白球,乙袋有一白球狀態S2:甲袋有2白球,乙袋有1黑球因此{S1事件A,事件D→S1S1事件C→S2S2事件B→S1S2事件A→S2⇒{P(S1→S1)=3/4P(S1→S2)=1/4P(S2→S1)=1/2P(S2→S2)=1/2因此{a1=3/4an=34an−1+12(1−an−1)⇒an=14an−1+12=142an−2+12(1+14)=⋯=14n−1a1+12(1+14+⋯+14n−2)=14n−1⋅34+12(43−13⋅4n−2)=13⋅14n+23⇒an=23+13⋅(14)n
解答:x3+2x2+3x+4=0之三根為a,b,c⇒{a+b+c=−2ab+bc+c=3abc=−4⇒a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=(−2)2−2⋅3=−2⇒a3+b3+c3=(a+b+c)((a2+b2+c2)−(ab+bc+ca))+3abc=−2⇒(a+b)(b+c)(c+a)=((a+b+c)3−(a3+b3+c3))÷3=−2因此|−2aa+ba+cb+a−2bb+cc+ac+b−2c|=−8abc+2(a+b)(b+c)(c+a)+2b(a+c)2+2c(a+b)2+2a(b+c)2=(−8)⋅(−4)+2⋅(−2)+2b(−2−b)2+2c(−2−c)2+2a(−2−a)2=28+2(a(a+2)2+b(b+2)2+c(c+2)2)=28+2(a3+b3+c3+4(a2+b2+c2)+4(a+b+c))=28+2(−2−8−8)=−8
解答:
區域 D 即為一菱形區域中間扣除一橢圓,如上圖著色區域;
只考慮菱形四分之一的區域,不含坐標軸,格子點共有18+16+⋯+2=90個;坐標軸上的格子點共有(20+10)×2+1=61個;整個菱形區域格子點共有90×4+61=421個;
x2+4y2=20⇒x2(2√5)2+y2(√5)2=1⇒{4<a=2√5<52<b<3在四分之一橢圓內,不含坐標軸,只需考量{(x,y)∣1≤x≤4,1≤y≤2},只有(1−4,1),(1−2,2),共6個格子點,但需扣除邊線上的點(4,1)及(2,2),剩下4個格子點;坐標軸上有(2+4)×2+1=13個格子點;因此橢圓內(不含邊線上)有4×4+13=29個格子點;所求之格子點共有421−29=392

解答:ak:走k步的方法數⇒{a1=1an=1+∑n−1k=1ak,for k≤6an=∑n−1k=n−6ak,for k≥7a1=1,a2=2,a3=a1+a2+1=4,a4=a1+a2+a3+1=8,a5=a1+⋯+a4+1=16,a6=a1+⋯+a5+1=32;a7=a1+⋯+a6=63,a8=a2+⋯+a7=125,a9=a3+⋯+a8=248,a10=a4+a5+⋯+a9=492
解答:P在L:x−11=y−2−1=z−11上⇒P(t+1,−t+2,t+1)⇒¯PA+¯PB=√(t−2)2+(−t−2)2+t2+√t2+(−t−1)2+(t+2)2=√3t2+8+√3(t+1)2+2=√3(√t2+83+√(t+1)2+23)=√3(¯P′A′+¯P′B′),其中{P′(t,0)A′(0,√83)B′(−1,−√23),即P′在x軸上,A′,B′在x軸的異側因此¯P′A′+¯P′B′的最小值發生於P在¯A′B′與x軸的交點,而↔A′B′:y=√8+√2√3x+√83⇒P′(−23,0),即t=−23⇒P(−23+1,23+2,−23+1)=(13,83,13)
解答:{A在y=logax上B在y=2logax上C在y=3logax上⇒{A(α,logaα)B(β,2logaβ)C(γ,3logaγ);又{¯AB與x軸平行¯AB=6⇒{logaα=2logaβ⇒α=β2|β−α|=6由於正方形邊長為6⇒α>β⇒β2−β=6⇒(β−3)(β+2)=0⇒β=3⇒α=9又¯AB⊥¯BC⇒γ=β=3⇒{A(9,2loga3)B(3,2loga3)C(3,3loga3)⇒3loga3−2loga3=6⇒loga279=6⇒a6=3⇒a=6√3
解答:
解答:\sqrt{x^2-8x+41} +\sqrt{x^2-2x+5} =\sqrt{(x-4)^2+5^2} +\sqrt{(x-1)^2 +2^2} \\ = \overline{AP} +\overline{AQ},其中\cases{A(x,0) \\P(4,5)\\ Q(1,-2)},即A在x軸上,P,Q在x軸的異側;\\因此\overline{AP} +\overline{AQ}的最小值=\overline{PQ},此時A為 \overline{PQ}與x軸的交點;\\而\overleftrightarrow{PQ}: y={7\over 3}x-{13\over 3},與x軸交於({13\over 7},0) \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{13\over 7}
解答:f(x)= x^3-(2a-1)x^2+bx-c = (x-1)(x^2-2ax+(b-2a))+ (b-2a+c)\\ =(x-1)g(x) +b-2a+c\\ \lim_{x\to 1}{f(x)\over x^3-1} ={1\over 3} \Rightarrow \cases{f(1)=0\\ \lim_{x\to 1}{g(x) \over x^2+x+1} ={1\over 3}} \Rightarrow \cases{b-2a+c=0 \\ b=4a} \Rightarrow c=-2a\\ f(x)=0有虛根 \Rightarrow g(x)=0為二虛根 \Rightarrow 判別式 : 4a^2-4(b-2a) \lt 0 \Rightarrow a^2-(4a-2a) \lt 0 \\ \Rightarrow a(a-2) \lt 0\Rightarrow 0\lt a\lt 2 \Rightarrow a= 1(\because a\in \mathbb{Z})\Rightarrow c=-2a =\bbox[red, 2pt]{-2}
解答:
解答:\triangle ABD \Rightarrow \cases{\angle DAB = \angle CAB-\angle CAD= \gamma-\alpha\\ \angle ABD=90^\circ +\angle CBD=90^\circ +\beta} \\\Rightarrow \angle ADB =180^\circ -\angle DAB-\angle ABD= 90^\circ+\alpha-\beta-\gamma \\ 再利用正弦定理 \Rightarrow {\overline{AB} \over \overline{AD}} ={\sin(90^\circ+\alpha-\beta-\gamma) \over \sin (90^\circ +\beta)} ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over \cos \beta} ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over 5/13} \\ 由於\overline{AD}= \overline{AC},所以{\overline{AB} \over \overline{AD}} ={\overline{AB} \over \overline{AC}} =\cos \gamma ={\cos (\alpha-\beta-\gamma) \over 5/13} \Rightarrow {5\over 13} \cos \gamma= \cos (\alpha-\beta-\gamma)\\ =\cos(\alpha-\beta) \cos \gamma+ \sin(\alpha-\beta) \sin\gamma\\ =(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\cos \gamma + (\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta\cos \alpha)\sin \gamma \\ =({4\over 5}\cdot {5\over 13}+ {3\over 5}\cdot {12\over 13})\cos \gamma + ({3\over 5} \cdot {5\over 13}-{12\over 13} \cdot{4\over 5}) \sin \gamma ={56\over 65}\cos \gamma -{33\over 65}\sin \gamma \\ \Rightarrow {33\over 65}\sin \gamma ={31\over 65} \cos \gamma \Rightarrow \tan \gamma ={\sin \gamma \over \cos \gamma} ={31/65 \over 33/65} = \bbox[red, 2pt]{31\over 33}
解答:
\cases{x+z=6\\ x^2+y^2=z^2} \Rightarrow x^2+y^2=(6-x)^2 \Rightarrow y^2=-12(x-3) \Rightarrow 焦距=3\\ 由於y^2=-12(x-3)為投影在x-y平面上的拋物線(上圖紅色曲線)\\,而真正的拋物線是在平面x+z=6上(上圖藍色曲線);\\兩曲線的頂點皆在(3,0,3),紅色曲線較胖(焦距較大),藍色曲線較瘦(焦距較小);\\ 而x+z=6在x-z平面上為一45度的斜直線,因此直正的焦距為{3\over \sqrt 2} =\bbox[red, 2pt]{3\sqrt 2\over 2}
解答:
學校公佈的解答:
解答:
令\cases{A(z)\\ B(z+i)},由於\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=1,因此\triangle OAB為一正\triangle;\\再加上\overline{AB}為一垂直線,z有兩種可能,即上圖A或A';\\A, B,A',B'及C(z_0=1)皆為x^n=1之根,而\angle BOC=30^\circ,所以最小的n=\bbox[red, 2pt]{12}
本題送分
二、 說明題、 計算證明題:
解答:(1)3x+4y=5 \Rightarrow y=(5-3x)\div 4 代入 (x-1)^2+ (y+2)^2 = (x-1)^2 +({5-3x\over 4}+2)^2 \\ = {1\over 16}(25x^2-110x+185) ={25\over 16}(x-{11\over 5})^2+4\Rightarrow 當x={11\over 5}時,有最小值4\\,此時y=(5-{33\over 5})\div 4= -{2\over 5};因此最小值為4,此時(x,y)=({11\over 5},-{2\over 5})(2)柯西不等式: ((x-1)^2+(y+2)^2) (3^2+4^2) \ge (3(x-1)+ 4(y+2))^2 \\ \Rightarrow ((x-1)^2+(y+2)^2) \cdot 25 \ge (3x+4y+5)^2 =(5+5)^2 =100\\ \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2\ge {100\over 25} =4,此時{x-1\over 3}= {y+2\over 4} \Rightarrow 4x-3y=10\\ 因此\cases{3x+4y=5\\ 4x-3y=10} \Rightarrow (x,y)=({11\over 5},-{2\over 5}),最小值為4 (3)P在直線L:3x+4y=5上\Rightarrow P(t,(5-3t)/4),t\in R \Rightarrow \overrightarrow{PQ} \bot L,其中Q(1,-2) \\ \Rightarrow (1-t,-2-{5-3t\over 4}) \cdot (4,-3)=0 \Rightarrow 10-4t+{15-9t\over 4}=0 \Rightarrow t={11\over 5} \Rightarrow P({11\over 5}, -{2\over 5}) \\ \Rightarrow (x-1)^2+ (y+2)^2 = \overline{PQ}^2 = ({6\over 5})^2 +(-{8\over 5})^2 =4 \Rightarrow 最小值為4,此時(x,y)=({11\over 5}, -{2\over 5})(4)令\cases{f(x,y)=(x-1)^2 +(y+2)^2\\ g(x,y)=3x+4y-5},\text{依 Lagrange 算子}\Rightarrow \cases{f_x=\lambda g_x\\ f_y = \lambda g_y\\ g=0} \\ \Rightarrow \cases{2(x-1)=3\lambda \Rightarrow \lambda={2\over 3}(x-1)\cdots(1) \\ 2(y+2)=4\lambda \Rightarrow \lambda = {1\over 2}(y+2) \cdots(2) \\ 3x+4y=5 \cdots(3)},由(1)及(2)\Rightarrow {2\over 3}(x-1) ={1\over 2}(y+2)\\ \Rightarrow 4x-3y=10\cdots(4); 由(3)及(4) \Rightarrow (x,y)= ({11\over 5},-{2\over 5}) \Rightarrow g({11\over 5},-{2\over 5})=4;\\因此最小值為4,此時(x,y)= ({11\over 5},-{2\over 5})學校公佈的解答:
假設任兩台完全連線,則需連接 10 條線,欲符合條件至少要四條線
1.10 條線全部接上情形只有一種
1.若任意拆掉任一條線,二條線,三條線,皆可符合條件
共 10+10*9/2+10*9*8/(3*2*1)=175
2.若任意拆掉四條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5=205
3.若任意拆掉五條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)-5*6=222
4.若任意拆掉六條線,需扣除(1)其中四條線皆連至同一電腦的情形(2)任選相鄰兩台電腦維持連線,但各拆掉另外
三條線
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5*(6*5/2)-(5*4/2)=125
因此共有 1+175+205+222+125=728,每一種情形依丟銅板的方式決定,機率為 1/2^10
故欲接通五台電腦的機率為 728/1024= 91/128
========= end ========解題僅供參考,其它教甄試題及詳解
沒有留言:
張貼留言