115年公務人員初等考試試題
等 別： 初等考試
類 科： 統計
科 目： 統計學大意
解答:$$A, B獨立\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)\times P(B)= 0.4\times 0.5=0.2 \\ P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B) =0.4+0.5-0.2=0.7，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$${女性滿意機率\over 女性機率} ={0.07\over 0.07+0.28+0.1} ={0.07\over 0.45}={7\over 45} \approx 0.156，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$柴比雪夫不等式: P(\mu-k\sigma\lt X\lt \mu+k\sigma) \ge 1-{1\over k^2} \\P(4.5\lt X\lt 9.3) =P(6.9-2\cdot 1.2\lt X\lt 6.9+2\cdot 1.2) \ge1-{1\over 2^2} =0.75，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$${A中獎張數\over A中獎張數+B中獎張數} ={450\times 6\% \over 450\times 6\%+550\times 4\%} ={27\over 27+22} \approx 0.551，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$X: 樣本平均數:\bar x={320\over 10}=32 \Rightarrow x_i-\bar x=-4,-3,0,5,1, -7,-3,0, 9,2\\\Rightarrow 樣本平均數s= \sqrt{\sum (x-\bar x)^2\over n-1} =\sqrt{16+9+0+25+1+49+9+0+81+4\over 10-1} =\sqrt{194\over 9} \\ \approx 4.643，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{\bar x=\bar y=32\\ s_x\gt s_y} \Rightarrow 平均花費時間相同, 但Y(汽機車)標準差比較小,表示汽機車花費時間\\ 穩定度較高，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$酒齡越高價格也越高，兩者為正向關係；因此相關係數為正值且小於1大於0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$單峰左偏\Rightarrow 平均數\lt 中位數\lt 眾數 , 因此甲平均數與乙的中位數是錯的\\ 也就是眾數=0, 中位數=-2.4(甲正確), 平均數=-2.6(乙正確)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\bar x={4+6+10+3+15+9\over 6} ={47\over 6} \approx 7.83 \Rightarrow s= \sqrt{(x_i-\bar x)^2\over n-1} \approx 4.446 \\ \Rightarrow 變異係數CV={4.446\over 7.83} \approx 0.5678，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$4個燈泡都沒有瑕疵的機率=\left( 1-{3\over 50} \right)^4 \approx 0.78 \Rightarrow 至少1個有瑕疵的機率=1-0.78=0.22\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$只取一次，只能計算期望值，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$X\sim \text{Exp}(\beta=4) \Rightarrow 累積分布函數F(x)= 1-e^{-x/\beta} \\ \Rightarrow 2分鐘沒有顧客的機率=1-F(2)=e^{-2/4} ={1\over \sqrt e} \approx 0.6065，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\sum P(X=x)=1 \Rightarrow a+2a+3a=7a=1\Rightarrow a={1\over 7} \Rightarrow P(X=x)={x\over 7}\\ \Rightarrow E(X)=1\cdot {1\over 7}+2\cdot {2\over 7}+3\cdot {3\over 7} =2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$P(X\lt 2)=0.006 \Rightarrow 查試題附表P(X\lt 2.51)=1-0.006=0.994 \\ \Rightarrow z=2.51={2-4\over \sigma} \Rightarrow \sigma^2=0.6349，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$沒有分層, 而且是所有旅客，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{p_1=60/80\\ p_2=30/80} \Rightarrow p_1-p_2={3\over 4}-{3\over 8} ={3\over 8}=0.375，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$p={80\over 100} =0.8 \Rightarrow 信賴區間:p\pm z_{\alpha/2} \sqrt{p(1-p)\over n} =0.8\pm 1.96\cdot \sqrt{0.8\cdot0.2\over 100} =0.8\pm 0.0784 \\ \Rightarrow [0.7216,0.8784 ] \approx 0.72至0.88，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$樣本平均數的抽樣: \cases{期望值等於母群體平均數 \mu\\ 標準誤=\sigma/\sqrt n} \Rightarrow 期望值相同, 標準誤不同，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$身長平均值\bar x={157+146+143+131+ 141+125\over 6} =140.5 \\ \Rightarrow 樣本變異數s^2= {1\over n-1}\sum (x_i-\bar x)^2 \Rightarrow (n-1)s^2 =\sum (x_i-\bar x)^2 =639.5\\ 無母數、小樣本信賴區間:{(n-1)s^2\over \chi_{n-1,\alpha/2}}\le \sigma^2 \le {(n-1)s^2\over \chi_{n-1,1-\alpha/2}} \Rightarrow {639.5\over 12.8325} \le \sigma^2\le {639.5\over 0.8312} \\ 查試題附表\Rightarrow 7.0593\le \sigma \le 23.7375，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$抽中紅球的期望次數=10\times {4\over 6+4}=4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$z={\bar x-\mu \over \sigma/\sqrt n} ={32-30\over 4/\sqrt{10}} =1.58 \Rightarrow 查試題附表 1-p(Z\lt 1.58)=1-0.9429=0.0571，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$計算結果是81,不是161!!$$
解答:$$ANOVA用來判斷兩母體平均數是否有差異，母體並非需要有相同平均數，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$27不在信賴區間內，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{\bar x_A =(20+26+24+22)/4=23\\ \bar x_B=( 28+25+30+26)/4= 109/4 \\ \bar x_C =(20+18+24+21)/4= 83/4} \Rightarrow \bar x={1\over 3}(\bar x_A+ \bar x_B+ \bar x_C) = 71/3 \\ \Rightarrow SS_B=4 \left( (\bar x_A-\bar x)^2 + (\bar x_B-\bar x)^2 +(\bar x_C-\bar x)^2 \right) ={523\over 6} \\\Rightarrow MSTR=SSB/(3-1) ={523\over 12} \approx 43.583，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$n\ge z_{\alpha/2}^2\cdot {p(1-p) \over e^2} =1.645^2\cdot {0.1\cdot 0.9\over (0.1/2)^2} =97.4169，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{a=250\times 20=5000\\ b=2000/4=500 \\e=6000/1200=5}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$可以直接觀察，不用計算，整體而言y值不到x值的兩倍，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$Y的單位是千元，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$${SSR\over SSE+SSR} ={600\over 200+600} =0.75=75\%，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$表格內數字:\cases{截距:12.88\\ x=-0.38} \Rightarrow y=-0.38x+12.88，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$「p–值趨於 0，否決 H_0：截距係數 = 0」與「估計模式在資料 X 範圍內，預測效果好」\\沒有相關性，單獨每句話都是正確的，但沒有相關，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\bar x=(2.6+3.4+3.6+ 3.2+3.5+2.9)/6=3.2 \Rightarrow SS= \sum(x_i-\bar x)^2=0.74 \\ \Rightarrow S_{\beta_1} =\sqrt{MSE\over SS} =\sqrt{3.17\over 0.74} \approx 2.07 \Rightarrow t={\beta_1\over S_{\beta_1}} ={10.95\over 2.07} \approx 5.29，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$檢定性別在投票上有無差異，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$整體而言\cases{支持率=330/500= 0.66\\ 未定率=100/500=0.2\\ 反對率=70/500=0.14} \Rightarrow \cases{{\textstyle\unicode{x2460}}=女支持=300\times 0.66=198\\ {\textstyle\unicode{x2461}}=女未定 =300\times 0.2=60\\ {\textstyle\unicode{x2462}} =女反對=300\times 0.14=42}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$由小到大排序:65,68,77,79,81,85,90,100 \Rightarrow 中位數={79+81\over 2}=80，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$查試題附表: \cases{\alpha=0.05\\ 自由度v=(2-1)(4-1)=3} \Rightarrow \chi^2=7.8147，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$新生期望值=300\times 30\%=90，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解題僅供參考，其他高普考試題及詳解
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