新北市立國民中學 111 學年度教師聯合甄選特殊教育資優(數學)科
解答:$${\sin 40^\circ\over 4} ={2\sin 20^\circ \cos 20^\circ\over 4} ={\sin 20^\circ\over 2} \cdot \cos 20^\circ \lt {{\sin 20^\circ\over 2}} \Rightarrow {\sin 40^\circ\over 4} \lt {\sin 20^\circ\over 2},即(A)\gt (B)\\ 同理, {\sin 80^\circ \over 8} ={\sin 40^\circ\over 4} \cdot \cos 40^\circ \lt {\sin 40^\circ \over 4} \Rightarrow {\sin 80^\circ\over 8} \lt {\sin 40^\circ \over 4},即(B)\gt (D)\\ {\sin 60^\circ \over 6} ={\sqrt 3\over 12} ={2\sqrt 3/3\over 8} \gt {1\over 8} \gt {\sin 80^\circ \over 8} \Rightarrow {\sin 60^\circ \over 6} \gt {\sin 80^\circ\over 8},即(C)\gt (D) \\ 因此(D)最小，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$點數和為奇數的情形:\cases{3: (1,2),(2,1) \Rightarrow 2種\\ 5: (1,4),(2,3), (3,2), (4,1) \Rightarrow 4種\\ 7: (1,6),(2,5), (3,4),(4,3), (5,2),(6,1) \Rightarrow 6種\\ 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) \Rightarrow 4種\\ 11: (5,6),(6,5) \Rightarrow 2種} \Rightarrow 合計18種 \\ \Rightarrow {點數和為7\over 點數和為奇數} ={6\over 18} ={1\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$|u+v+w|^2 =(u+v+w) \cdot (u+v+w) =|u|^2+0+u\cdot w+0+|v|^2+0+ w\cdot u+0+|w|^2\\ =1+4+9+ 2u\cdot w =14+2|u||w|\cos \theta 最大值為14+2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 0=26 \\ \Rightarrow |u+v+w| 最大值= \sqrt{26}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$ \begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$在\Gamma_1, a\gt c, 但在\Gamma_2, c\gt a，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$f(x)為三次多項式 \Rightarrow g(x)=f(x+1)-f(x)為二次多項式 \Rightarrow g(x)=ax^2+ bx+c \\ \Rightarrow \cases{g(0)=f(1)-f(0) \Rightarrow c=3\\ g(1)=f(2)-f(1) \Rightarrow a+b+c=4\\ g(2)=f(3)-f(2) \Rightarrow 4a+2b+c=7} \Rightarrow \cases{a=1\\ b=0\\c=3} \Rightarrow g(x)=x^2+3 \\ \Rightarrow f(4)-f(3)=g(3) =9+3=12，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{a=5\\ b=6\\ c=9} \Rightarrow s={1\over 2}(a+b+c)=10 \Rightarrow \cases{內切圓半徑r=\displaystyle {\triangle \over s} \\ 外接圓半徑R= \displaystyle {abc\over 4\triangle }} \Rightarrow rR={abc\over 4 s} ={5\cdot 6\cdot 9\over 4\cdot 10} ={27\over 4}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)},但公布的答案是\bbox[cyan,2pt]{(A)}$$
解答:$$利用\text{Carmichael }函數\lambda(111) =\lambda(3\times 37) =\text{lcm}(2,36) =36，故\bbox[red, 2pt]{無解}, 但公布的答案是\bbox[cyan, 2pt]{(A)}$$
解答:$$判別式: 4^2-4\cdot 3\cdot 1=4 \gt 0 \Rightarrow 雙曲線，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{ \int_1^2 f(x)\,dx =-1 \\[1ex] \int_2^3 f(x)\,dx =1} \Rightarrow \int_1^3 f(x)\,dx = 0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$三次函數的對稱中心就是反曲點，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$f(x)=x^3-3x+1 \Rightarrow f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1 \Rightarrow \cases{f(1)=-1\\ f(-1)=1} \Rightarrow f(1)\cdot f(-1)\lt 0 \\ \Rightarrow f(x)=0有三實根，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$在黑點處的斜率為無窮大(切線為垂直線)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{7a+5b=110 \cdots(1)\\ 6a+9b=1800 \Rightarrow 2a+3b=600 \cdots(2)} \Rightarrow (1)+(2) \Rightarrow 9a+8b=710，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設\cases{卡牌2有a張\\ 卡牌4有b張\\ 卡牌7有c張} \Rightarrow \cases{a+b+c=10 \cdots(1)\\ 2a+4b+7c=40 \cdots(2)} \xrightarrow{(1)\times 7-(2)}5a+3b=30 \\ \Rightarrow \cases{a=1 \Rightarrow b\not \in \mathbb N\\ a=2 \Rightarrow b\not \in \mathbb N \\ a=3 \Rightarrow b=5\\ a=4 \Rightarrow b\not \in \mathbb N\\ a=5 \Rightarrow b\not \in \mathbb N\\ a\ge 6 \Rightarrow b\not \in \mathbb N} \Rightarrow 數字4有5張，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$假設\cases{梯形的高h= d(\overline{AB}, \overline{CD}) \\ \overline{AB}=a \Rightarrow \overline{CD}=a+10\\ \overline{AD}=5k\\ \overline{BC}=6k} \Rightarrow \cases{\triangle ABD= ah/2\\ \triangle BCD=(a+10)h/2} \Rightarrow {1\over 2}ah+48={1\over 2}(a+10)h \\ \Rightarrow h={9.6} \Rightarrow \overline{CD}-\overline{AB} =10= \sqrt{\overline{AD}^2-h^2} +\sqrt{\overline{BC}^2-h^2} =\sqrt{25k^2-h^2} +\sqrt{36k^2-h^2} \\ \Rightarrow 121k^4-12200k^2+46864=0 \Rightarrow k=2 \Rightarrow \overline{AD}=10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$f(1)-2f(4)+f(7) =a+b+c-2(16a+4b+c)+49a+7b+c=-54 \\ \Rightarrow 18a=-54 \Rightarrow a=-3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$y=x^2-3x+a =0 \Rightarrow x={3\pm \sqrt{9-4a} \over 2} \Rightarrow \overline{AB} =\sqrt{9-4a} \Rightarrow C=(0,a) \\ \Rightarrow \triangle ABC ={1\over 2}\cdot \sqrt{9-4a}\cdot a=1 \Rightarrow (9-4a)a^2=4 \Rightarrow 4a^3-9a^2+4=0 \\\Rightarrow (a-2)(4a^2-a-2) =0 \Rightarrow a=2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$甲半周長s=(6+6+9)/2=21/2 \Rightarrow 甲面積=\sqrt{s(S-6)(s-6)(s-9)} ={27\sqrt 7\over 4} \approx 17.8\\ 乙半周長s=(6+6+10)/2=11 \Rightarrow 乙面積=\sqrt{s(s-6)(s-6)(s-10)} =5\sqrt{11} \approx 16.6\\ 丙半周長s=(5+6+10)/2 =21/2 \Rightarrow 丙面積= \sqrt{s(s-5)(s-6)(s-10)} ={3\sqrt{231} \over 4} \approx 11.4 \\ \Rightarrow 甲面積 \gt 乙面積 \gt 丙面積 ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$假設\cases{\overline{BC}=a\\ \overline{AC}=b\\ \overline{AB}=c} \Rightarrow 2a=3b=4c \Rightarrow a:b:c={1\over 2}:{1\over 3}:{1\over 4} =6:4:3 \\ \Rightarrow \cos A={b^2+c^2-a^2 \over 2bc} = {16k^2+9k^2-36k^2 \over 24k^2} \lt 0 \Rightarrow \angle A是鈍角，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$內角總和=(8-2)\times 180^\circ =1080^\circ, 扣去其中一角為75^\circ , 七個內角和=1080^\circ- 75^\circ =1005^\circ\\ 假設有k個直角, 7-k個內角都不是直角, 則7-k個內角和=1005^\circ-90^\circ k \\ 由於每個內角小於180^\circ \Rightarrow 1005^\circ-90^\circ k\lt (7-k)180^\circ \Rightarrow k\lt {17\over 6}=2.88 \\ \Rightarrow k=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)},但公布的答案是\bbox[cyan,2pt]{(B)}, 下圖就是2個直角的八凸邊形$$
解答:
$$陰影面積=S(棕色三角形)+T(藍色弓形) ={1\over 2}\cdot 6\cdot 3+ \left( {1\over 4}\cdot 9\pi-{1\over 2}\cdot3\cdot 3 \right) \\=9+{9\pi\over 4}-{9\over 2} ={9\over 2}+{9\pi\over 4} \approx 4.5+7=11.5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$依題意: a_n=4a_{n+1}+1, a_4\ge 5 \Rightarrow a_3 \ge 4\cdot 5+1=21 \Rightarrow a_2 \ge 4\cdot 21+1=85\\ \Rightarrow a_1 \ge 4\cdot 85+1=341，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$假設圓錐體底面圓半徑R, 高為2h, 則完整的體積V={1\over 3}R^2\pi (2h) \\\Rightarrow 高度剩一半時體,下半部體積V_2={1\over 3}(R/2)^2 \pi h \Rightarrow 上半部體積V_1=V-V_2={7\over 12}R^2\pi h \\ \Rightarrow {V_2\over V_2}={112\over x} \Rightarrow {7\over 1}={112\over x} \Rightarrow x=16，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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