115年調查三等-工程數學詳解

 1 1 5年公務人員法務部調查局調查人員考試試題

考 試 別：調查人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子科學組
科 目：工程數學

解答:$$y''+y'+0.25y=0 \Rightarrow r^2+r+0.25=0 \Rightarrow (r+0.5)^2=0 \Rightarrow r=-0.5 \\ \Rightarrow y=c_1e^{-0.5x} +c_2xe^{-0.5x} \Rightarrow y'=-0.5c_1e^{-0.5x}+ c_2e^{-0.5x} -0.5c_2xe^{-0.5x} \\ \Rightarrow \cases{y(0)= c_1=3\\ y'(0)= -0.5c_1+c_2=-3.5} \Rightarrow \cases{c_1=3\\ c_2=-2} \Rightarrow  \bbox[red, 2pt]{y= 3e^{-0.5x} -2xe^{-0.5x}}$$

解答:$$依題意可得: \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & b & 2 \\ a & -1 & 1 \\ -1 & 3 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & b & 2 \\ a & -1 & 1 \\ -1 & 3 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{ \begin{bmatrix}-1& b& 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\-2\\2 \end{bmatrix} =0\\ \begin{bmatrix}a&-1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\7\\-2 \end{bmatrix}=0 \\ \begin{bmatrix}-1&3& c \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\7 \\-2 \end{bmatrix} =10} \Rightarrow \cases{2-2b=0\\ 3a-9= 0\\ 18-2c=10} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a=3\\ b=1\\c=4}}$$

解答:$$依特徵值及特徵向量之定義可得:  \begin{bmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} = -i \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ -i \end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{\alpha=1\\ \beta=-1}}$$

解答:$$ \oint_C \left( \frac{z e^{\pi z}}{z^4 - 16} + z e^{\pi / z} \right) dz = \oint_C \frac{z e^{\pi z}}{z^4 - 16} dz + \oint_C z e^{\pi / z} dz =\oint_C f_1(z)\,dz+ \oint_C f_2(z)\,dz \\ 橢圓9x^2+y^2=9 \Rightarrow x^2+{y^2\over 9}=1 \cases{a=3\\ b=1} \\ z^4-16=0 \Rightarrow z= \pm 2, \pm 2i \Rightarrow \cases{z=\pm 2i 在橢圓內部\\ z=\pm 2在橢圓外部}\\ f_1(z) =\frac{z e^{\pi z}}{z^4 - 16} \Rightarrow  \text{Res}(f_1, 2i) =  \left. {ze^{\pi z} \over (z+2i)(z^2-4)}\right|_{z=2i} ={2i e^{2\pi i} \over 4i\cdot (-8)} =-{1\over 16} \\ \qquad \Rightarrow \text{Res}(f_1, -2i) =  \left. {ze^{\pi z} \over (z-2i)(z^2-4)}\right|_{z=-2i} ={-2ie^{-2\pi i} \over (-4i)\cdot(-8)} =-{1\over 16} \\ \Rightarrow \oint_C f_1(z)\,dz = 2\pi i \left( -{1\over 16}-{1\over 16} \right) =-{\pi i\over 4}\\  e^{\pi/z} = 1 + \frac{\pi}{z} + \frac{1}{2!}\left(\frac{\pi}{z}\right)^2 + \frac{1}{3!}\left(\frac{\pi}{z}\right)^3 + \dots \Rightarrow ze^{\pi/z}= z+\pi+{\pi^2\over 2z}+ \cdots \\ \Rightarrow  \text{Res}(f_2, 0) = \frac{\pi^2}{2} \Rightarrow \oint_C f_2(z) \,dz =2\pi i\times {\pi^2 \over 2} =\pi^3 i \\ \Rightarrow \oint_C f_1(z)\,dz+ \oint_C f_2(z)\,dz =-{\pi i\over 4}+ \pi^3 i = \bbox[red, 2pt]{ \left( \pi^3-{\pi\over 4} \right)i}$$

解答:$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & , a < x < b \\ 0 & , \text{其他 } \end{cases} \Rightarrow E[X^2]= \int_a^b x^2 \cdot {1\over b-a}\,dx ={1\over b-a} \left. \left[ {x^3\over 3} \right] \right|_a^b ={1\over b-a}\cdot {b^3-a^3\over 3} \\= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(b^2 + ab + a^2)}{3} = \bbox[red, 2pt]{a^2+ab+b^2\over 3}$$

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