110年警專40期數學科(乙組)詳解

臺灣警察專科學校110學年度專科警員班

第40期正期學生組新生入學考試乙組數學試題

壹、單選題

解答： $$最小值=2與-5的距離=7，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$由圖形可知\cases{f(3)=f(1)= 0\\ f(x)\le 0,x\in (-\infty,3]}\Rightarrow f(x)\lt 0, x\in (-\infty,3)且x\ne 1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{\sum_{k=1}^5 (a_k+2)=100\\ \sum_{k=6}^{10} 2a_k=100} \Rightarrow \cases{10+ \sum_{k=1}^5  a_k =100\\ 2\sum_{k=6}^{10} a_k=100}\Rightarrow \cases{  \sum_{k=1}^5  a_k =90\\ \sum_{k=6}^{10} a_k=50}\\ \Rightarrow  \sum_{k=1}^{10} a_k = 90+50=140，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{(A)\sin 110^\circ = \sin 70^\circ\\ (B) \sin 120^\circ = \sin 60^\circ \\ (C)\sin 130^\circ = \sin 50^\circ \\ (D) \sin 140^\circ = \sin 40^\circ} \Rightarrow 最大值為\sin 70^\circ ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$8個數皆為質數，也就是兩兩互質，因此任取2個數，大的當a,小的當b就符合要求；\\ 8個數字任取2個，有C^8_2=28種組合方式，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$P(H\cup A)= P(H)+P(A)- P(A\cap H) ={4\over 16} +{4\over 16}-{1\over 16} ={7\over 16}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$C的相關係數比B小，且為正值，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$三角形中線定理:\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 = 2(\overline{AD}^2+\overline{BD}^2) \Rightarrow 4+9 = 2(\overline{AD}^2 +4) \Rightarrow \overline{AD}= \sqrt{5\over 2} \\ \Rightarrow \overline{AG}={2\over 3}\times \overline{AD} ={2\over 3}\times \sqrt{5\over 2} = {\sqrt{10}\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 & 11\\ 0 & 3 & 10 & -4 \\  0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x-2y-3z=11 \cdots(1) \\ 3y+10z=-4\cdots(2)\\ z=2 \cdots(3)} \\ 將(3)代入(2) \Rightarrow 3y=-24 \Rightarrow y=-8 代入(3) \Rightarrow x+16-6=11 \Rightarrow x=1 \\ \Rightarrow (x,y,z) =(1,-8,2)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$與4x+y=5垂直的直線 x-4y=k經過(1,2) \Rightarrow 1-8=-7=k \Rightarrow x-4y=-7，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$令A為原點，則各頂點坐標\cases{A(0,0)\\ B(6,0)\\ C(6,6)\\ D(0,6)\\ E(6,4)\\ F(3,6)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{BF} =(-3,6) \\\overrightarrow{DE}= (6,-2)} \Rightarrow \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{DE} =-18-12=-30\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{E_1:3x+4y-5z=2 \\ E_2:4x-y+z=2} \Rightarrow \cases{\vec n_1=(3,4,-5) \\ \vec n_2=(4,-1,1)} \Rightarrow \cos \theta ={\vec n_1 \cdot \vec n_2 \over |\vec n_1||\vec n_2|} ={12-4-5 \over \sqrt{9+16+25}\cdot \sqrt{16+1+1}} \\ ={3\over 30} ={1\over 10}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$假設保費為a元，則a\times 99.98\%-100萬\times 0.02\%=100 \Rightarrow a\times 99.98\%=300 \Rightarrow a\approx 300\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$(A) (5\sqrt 2+2\sqrt 3)^2 = 62+20\sqrt 6\\ (B)(3\sqrt 2+4\sqrt 3)^2 = 66+24\sqrt 6\\ (C)(4\sqrt 2+3\sqrt 3)^2 =59+24\sqrt 6 \\ (D) (2\sqrt 2+5\sqrt 3)^2 =83+ 20\sqrt 6\\ 顯然(D)最大，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$f(x)=p(x)(x-2)^2+x+2 \Rightarrow f(2)=0+2+2=4，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{A(\log_2 3,3)\\ B(\log_2 6,6)} \Rightarrow \overrightarrow{AB} =(\log_2 6-\log_2 3,6-3) =(\log_2{6\over 3},3)= (1,3)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$巴斯卡三角形第n列的數字就是(x+y)^{n-1}的係數，因此第10列數字和=(1+1)^9=2^9=512\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$甲乙丙三人排列數=3!，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$點數和為8有5種情形，即(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)；\\其中第1次為偶數的有3種，因此機率為{3\over 5}=0.6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$4x^2+y^2 \ge 2\sqrt{4x^2\cdot y^2} =4xy \Rightarrow 20 \ge 4xy \Rightarrow 5\ge xy \Rightarrow 7\ge xy+2\\ \Rightarrow xy+2 的最大值=7，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$(500\times 161+200\times 166 + 300\times 171) \div (500+200+300) \\=(5\times 161+2\times 166 + 3\times 171) \div (5+2 +3) = 1650\div 10=165，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{A(0,0)\\ B(6,0)\\ P(x,y)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AP} =(x,y)\\ \overrightarrow{BP} =(x-6,y)} \Rightarrow \overrightarrow{AP} +\overrightarrow{BP}=(2x-6,2y) \Rightarrow |\overrightarrow{AP} +\overrightarrow{BP} |=10\\ \Rightarrow \sqrt{(2x-6)^2+4y^2} =10 \Rightarrow (2x-6)^2+4y^2=100 \Rightarrow (x-3)^2 +y^2=25為一圓，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{L_1:{x\over 2} ={y\over 3} ={z\over 4} \\ L_2:{x\over 2} ={y\over -1} ={z\over 1} } \Rightarrow \cases{\vec n_1=(2,3,4)\\ \vec n_2=(2,-1,1)} \Rightarrow \vec n= \vec n_1\times \vec n_2 =(7,6,-8) \\ \Rightarrow 同時垂直L_1與L_2，方向向量為(7,6,-8)並過(0,0,0)的直線方程式:{x\over 7}= {y\over 6} ={z\over -8}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\begin{bmatrix} 1& -1 \\3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a& b \\c & d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a-c &b-d \\3a+2c & 3b+2d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\-1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{\cases{a-c=3\\ 3a+2c=-1} \\ \cases{b-d=7\\ 3b+2d= 1}} \\ \Rightarrow \cases{a=1 \\b=3\\ c=-2\\ d=-4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{E(X)=5\\ \sigma(X)=2} \Rightarrow \cases{np=5 \\ np(1-p)=2^2=4} \Rightarrow 1-p={4\over 5} \Rightarrow p={1\over 5} ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$小明的英文及數學分數高於全班平均，而英文的分數為\mu+2\sigma ，數學的分數為\mu+\sigma\\，因此英文的表現較好，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$(A,B,C)=(5,2,1),(5,1,2)三種選法，其中(5,2,1)有C^5_2C^2_1=20種選法，\\(5,1,2) 有C^5_1C^2_2=5種選法，因此共有20+5=25種挑選的方式，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設公差為k，則\cases{a\\ b=a+k\\ c=a+2k \\ d=a+3k}；a,b,d成等比\Rightarrow b^2=ad \Rightarrow (a+k)^2 = a(a+3k) \\ \Rightarrow 2ak+k^2 = 3ak \Rightarrow k(k-a)=0 \Rightarrow k=a \Rightarrow \cases{a=k \\ b=2k\\ c=3k \\d=4k} \Rightarrow 公比={b\over a}=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$(A) d={2\over \sqrt{25+1+1}} ={2\over \sqrt{27}} \\(B) d={2\over \sqrt{16+4+1}} ={2\over \sqrt{21}} \\(C) d={2\over \sqrt{9+9+1}} ={2\over \sqrt{19}} \\(D) d={2\over \sqrt{9+4+4}} ={2\over \sqrt{17}} \\因此(D)最大，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$由題意可知:轉換矩陣= \begin{bmatrix} 0.6 & 0.5\\ 0.4 & 0.5\end{bmatrix} \Rightarrow 兩日後 \begin{bmatrix} 0.6 & 0.5\\ 0.4 & 0.5\end{bmatrix}^2\begin{bmatrix} 200\\ 100\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.6 & 0.5\\ 0.4 & 0.5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 170\\ 130\end{bmatrix} = \\ \begin{bmatrix} 167\\ 133\end{bmatrix} \Rightarrow 臺北市有167台車，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

貳、多重選題題

解答： $$(A)\times: 2(x-1)^2+(y+1)^2=5 \Rightarrow {(x-1)^2 \over 5/2} +{(y+1)^2 \over 5}=1為一橢圓 \\(B)\times: 2(x-1)^2+(y+1)^2=3 \Rightarrow {(x-1)^2 \over 3/2} +{(y+1)^2 \over 3}=1為一橢圓 \\(C)\times: 2x^2+ (y+1)^2 =2 \Rightarrow {x^2 \over 1} +{(y+1)^2 \over 2}=1為一橢圓 \\(D) \bigcirc: 2(x-1)^2+2(y-3/2)=0 \Rightarrow -(y-3/2)=(x-1)^2為一拋物線 \\(E)\bigcirc: (y+1)^2-4(x+1/2)=0 \Rightarrow (y+1)^2 = 4(x-1/2)為一拋物線\\，故選\bbox[red, 2pt]{(DE)}$$

解答： $$(A)\times: \overline{DF}與\overline{BH}交於中心點 \\(B)\times: \overline{DF}與\overline{FC}交於F \\(E)\times:  \overline{DF}與\overline{CE}交於中心點\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CD)}$$

解答： $$(A)\times: f(x)=-2(x-1)^2-1 \Rightarrow 最大值=-1\\ (B)\bigcirc: y=f(x)圖形為凹向下，沒有最小值\\(C) \bigcirc: f(x)=-2(x-1)^2-1 \Rightarrow 極值發生在x=1 \\(D) \times: 判別式=16-24 \lt 0 \Rightarrow 與x軸無交點\\ (E)\bigcirc: 最大值為-5，因此f(x) \lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}$$

    

解答：

$$由圖形可知所圍內部區域R為\cases{3x-y \gt 1\\ 2x+3y \lt 5\\ x-2y \lt 4} \\\Rightarrow \cases{3a-b \gt 1\\ 2a+3y \lt 5\\ a-2b\lt 4}且\cases{(1,3/2)\in R,但 1\not \gt 3/2\\ 區域R包含第四象限，即a\gt ,b\lt 0}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: \log_2 5\gt \log_2 3\\ (B)\bigcirc: \cases{b=\log_2 3 \gt 1\\ c=\log_3 2\lt 1} \Rightarrow b\gt c \\(C) \bigcirc: 5\gt 2 \Rightarrow a=\log_2 5\gt 1 \\(D) \times: 3\gt 2\Rightarrow b=\log_2 3\gt 1 \\(E) \bigcirc: c=\log_3 \gt \log_3 1 =0 \Rightarrow c\gt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABCE)}$$

解答： $$共交點應該是共焦點，本題\bbox[red, 2pt]{送分}$$

解答： $$(A)\times: 三人各1支，至少3支\\(B)\bigcirc:每人最多5支，共15支\\(C)\bigcirc: 9=5+3+1 =5+2+2 =4+4+1 =4+3+2 =3+3+3，\\\qquad \quad 排列數為6+3+3+6+1=19；而 8=5+2+1,4+3+1,4+2+2,3+3+2\\，排列數為6+6+3+3=18，因此出現9的機率較高\\(D)\bigcirc: {1\over 5^3}={1\over 125} \\(E)\times: 甲出任何數字的機率都是{1\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: (-3\lt 0,-4\lt 0)在第三象限\\ (B)\times: 180^\circ +360^\circ\times n \lt \theta \lt 270^\circ +360^\circ \times n,n\in \mathbb{Z}\\ (C) \bigcirc: \sin \theta =-{4\over \sqrt{3^2+4^2}} =-{4\over 5}\\ (D)\times: \tan\theta ={4\over 3}\\ (E)\times: (3,4)不在第三象限，故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

解答： $$正方形的一邊在L:y=5x上，其斜率為5；假設P(1,5)為此邊上的頂點，\\則P逆時鐘旋轉45^\circ 得P'(-2\sqrt 2,3\sqrt 2)在正方形的對角線上，此對角線的斜率為-{3\over 2}\\，另一對角線的斜率與其垂直，因此斜率為{2\over 3}；因此對角線的斜率為-{3\over 2}或{2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答： $$(A)\times: 1日後增加兩2倍，半日後應增加2^{0.5}=\sqrt 2倍，也就是100(1+\sqrt 2)隻\\ (B)\bigcirc:1日後:100+100\times 2=300 \\(C)\times: 2日後:300+ 300\times 2= 900 \\(D) \times:3日後:900+900\times 2=2700\\ (E)\bigcirc: a+a\times 2=3a\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BE)}$$

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