115年竹東高中教甄4-數學詳解

 國立竹東高級中學 115 學年度第四次（正式）教師甄選

一、填充題：每題 7 分，共 70 分

解答:$$ x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0  \Rightarrow 係數對稱 \Rightarrow x^2-2x-1-{2\over x}+{1\over x^2}=0 \\ \Rightarrow  \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0  \xrightarrow{取y=x+1/x} (y^2-2)-2y-1=0 \\ \Rightarrow y^2-2y-3=0 \Rightarrow (y-3)(y+1)=0 \Rightarrow y=3,-1\\ y=3 \Rightarrow x+{1\over x}=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0 \Rightarrow \Delta=9-4=5\gt 0 \Rightarrow 有兩相異實根 \Rightarrow 兩實根和=3 \\ y=-1  \Rightarrow x+{1\over x}=-1 \Rightarrow x^2+x+1=0 \Rightarrow \Delta=1-4\lt 0 \Rightarrow無實根 \\ \Rightarrow 所有實根和為\bbox[red, 2pt]3$$

解答:$$假設L_1 與 L_2 的交點為原點 O(0,0), 已知 L, L_1, L_2 的斜率分別為{1\over 4}, \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}，\\ 因此\cases{L: y=x/4+k\\ L_1: y= 3x/4 \\ L_2:y=-3x/4} \Rightarrow \cases{A= L\cap L_1 =(2k,3k/2) \\B=L\cap L_2= (-k,3k/4)} \Rightarrow \overline{AB}^2= (3k)^2+ \left( {3k\over 4} \right)^2=102^2 \\ \Rightarrow k^2=10404 \times {16\over 153} =1088 \Rightarrow \triangle OAB面積= {1\over 2}\begin{Vmatrix}  0& 0& 1\\ 2k& 3k/2& 1\\ -k& 3k/4& 1\end{Vmatrix}= {3\over 2}k^2= {3\over 2}\times 1088 \\= \bbox[red, 2pt]{1632}$$

解答:$$\text{ $f(x)$ 的對稱中心為 $(1, 2)$} \Rightarrow f(x)=a(x-1)^3+p(x-1)+2 \\ \text{局部看 $y=f(x)$ 於 $x=2$ 附近近似於斜率為 -4 的直線} \Rightarrow f'(2)=-4 \\ f'(x)=3a(x-1)^2+p \Rightarrow f'(2)=3a+p=-4 \Rightarrow p=-4-3a \\ \Rightarrow f(x)=a(x-1)^3-(4+3a)(x-1)+2 =ax^3-3ax^2-4x+(2a+6) \Rightarrow \cases{b=-3a\\ c=-4\\ d=2a+6} \\ \Rightarrow  L=\left|{b^2+c^2+ d^2 \over a} \right| =  \left\vert{} \frac{(-3a)^2 + (-4)^2 + (2a+6)^2}{a} \right\vert{}  = \left\vert{} 13a + \frac{52}{a} + 24 \right\vert{} \\ 若a \gt 0 \Rightarrow 13a+{52\over a} \ge 2 \sqrt{13a\cdot {52\over a}}=52 \Rightarrow L\ge |52+24|= 76\\ 若a\lt 0 \Rightarrow  a=-k(k\gt 0) \Rightarrow L = \left|-13k-{52\over k}+24 \right| = \left|13k+{52\over k}-24 \right|\\ \qquad 13k+{52\over k}\ge 2 \sqrt{13k\cdot {52\over k}}=52 \Rightarrow L=|52-24|=28\\ 因此最小值是 \bbox[red, 2pt]{28}$$

解答:$$abcd=100= 2^2\times 5^2 \Rightarrow 在 4 次投擲中，至少必須出現 2 次 5\\ \text{Case I: }恰出現 2 次 5 \\ \qquad 2個5在4個數字的選擇，有C^4_2=6種排法; 剩下2個數字從1,2,3,4,6中選挑選,且乘積是4的倍數\\ 任意組合數:5\times 5=15種, 不是4的倍數:\cases{皆為奇數:2\times 2=4種\\1個奇數,另一個不是4的偶數: (2\times 2)\times 2=8}\\ \qquad 乘積為 4 的倍數共有:25 - (4 + 8) = 13 種\Rightarrow 此情況總計:6\times 13=78種 \\ \text{Case II: }恰出現 3 次 5 \Rightarrow 只有5554的排列數=4\\ \text{Case III: }恰出現4次5 \Rightarrow 只有5555,但不是100的倍數\\ 因此共有 78+4= 82種\Rightarrow 機率={82\over 6^4}=\bbox[red, 2pt]{41\over 648}$$

解答:$$\cases{A(0,0,1) \\B(2,4,0) \\C(0,0,0) \\D(4,2,0)} \Rightarrow M={1\over 2}(B+D) =(3,3,0)\\ 假設P=平面E\cap  \overline{BC} \Rightarrow \cases{V=四面體A-BCD體積\\ V'=四面體A-BMP體積} \Rightarrow {V'\over V}= {\triangle BMP\over \triangle BCD} ={\overline{BM} \times \overline{BP} \over \overline{BD} \times \overline{BC}} \\={1\over 2} \times {\overline{BP} \over \overline{BC}} ={1\over 3} 或{2\over 3}\\ 若{V'\over V}={2\over 3} \Rightarrow {\overline{BP} \over \overline{BC}}={4\over 3} \Rightarrow P超出\overline{BC}線段, 不合\Rightarrow {V'\over V}={1\over 3} \Rightarrow {\overline{BP} \over \overline{BC}}={2\over 3} \Rightarrow {\overline{BP} \over \overline{PC}}={2\over 1} \\ \Rightarrow P={B+2C\over 3}= \left( {2\over 3},{4\over 3}, 0 \right) \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AM} =(3,3,-1) \\ \overrightarrow{AP} =  \left( {2\over 3},{4\over 3},-1 \right)} \Rightarrow E的法向量 \vec n=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AP} = \left( -{5\over 3},{7\over 3},2 \right) \\ \Rightarrow E: -{5\over 3}(x-0)+{7\over 3}(y-0)+2(z-1)=0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{5x-7y-6z+6=0}$$

解答:$$ \alpha^2 + 4\beta^2 + 5\gamma^2 = 2\gamma(\alpha + 4\beta) \Rightarrow  \alpha^2 - 2\alpha\gamma + 4\beta^2 - 8\beta\gamma + 5\gamma^2 = 0  \\ \Rightarrow  (\alpha^2 - 2\alpha\gamma + \gamma^2) + (4\beta^2 - 8\beta\gamma + 4\gamma^2) = 0 \Rightarrow  (\alpha - \gamma)^2 + 4(\beta - \gamma)^2 = 0 \\ \Rightarrow (\alpha-\gamma)^2=-4(\beta-\gamma)^2 \Rightarrow \alpha-\gamma=\pm 2i(\beta-\gamma) \Rightarrow |\alpha-\gamma|= 2|\beta-\gamma| \Rightarrow \overline{AC}=2 \overline{BC}\\ \Rightarrow 4=2\overline{BC} \Rightarrow \overline{BC}=2 \\又\pm i代表旋轉90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{CA} \bot \overrightarrow{CB} \Rightarrow \angle C=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AC}^2+ \overline{BC}^2 =4^2+2^2=20 \Rightarrow \overline{AB}= \bbox[red, 2pt]{2\sqrt{5}}$$

解答:$$8 個方格，4 種顏色各塗 2 格,共有{8!\over 2!2!2!2!} =2520種塗法\\ 將相鄰的兩方格視為一條邊，共有6條水平邊及4條垂直邊，共10條邊\\ 不符題意要求的情形，即存在不相交的邊,假設k條不相交的組合數為m_k\\ m_1:共有10種選法\\ m_2: C^{10}_2-(4+12) =29 \\ m_3:包含 0 條鉛直邊有 6 種、1 條有 10 種、2 條有 6 種、3 條有 4 種，合計26種\\ m_4: 共5種\\ 定義 S_k 為「至少有 k 種顏色發生同色相鄰」的排列數 \Rightarrow  S_k = m_k \times P^4_k \times (\text{剩餘方格的排列數}) \\ S_1=10\times 4\times {6!\over 2!2!2!} =360\\ S_2=29\times(4\times3) \times {4!\over 2!2!}=2088 \\ S_3=26\times(4\times 3\times 2)\times {2!\over 2!}=624 \\S_4=5\times(4\times 3\times 2\times 1)\times 1=120\\ \Rightarrow 塗法總數=2520-3600+2088-624+120=\bbox[red, 2pt]{504}$$

解答:

$$L:{x-1\over 2} =y= {z-3\over -2} \Rightarrow 方向向量\vec v=(2,1,-2) \\ 假設\cases{A(7,6,3)在L的投影點A'(2t+1,t,-2t+3)\\ B(5,-1,2) 在L的投影點B'(2s+1,s,-2s+3)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{A'A}=(6-2t,6-t,2t) \\ \overrightarrow{B'B} =(4-2s,-1-s,-1+2s)} \\ \cases{\overrightarrow{A'A} \cdot \vec v=0 \Rightarrow t=2 \Rightarrow A'(5,2,-1) \\ \overrightarrow{B'B} \cdot \vec v =0 \Rightarrow s=1 \Rightarrow B'(3,1,1)} \Rightarrow \cases{d_A=\overline{AA'} =6\\ d_B= \overline{BB'}=3 \\ \overline{A'B'}= 3} \\ \Rightarrow \overline{PA}+\overline{PB}的最小值= \sqrt{\overline{A'B'}^2+ (d_A+ d_B)^2} = \bbox[red, 2pt]{3\sqrt{10}}$$

解答:

$${x^2\over 9}+{y^2\over 25}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=3}\Rightarrow c=4 \Rightarrow \cases{F_1(0,4) \\ F_2(0,-4)} \Rightarrow 兩條正焦弦所在的水平線: \cases{y = 4 \\ y = -4} \\ \Rightarrow 旋轉體積V=\int_{-4}^4 \pi x^2 \,dy =  \pi \int_{-4}^{4} \left( 9 - \frac{9}{25}y^2 \right) dy  = 2\pi \int_{0}^{4} \left( 9 - \frac{9}{25}y^2 \right) dy  =2\pi \left. \left[ 9y-{3\over 25}y^3 \right] \right|_0^4 \\=2\pi \cdot {708\over 25}=  \bbox[red, 2pt]{1416\pi\over 25}$$

解答:$$M= [A\mid B],其中 A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -32 & -2 \\ -13 & 0 \\ -7 & 9 \end{bmatrix} \\ M'= [A'\mid B'], 其中 A' = \begin{bmatrix} 6 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -3 \end{bmatrix}, \quad B' = \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix}  \\\text{因為 $M'$ 是由 $M$ 經過列運算得到，必定存在一個 $3 \times 3$ 的可逆矩陣 $P$，滿足：} P\cdot M= M'\\ 也就是PA=A'且PB=B'\\ PA=A' \Rightarrow P=A'A^{-1}  = \begin{bmatrix} 6 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -10 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -5 & 13 & -1 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 24 & -63 & 7 \\ -13 & 34 & -2 \\ 16 & -43 & 4 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow B'= PB = \begin{bmatrix} 24 & -63 & 7 \\ -13 & 34 & -2 \\ 16 & -43 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -32 & -2 \\ -13 & 0 \\ -7 & 9 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 2 & 15 \\ -12 & 8 \\ 19 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix} \\ \Rightarrow (a,b,c,d,e,f)= \bbox[red, 2pt]{(2,-12,19,15, 8, 4)}$$

二、計算證明題：每題 10 分，共 30 分

解答:$$\textbf{(1) }f(x)=2x^3-6x^2+a \Rightarrow f'(x)=6x^2-12x\\ 假設切點為(t,f(t)) =(t,2t^3-6t^2+a) \Rightarrow 切線斜率為f'(t) =6t^2-12t \\ \Rightarrow 切線方程式: y-(2t^3-6t^2+a)=(6t^2-12t)(x-t) \Rightarrow y = (6t^2 - 12t)x + (-4t^3 + 6t^2 + a) \\ \Rightarrow  -4t^3 + 6t^2 + a = 3 \Rightarrow  4t^3 - 6t^2 + 3 = a 有三相異實根\\ 令h(t) =4t^3-6t^2+3 \Rightarrow h'(t)=0 \Rightarrow 12t(t-1)=0 \Rightarrow \cases{t=0 \Rightarrow h(0)=3 \\ t=1 \Rightarrow h(1)=1} \\ 水平線 y = a 與 $y = h(t) 有三個交點，實數 a 必須介於極小值與極大值之間,即\bbox[red, 2pt]{1\lt a\lt 3} \\ \textbf{(2) }a為整數且符合1\lt a \lt 3 \Rightarrow a=2 \Rightarrow  4t^3 - 6t^2 + 3 = 2  \Rightarrow (2t-1)(2t^2-2t-1)=0 \\ \quad \Rightarrow 有理數t={1\over 2} \Rightarrow k=f'(1/2)=-{9\over 2} \Rightarrow \cases{切線: y=-9x/2+3\\ 曲線: y=2x^3-6x^2+2} \\ \quad \Rightarrow -{9\over 2}x+3=2x^3-6x^2+2 \Rightarrow 4x^3 -12x^2+9x-2=0 \Rightarrow (2x-1)^2(x-2)=0 \\ \quad \Rightarrow 交點在x=1/2,2 \Rightarrow 面積A=   \int_{1/2}^{2} \left[ \left(-\frac{9}{2}x + 3\right) - (2x^3 - 6x^2 + 2) \right] dx \\ \quad =  \int_{1/2}^2 \left( -2x^3 + 6x^2 - \frac{9}{2}x + 1 \right) dx =  \left. \left[ -\frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{9}{4}x^2 + x  \right] \right|_{1/2}^2 =1-{5\over 32}= \bbox[red, 2pt]{27\over 32}$$

解答:$$\cases{R=6\\ \theta=60^\circ} 代入公式:{2\over 3}R^3 \tan \theta ={2\over 3}\cdot 6^3\cdot \tan 60^\circ = \bbox[red, 2pt]{144\sqrt 3} \\ 註:\href{https://chu246.blogspot.com/2020/12/blog-post.html}{公式來源及證明}$$

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