財團法人大學入學考試中心基金會
115學年度學科能力測驗試題
數學B考科
第壹部分、選擇（填）題（占85分）
一、單選題（占 35 分）
解答:$${|N-95|\over 95}\times 100\% ={|N-95|\over 95} \lt 5\% \Rightarrow -0.05\lt {N-95\over 95} \lt 0.05 \Rightarrow 90.25\lt N\lt 99.75 \\ \Rightarrow N=91,92,\dots,99 \Rightarrow 共9個，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$
解答:$$100e^{3n/100} =135 \Rightarrow e^{3n/100}={135\over 100} \Rightarrow {3n\over 100}=\ln {135\over 100} \Rightarrow n={100\over 3}\ln {135\over 100}，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$
解答:$$\cases{A\vec u_1=\vec v_1\\ A\vec u_2=\vec v_2} \Rightarrow A [\vec u_1\; \vec u_2] =[\vec v_1\; \vec v_2] \Rightarrow A \begin{bmatrix}1& 1\\1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}1& 1\\1&-1 \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix}0& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix}1& 1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}1& 1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 1\\ -1&1 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
解答:$$甲船從西經169度向西行11度到東經180度,再向西9度到東徑171度,共走了11+9=20度\\ 北緯60度的半徑=R\cos 60^\circ={R\over 2} \Rightarrow 甲走了{R\over 2}\times 20=10R=乙走的距離\\ \Rightarrow 乙走了10度 \Rightarrow 從東經140度+10度=150度，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
解答:$$\begin{array}{|c|c|}\hline & 第1次& 第2次& 第3次& 第4次& 第5次& 第6次& 第7次\\\hline 預定& & {3\over 2}N & {9\over 4}N &{27\over 16}N &{81\over 32}N &{243\over 128} N & {729\over 256}N\\\hline 投注& N& {3\over 2}N &{9\over 8}N & {27\over 16}N & {81\over 64}N & {243\over 128}N &{729\over 512}N\\\hline \end{array} \\ 第5次預定={27\over 16} N\times {3\over 2} ={81\over 32} N\gt 2N \Rightarrow 第5次投注={81\over 32}N\times {1\over 2} ={81\over 64}N \\ \Rightarrow 第6次預定={81\over 64} N\times {3\over 2} ={243\over 128} N \not\gt 2N \Rightarrow 第6次投注= {243\over 128}N\\ \Rightarrow 第7次預定={243\over 128} N\times {3\over 2} = {729\over 256} N \gt 2N \Rightarrow 第7次投注= {729\over 256} N\times {1\over 2} ={729\over 512} N={3^6\over 2^9}N\\，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
解答:$$假設\cases{另一條直線L' \\P(5,5)}, 則L'需同時滿足\cases{L \parallel L'且 \\ d(L,L') =12\\ d(P,L') \gt 12} \Rightarrow L': 4x+3y+k=0 \\ \Rightarrow d(L,L')={|k+12|\over 5} =12 \Rightarrow \cases{k=48 \Rightarrow d(P,L')=83/5 \gt 12\\ k=-72 \Rightarrow d(P,L')=37/5 \lt 12} \Rightarrow k=48 \\ \Rightarrow L':4x+3y+48=0，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$
解答:$$假設事件E:至少有兩個福袋中獎的事件 \Rightarrow \cases{p=P(E\mid A) ={P(E\cap A) \over P(A)} \\q =P(A\mid E) ={P(A\cap E)\over P(E)}} \Rightarrow {p\over q} = {P(E)\over P(A)} \\ E:\cases{A, B中, C沒中\Rightarrow 機率={3\over 4} \times {2\over 3}\times {1\over 2} ={6\over 24} \\ A,C中,B沒中\Rightarrow 機率={3\over 4} \times {1\over 3}\times {1\over 2} ={3\over 24} \\ B,C中, A沒中 \Rightarrow 機率={1\over 4} \times {2\over 3} \times {1\over 2}={2\over 24} \\ A,B,C全中\Rightarrow 機率={3\over 4}\times {2\over 3}\times {1\over 2} ={6\over 24}} \Rightarrow P(E)={6+3+2+6\over 24} ={17\over 24} \\ \Rightarrow {p\over q} ={17/24\over 3/4} ={17\over 18}，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
二 、 多 選 題 （ 占 25 分 ）
解答:$$y= f(x)=3\sin \left( {\pi\over 5}x+\pi \right)+3 \Rightarrow \cases{最大值:6\\ 最小值:0} \\(1) \times: y=6\sin \left( {\pi\over 5}x \right)+3 最大值為9\\ (2) \times: y=g(x)=3\sin \left( ({\pi\over 5}+2\pi)x+\pi \right) +3\Rightarrow g(5/2)= 3\sin({\pi\over 2}+6\pi)+3=6, \\\qquad 但f(5/2)= 3\sin({3\pi\over 2})+3=0 \\(3) \bigcirc: \sin \left( {\pi\over 5}x-\pi \right) =\sin \left( {\pi\over 5}x-\pi+2\pi \right) =\sin \left( {\pi\over 5}x+\pi \right) \\(4)\times :-3\sin({\pi\over 5}x)-3 最小值為-6\ne 0\\ (5)\bigcirc: \sin \left( {\pi \over 5}x+\pi \right) =-\sin\left( {\pi \over 5}x \right)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(35)}$$
解答:$$(1)\times : f(x)=(1-x)(2-x)(4+x)\times (2-x)+0 \Rightarrow 餘式為0 \\(2) \bigcirc: (1-x)(2-x)^2(4+x) =(x-2)^2(-x^2-3x+4) =-(x-2)^2 [(x-2)^2+7(x-2)+6] \\\quad =-(x-2)^4-7(x-2)^3-6(x-2)^2 \Rightarrow c=-6 \\(3) \times: f(x) \gt 0 \Rightarrow (1-x)(4+x)\gt 0 \Rightarrow (x-1)(x+4)\lt 0 \Rightarrow -4\lt x\lt 1 \\(4) \bigcirc: {f(2026) \over f(-2022)} ={-2025\cdot 2024^2\cdot 2030\over 2023 \cdot 2024^2 \cdot (-2018)} ={2025\over 2018} \gt 1 \\ (5)\times : \cases{f(2026)\lt 0, f(-2022) \lt 0 \\ f(2026)/f(-2022) \gt 1} \Rightarrow f(2026)\lt f(-2022)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(24)}$$
解答:$$(1)\bigcirc: B={1\over 2}A \Rightarrow \sigma(B)=\sigma({1\over 2}A) ={1\over 2}\sigma(A)={1\over 2} \cdot \sqrt{225}={15\over 2} \\(2) \times:身長的中位數無法推估濃度的中位數 \\(3) \times: B={1\over 2}A \Rightarrow 相關係數=1 \ne 0.5\\ (4) \bigcirc: 迴歸直線通過平均值, 即(65,50) \\(5)\times: 迴歸直線斜率 m= r\cdot {\sigma_y\over \sigma_x} =0.75\cdot {\sqrt{225} \over \sqrt{100}}={9\over 8} \\\qquad \Rightarrow A濃度對身長的迴歸直線: y={9\over 8}(x-65)+50\\\qquad \Rightarrow B濃度對身長的迴歸直線: y= 0.5 \left( {9\over 8}(x-65)+50 \right) \Rightarrow 斜率為{9\over 16} \ne {1\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(14)}$$
解答:$$假設\cases{大燈罩與軸線夾角\theta_大\\ 小燈罩與軸線夾角\theta_小\\ 地面與軸線夾角\theta } \Rightarrow \begin{cases} 0\lt \theta\lt \theta_小 \Rightarrow \Gamma與\gamma 皆為雙曲線\\ \theta= \theta_小\lt \theta_大 \Rightarrow \cases{\Gamma為雙曲線\\ \gamma為拋物線}\\ \theta_小\lt \theta\lt \theta_大 \Rightarrow \cases{\Gamma為雙曲線\\ \gamma為橢圓} \\ \theta_小\lt \theta=\theta_大 \Rightarrow \cases{\Gamma 為拋物線\\ \gamma為橢圓} \\ \theta_小\lt \theta_大\lt \theta \Rightarrow \Gamma與\gamma 皆為橢圓\end{cases} \\ (1)\times: \Gamma是橢圓\Rightarrow \gamma 是橢圓\\ (2)\bigcirc:\Gamma是拋物\Rightarrow \gamma 是橢圓\\ (3)\times: \Gamma為雙曲線 \Rightarrow \gamma可能是雙曲線, 拋物線或橢圓\\ (4)\times: \gamma為拋物線\Rightarrow \Gamma 為雙曲線\\ (5)\bigcirc: \gamma為雙曲線\Rightarrow \Gamma為雙曲線\\，故選\bbox[red, 2pt]{(25)}$$
解答:$$已知\cases{a_0=100\\ b_0=0\\ a_n+b_n=100}, 設第 n-1 次稀釋後，A 瓶糖量為a_{n-1}，B瓶糖量為b_{n-1} \\ 步驟一\;A倒500 \text{ ml}給B:A瓶倒出{1\over 2}a_{n-1}的糖給B瓶,此時B瓶糖量為b_{n-1}+{1\over 2}a_{n-1} \\ 步驟二 \; B倒回500\text{ ml}給A: 倒給A的糖量為{1\over 2} \left( b_{n-1}+{1\over 2}a_{n-1} \right) \\\qquad \Rightarrow a_n={1\over 2}a_{n-1}+ {1\over 2} \left( b_{n-1}+{1\over 2}a_{n-1} \right) ={3\over 4}a_{n-1}+{1\over 2}b_{n-1} ={3\over 4}a_{n-1}+{1\over 2} \left( 100-a_{n-1} \right) \\ \qquad \Rightarrow a_n={1\over 4}a_{n-1}+50 \cdots(1)\\(1)\bigcirc: a_1={1\over 4}a_0+50 =25+50=75 \\(2) \times: a_n+b_n=100 \Rightarrow a_n+ \left( 50-{1\over 2}a_n \right)={1\over 2}a_n+50=100 \Rightarrow a_n=100 不合(除非n=0) \\(3)\bigcirc: a_{n+1}={1\over 2}a_n+ {1\over 2} \left( 100-{1\over 2}a_n \right) ={1\over 4}a_n+50 與式(1)吻合 \\(4) \bigcirc: a_n={1\over 4}a_{n-1}+50 \Rightarrow a_n-{200\over 3} ={1\over 4} \left( a_{n-1}-{200\over 3} \right) \Rightarrow c={200\over 3} \\(5)\times: a_n-{200\over 3} ={1\over 4} \left( a_{n-1}-{200\over 3} \right)= \left( a_0-{200\over 3} \right)\cdot \left( {1\over 4} \right)^n \Rightarrow a_n={200\over 3} +{100\over 3}\left( {1\over 4} \right)^n \\ \qquad \Rightarrow a_{100} \gt {200\over 3} \gt 60\\，故選\bbox[red, 2pt]{(134)}$$
三 、 選 填 題 （ 占 25 分 ）
解答:$$\tan 75^\circ =\tan(45^\circ+30^\circ) ={\tan 45^\circ+ \tan 30^\circ\over 1-\tan 45^\circ \tan30^\circ} ={1+1/\sqrt 3\over 1-1/\sqrt 3} =2+\sqrt 3 \\ \cases{L_1: y=\tan 75^\circ x \Rightarrow x=y/(2+\sqrt 3)\\ L_2: y=\tan 30^\circ(x+20) \Rightarrow x=\sqrt 3y-20} \Rightarrow {y\over 2+\sqrt 3} =\sqrt 3y-20 \\ \Rightarrow y=(2\sqrt 3+3)y-40-20\sqrt 3 \Rightarrow y={40+20\sqrt 3\over 2\sqrt 3+2} =5+5\sqrt 3 \approx 5+5\times 1.732 \approx \bbox[red, 2pt]{14}$$
解答:$$\cases{3,4一組,可以(3,4)或(4,3),有2種情形\\ 5,6相鄰且6,7相鄰:(5,6,7)或(7,6,5),也有2種情形 \\ 其他1,2各為1組} \Rightarrow 共四組,組排列數4! \\ \Rightarrow 全部有4!\times 2\times 2= \bbox[red, 2pt]{96}個七位數$$
解答:$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & 有近視& 無近視& 總和\\\hline 有蛀牙&A &B &1/3\\\hline 無蛀牙& C& p&2/3\\\hline 總和& 1/2 & 1/2& 1 \\\hline\end{array} \Rightarrow \cases{B=1/2-p\\ C=2/3-p} \Rightarrow \cases{A+B=1/3\\ A+C=1/2} \\ \Rightarrow A={1\over 3}-B= {1\over 3} - \left( {1\over 2}-p \right)=p-{1\over 6} \\ 已知\cases{有近視的學生中，有蛀牙的占少數 \Rightarrow C\gt A\\ 有蛀牙的學生中，有近視的占多數\Rightarrow A\gt B} \Rightarrow C\gt A\gt B \Rightarrow {2\over 3}-p\gt p-{1\over 6}\gt {1\over 2}-p \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{{1\over 3}\lt p \lt {5\over 12}}$$
解答:$$L通過(1,0)及 (5,4) \Rightarrow L: x-y=1 \Rightarrow f(x)=x-1\\ y=g(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow \cases{\Gamma 通過(1,0) \Rightarrow a+b+c=0\\ \Gamma通過(5,4) \Rightarrow 25a+5b+c=4\\ \Gamma通過(2,2) \Rightarrow 4a+2b+c=2} \Rightarrow \cases{a=-1/3\\ b=3\\ c=-8/3} \\ \Rightarrow g(x)=-{1\over 3}x^2+3x-{8\over 3} \Rightarrow g(x)-f(x)=-{1\over 3}x^2+2x-{5\over 3} =-{1\over 3}(x-3)^2+{4\over 3} \\ \Rightarrow 最大值=\bbox[red, 2pt]{4\over 3}$$
={13\over 15} \\ \Rightarrow (3,4,3)的y坐標=2+3\times {13\over 15} = \bbox[red, 2pt]{23\over 5}$$
第 貳 部 分 、 混 合 題 或非選 擇 題 （ 占 15 分 ）
解答:$$\cases{O(0,0)\\ A(8,0)} \Rightarrow B={1\over 2}(O+A) =(4,0) \Rightarrow 過B的垂線: x=4，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$
解答:
$$L: y=x-8 \Rightarrow 圓心P在弦\overline{OA}的中垂線L':x=4上 \Rightarrow P(4,a) \Rightarrow \overline{OP}= \overline{PA}=圓半徑\\ 又\angle OPA=90^\circ \Rightarrow \overline{OA}^2 =\overline{OP}^2+\overline{PA^2} =2\overline{OP}^2 \Rightarrow 8^2=2(16+a^2) \Rightarrow a^2=16\\ \Rightarrow a=-4 (P在弦\overline{OA}之下\Rightarrow a\lt 0) \Rightarrow P(4,-4) \Rightarrow -4=4-8 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{P在L上} \\ \Rightarrow 圓方程式: (x-4)^2+(y+4)^2=\overline{OP}^2=32 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{(x-4)^2+(y+4)^2=32}$$
解答:
$$R=Q以P為圓心,逆時針旋轉90度 \Rightarrow P= \begin{bmatrix}\cos 90^\circ&-\sin 90^\circ \\ \sin90^\circ& \cos 90^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}Q-P \end{bmatrix} +P \\= \begin{bmatrix}0& -1\\ 1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2\\ 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4\\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8\\ -6 \end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{R=(-8,-6)} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\overrightarrow{PR} =(-12,-2)}$$
====================== END ==========================解題僅供參考，其他升大學試題及詳解
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