114年調查三等-工程數學詳解

114年法務部調查局調查人員考試

考 試 別：調查人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子科學組
科 目：工程數學

解答:$$\textbf{(一) }f(x,y)=xe^{-xy} \Rightarrow \nabla f(x,y)=(f_x,f_y) =(e^{-xy}-xye^{-xy}, -x^2e^{-xy}) \\\qquad \Rightarrow \nabla f(1,-3)=(e^3+3e^3, -e^3) = \bbox[red, 2pt]{(4e^{3},-e^3)} \\\textbf{(二) } \vec n=({1\over \sqrt 5},-{2\over \sqrt 5}) \Rightarrow D_{\vec n} f =\nabla f(1,-3) \cdot \vec n=(4e^3,-e^3)\cdot ({1\over \sqrt 5},-{2\over \sqrt 5}) = \bbox[red, 2pt]{{6\sqrt 5\over 5}e^3}$$

解答:$$\textbf{(一) }A= \begin{bmatrix}1&-1 &3\\ 0 & 2& 2 \\ 0 & 0& 3\end{bmatrix} \underrightarrow{R_2/2 \to R_2, R_3/3 \to R_3} \left[ \begin{matrix}1 & -1 & 3\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \underrightarrow{R_1-3R_3 \to R_1, R_2-R_3\to R_2} \\ \quad \left[ \begin{matrix}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \underrightarrow{R_1+R_2\to R_1} \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \Rightarrow rref(A)= \bbox[red, 2pt]{\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix} \right]} \\\textbf{(二) }\det(A-\lambda I) =-\lambda^3+ 6\lambda^2-11 \lambda+6= -(\lambda-1)(\lambda-2) (\lambda-3)=0 \Rightarrow 特性值:\bbox[red, 2pt]{1,2,3} \\\textbf{(三) } \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I) v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & -1 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_2=0\\ x_3=0} \\\qquad \Rightarrow v=x_1\begin{pmatrix} 1\\0\\ 0\end{pmatrix}, 取v_1= \begin{pmatrix} 1\\0\\ 0\end{pmatrix} \\ \lambda_2=2  \Rightarrow (A-\lambda_2 I) v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-1 & -1 & 3 \\0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1+x_2=0\\ x_3=0}  \\\qquad \Rightarrow v=x_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, 取v_2= \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \\ \lambda_3=3 \Rightarrow (A-\lambda_3 I) v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-2 & -1 & 3 \\0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{2x_1=x_3\\ x_2=2x_3}  \\\qquad \Rightarrow v=x_3\begin{pmatrix} 1/2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}, 取v_3= \begin{pmatrix}  1/2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow 特性向量: \bbox[red, 2pt]{\begin{pmatrix} 1\\0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}  1/2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}} \\\textbf{(四) } 取P=[v_1 v_2 v_3], D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & 0\\ 0& \lambda_2& 0\\ 0& 0& \lambda_3 \end{bmatrix} \Rightarrow A= PDP^{-1} \\= \begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{1}{2} \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{-5}{2} \\0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}   \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{是的}, A可對角化 \\\textbf{(五) } yA=[3\; 2\; 1] \Rightarrow y= [3\; 2\; 1] A^{-1} = [3\; 2\; 1] \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{-4}{3} \\0 & \frac{1}{2} & \frac{-1}{3} \\0 & 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix} = \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}3 & \frac{5}{2} & \frac{-13}{3} \end{bmatrix}}$$

解答:$$\textbf{(一) } y''+4y'+3y=0 \Rightarrow \lambda^2+4\lambda+3=0 \Rightarrow (\lambda+3)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda=-1,-3 \\\qquad \Rightarrow 齊次解\bbox[red, 2pt]{y_h=c_1e^{-x}+ c_2e^{-3x}} \\\textbf{(二) }y_p=At^2+Bt+C \Rightarrow y_p'=2At+B \Rightarrow y_p'' =2A \Rightarrow y_p''+ 4y_p'+ 3y_p \\\qquad = 3At^2+( 8A+3B) t+2A+4B+3C =t^2 \Rightarrow \cases{3A=1\\ 8A+3B=0\\ 2A+4B+3C=0} \Rightarrow \cases{A=1/3\\ B=-8/9\\C= 26/27} \\\qquad \Rightarrow 一個特定解 \bbox[red, 2pt]{y_p={1\over 3}t^2-{8\over 9}t+{26\over 27}} \\\textbf{(三) }y=y_h+y_p  =c_1e^{-x}+ c_2e^{-3x}+{1\over 3}t^2-{8\over 9}t+{26\over 27} \Rightarrow y'=-c_1e^{-t}- 3c_2e^{-3t} +{2\over 3}t-{8\over 9} \\ \qquad \Rightarrow \cases{y(0)=c_1+c_2 +26/27=2\\ y'(0)=-c_1-3c_2-8/9 =-1} \Rightarrow \cases{c_1=3/2\\ c_2=-25/54} \\\quad \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y={3\over 2}e^{-t}-{25\over 54}e^{-3t}+{1\over 3}t^2-{8\over 9}t+{26\over 27}}$$

解答:$$\textbf{(一) }A+B=10 \Rightarrow A與B相互影響,並\bbox[red, 2pt]{不是互相獨立} \\\textbf{(二) }符合A+B=10且A\gt B+3 的樣本(A,B)=(10,0) ,(9,1), (8,2), (7,3) \\\qquad \Rightarrow \cases{P(A=10) ={1\over 2^{10}  } \\ P(A=9) ={10\over 2^{10}} \\ P(A=8) ={45\over 2^{10}} \\P(A=7) ={120\over 2^{10}}} \Rightarrow P(A\gt B+3)={1\over 2^{10}}(1+10+45+120) ={176\over 2^{10}}= \bbox[red, 2pt]{11\over 64} \\\textbf{(三) }E(A^2) =10^2\cdot {1\over 2^{10}} +9^2\cdot {10\over 2^{10}} +8^2\cdot {45\over 2^{10}} +7^2\cdot {120\over 2^{10}} ={9670\over 2^{10}} = \bbox[red, 2pt]{4835 \over 512}$$

 

解答:

$$\textbf{(一) }\oint_{C_1} f(z) \,dz=\oint_{C_1} {1\over z}\,dz = \bbox[red, 2pt]{2\pi i} \\\textbf{(二) } \oint_{C_2} f(z) \,dz=\oint_{C_2} {1\over z}\,dz = \bbox[red, 2pt]{2\pi i} \\\textbf{(三) } \oint_{C_3} f(z) \,dz=\oint_{C_3} {1\over z}+{2\over z-1} +{3\over z-i}\,dz = (1+2+3) \cdot 2\pi i= \bbox[red, 2pt]{12\pi i} $$

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