115年大安高工教甄3-數學詳解

 臺北市立大安高級工業職業學校 115 學年度第 3 次教師甄選

一、 填充題(每題 5 分，答案一律化到最簡分數或最簡根數， 否則不予計分)

解答:$$\cases{\overline{AC}=3 \\ \overline{BC}=4 \\\overline{AB}=5} \Rightarrow \cases{\angle C=90^\circ \\ \triangle ABC面積=6} \Rightarrow \triangle ABC= \triangle PAB+\triangle PBC+ \triangle PCA \\ \Rightarrow  \frac{1}{2}(\overline{AC} \cdot x) + \frac{1}{2}(\overline{BC} \cdot y) + \frac{1}{2}(\overline{AB} \cdot z) = 6 \Rightarrow 3x + 4y + 5z = 12\\  (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3x} + \frac{1}{\sqrt{4}}\sqrt{4y} + \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5z} \right)^2 代入柯西不等式 \\ \Rightarrow  \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3x} + \frac{1}{\sqrt{4}}\sqrt{4y} + \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5z} \right)^2 \le \left( \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{4}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \right) \left( (\sqrt{3x})^2 + (\sqrt{4y})^2 + (\sqrt{5z})^2 \right) \\ \Rightarrow (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 \le \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) (3x + 4y + 5z)= {47\over 60}\times 12= {47\over 5} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le \sqrt{47\over 5} =\bbox[red, 2pt]{\sqrt{235} \over 5}$$

解答:$$\cases{a=\sqrt 5\\b=\sqrt{10} \\ c=\sqrt{13}} \Rightarrow \cos\theta={a^2+b^2-c^2 \over 2ab}= {2\over 2\cdot 5\sqrt 2} ={\sqrt 2\over 10} \Rightarrow \sin \theta={\sqrt{98} \over 10} ={7\sqrt 2\over 10} \\ \Rightarrow 面積={1\over 2}ab\sin \theta={1\over 2}\cdot \sqrt 5 \cdot \sqrt{10}\cdot {7\sqrt 2\over 10} =\bbox[red, 2pt]{7\over 2}$$

解答:$$t=\sin x+\cos x =\sqrt 2 \sin(x+45^\circ) \Rightarrow -\sqrt 2\le t\le \sqrt 2 \Rightarrow t^2=1+2\sin x \cos x\\ \Rightarrow f(x) ={\sin x\cdot \cos x\over 1+\sin x+\cos x} ={(t^2-1)/2\over 1+t} ={t^2-1\over 2(t+1)}={t-1\over 2}\Rightarrow 最大值為\bbox[red, 2pt]{\sqrt 2-1\over 2}$$

解答:$$\triangle ABC: \angle BAC=180^\circ-45^\circ-75^\circ =60^\circ \Rightarrow  \triangle ABD: \angle BAD=180^\circ-60^\circ-75^\circ =45^\circ \\ \Rightarrow \angle CAD=60^\circ-45^\circ =15^\circ\\ \triangle ABD: \frac{\overline{BD}}{\sin(45^\circ)} = \frac{\overline{AD}}{\sin(75^\circ)} \implies \overline{BD} = \overline{AD} \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(75^\circ)} \\ \triangle ACD:  \frac{\overline{CD}}{\sin(15^\circ)} = \frac{\overline{AD}}{\sin(45^\circ)} \implies \overline{CD} = \overline{AD} \cdot \frac{\sin(15^\circ)}{\sin(45^\circ)} \\ \Rightarrow  \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac{\sin(45^\circ) / \sin(75^\circ)}{\sin(15^\circ) / \sin(45^\circ)} = \frac{\sin^2(45^\circ)}{\sin(75^\circ)\sin(15^\circ)} ={(1/\sqrt 2)^2\over \cos 15^\circ \sin 15^\circ} ={1/2\over (\sin 30^\circ)/2 }=2 \\ \Rightarrow \overline{BD}: \overline{CD}=2:1 \Rightarrow \overrightarrow{AD} ={1\over 2+1} \overrightarrow{AB}+{2\over 2+1} \overrightarrow{AC}  ={1\over 3} \overrightarrow{AB}+{2\over 3} \overrightarrow{AC} \Rightarrow \cases{m=1/3\\ n=2/3} \\ \Rightarrow m-n={1\over 3}-{2\over 3}= \bbox[red, 2pt]{-{1\over 3}}$$

解答:$$\vec a\cdot \vec b= |\vec a||\vec b|\cos 45^\circ =6 \Rightarrow \cases{|\vec u|^2 =(5\vec a+2\vec b) \cdot (5\vec a+2\vec b) =356 \Rightarrow |\vec u|=\sqrt{356} = 2\sqrt{89} \\ |\vec v|^2= (\vec a-3\vec b) \cdot (\vec a-3\vec b) =53 \Rightarrow |\vec v|=\sqrt{53}} \\ \Rightarrow \vec u\cdot \vec v=(5\vec a+2\vec b) \cdot (\vec a-3\vec b)=-92 \Rightarrow |\vec u+\vec v|^2= |\vec u|^2+2(\vec u\cdot \vec v)+ |\vec v|^2=356-184+53= 225\\ \Rightarrow 第一條對角線長度為  \sqrt{225} = 15 \\ |\vec u-\vec v|^2= |\vec u|^2-2(\vec u\cdot \vec v)+ |\vec v|^2=356+184+53=593 \Rightarrow 第二條對角線長度為  \sqrt{593} \\ \Rightarrow 較短的對角線長度為 \bbox[red, 2pt]{15}$$

解答:$$已知\cases{ f(x) = x(x-1)Q_1(x) + ax + 3 \\ f(x) = x(x+1)Q_2(x) - 3x + b \\f(x) = (x^2-1)Q_3(x) + cx + 4 = (x-1)(x+1)Q_3(x) + cx + 4} \\ \Rightarrow \cases{f(0)=3\\ f(0)=b\\ f(1)=a+3\\ f(1)=c+4 \\f(-1)=3+b\\f(-1)=-c+4} \Rightarrow \cases{b=3\\ a+3=c+4\\ b+3=-c+4} \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=3\\c=-2} \\ 假設f(x)= x(x-1)(x+1)Q_4(x)+ px^2+qx+ r \Rightarrow \cases{f(0)=3=r\\ f(1)=2 =p+q+r\\ f(-1)=6=p-q+r} \\ \Rightarrow \cases{p=1\\ q=-2\\ r=3} \Rightarrow 餘式為\bbox[red, 2pt]{x^3-2x+3}$$

解答:$$\cases{a_1=1\\ a_n-a_{n-1}=2n-1} \Rightarrow \cases{a_1=1\\ a_2-a_1=3\\ a_3-a_2=5\\ a_4-a_3=7 \\ \cdots\\ a_n-a_{n-1} =2n-1} \Rightarrow 全部相加可得a_n=1+3+5+\cdots+(2n-1) \\= {n\cdot(1+(2n-1)) \over 2}= \bbox[red, 2pt]{n^2}$$

解答:$$\cases{a_1 = 1\\a_2 = 6 \\a_3 = 15 \\a_4 = 28} \Rightarrow \cases{a_2-a_1=5\\ a_3-a_3=9\\ a_4-a_3=13} 為一等差數列，其中\cases{首項5\\ 公差d=4} \ \Rightarrow a_{k+1}-a_k =5+(k-1)\cdot 4=4k+1 \\ \Rightarrow a_n= a_1+ \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1) =1+4\cdot {n(n-1)\over 2}+ (n-1)= n(2n-1) \\ \Rightarrow a_{10}=10\cdot (20-1)= \bbox[red, 2pt]{190}$$

解答:$$f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 5 \Rightarrow f'(x)=-3x^2+2a+b \Rightarrow {-2a\over -6} ={a\over 3}=1 \Rightarrow a=3 \\ P(1,3) \Rightarrow f(1)=3 =-1+a+b-5=-3+b \Rightarrow b=6 \Rightarrow a-b= \bbox[red, 2pt]{-3}$$

解答:$$ 令K=\left( \sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{\sqrt{4\times 4}}}} \right) =16^{1\over 2^{2026}}= 4^{1\over 2^{2025}} \Rightarrow a=\log_\sqrt{4}K= {\log_4 K\over \log_4 \sqrt 4} =2\log_4 K \\=2\cdot {1\over 2^{2025}} ={1\over 2^{2024}}= \bbox[red, 2pt]{2^{-2024}},但公布的答案是\bbox[cyan,2pt]{-2024}$$

解答:$$\cases{O(0,0) \\A(4,2) \\B(x,y)} \Rightarrow \overline{OA}=2\sqrt 5 \Rightarrow \overline{AB} =\overline{OC}= \sqrt 5 \Rightarrow  \overline{OB} =\sqrt{5+20} =5 \Rightarrow \cases{\overline{OB}^2=25 \\ \overline{AB}^2=5} \\ \Rightarrow \cases{x^2+y^2=25\\ (x-4)^2+(y-2)^2= 5} \Rightarrow 8x+4y=40 \Rightarrow y=10-2x \Rightarrow x^2+(10-2x)^2 =25 \\ \Rightarrow 5x^2-40x+75=0 \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow (x-5)(x-3)=0 \Rightarrow \cases{x=5 \Rightarrow y=0 不合\\ x=3\Rightarrow y=4} \\ \Rightarrow B\bbox[red, 2pt]{(3,4)}$$

解答:$$取\cases{A(0,0,0) \\ B(0,5,0)\\C(5,5,0) \\D(5,0,0) \\E(0,0,5) \\F(0,5,5) \\G(5,5,5) \\H(5,0,5)} \Rightarrow \cases{P(1,5,5) \\Q(5,3,5)\\ R(5,5,3)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PQ} =(4,-2,0) \\ \overrightarrow{PR} =(4,0,-2)} \Rightarrow \vec n= \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}= (4,8,8) \\ \Rightarrow 平面PQR: 4(x-1)+8(y-5)+ 8(z-5)=0 \Rightarrow x+2y+2z=21 \\\Rightarrow d(A,平面PQR) ={21\over \sqrt{1+4+4}} = \bbox[red, 2pt]7$$

解答:$$\cases{P(0,7,1)\in L_1且L_1方向向量為(2,1,-2) \\Q(2,-2,6) \in L_2且L_2方向向量為(3,2,-2)} \Rightarrow \cases{\vec n= (2,1,-2) \times (3,2,-2) =(2,-2,1) \\ \overrightarrow{PQ}=(2,-9,5)} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PQ}在\vec n上的投影長度為{\overrightarrow{PQ}\cdot \vec n\over |\vec n|}={27\over 3} =\bbox[red, 2pt]9$$

解答:$$每一局結束時甲袋必維持 2 顆球、乙袋必維持 1 顆球，因此假設\cases{S_1:甲袋有 1 白 1 紅 (乙袋有1白) \\S_2: 甲袋有 2 白(乙袋為1紅)} \\ \Rightarrow \cases{P(S_1 \to S_1)=3/4\\ P(S_1 \to S_2)=1/4 \\ P(S_2\to S_1) =1/2\\ P(S_2\to S_2) =1/2} \Rightarrow n=0時(初始狀態)\cases{P(S_1)=1 \\P(S_2)=0} \xrightarrow{第1局結束} \cases{P(S_1)=1\cdot {3\over 4}=3/4\\ P(S_2)=1-3/4=1/4} \\ \xrightarrow{第2局結束}\cases{P(S_1)= (3/4)\cdot (3/4)+(1/4)\cdot (1/2)=11/16\\ P(S_2)=1-11/16=5/16} \\ \xrightarrow{第3局結束}\cases{P(S_1)=(11/16)\cdot (3/4)+(5/16)\cdot (1/2)=\bbox[red, 2pt]{43/64} \\P(S_2)=1-43/64 =21/64}$$

解答:$$P= \begin{bmatrix} 2& 1\\3& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow P^{-1} = \begin{bmatrix} -1& 1\\3& -2 \end{bmatrix} \Rightarrow AP=PB \Rightarrow B=P^{-1}AP =\begin{bmatrix} -1& 1\\3& -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}8&-6\\ 9&-7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2& 1\\3& 1 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}1&-1\\ 6& -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2& 1\\3& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 &0\\ 0& 2\end{bmatrix} \Rightarrow b_1=-1\\ B=P^{-1}AP \Rightarrow A=PBP^{-1} \Rightarrow A^7=PB^7P^{-1} \begin{bmatrix} 2& 1\\3& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}(-1)^7 &0\\ 0& 2^7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1& 1\\3& -2 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}386& -258\\387& -259 \end{bmatrix} \Rightarrow a_4=-259 \Rightarrow b_1+a_4=-1+(-259)= \bbox[red, 2pt]{-260}$$

解答:$$\cases{甲從 \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} 中任選 3 個相異數字由大到小排列，方法數為 \binom{9}{3} = 84 種\\乙從 \{1,2,3,4,5,6,7,8\} 中任選 3 個相異數字由大到小排列，方法數為 \binom{8}{3} = 56 種} \\ \Rightarrow 所有可能的配對組合總數為 84 \times 56 = 4704 種\\ \textbf{Case I }甲的數字中包含 9\\ \qquad 從剩下的 8 個數字中選出 2 個，方法數為 \binom{8}{2} = 28 種。
由於乙的數字池中最大僅到 8，\\因此只要甲選到 9，其排出的三位數百位必定為 9，恆大於乙所能排出的任何數字\\此情形下，甲大於乙的組合數為 28 \times 56 = 1568 種\\ \textbf{Case II }甲的數字中不包含9\\ \qquad 若甲不選 9，則甲實際上與乙一樣，方法數為 \binom{8}{3} = 56 種; 此時甲與乙的數字選擇範圍完全對稱\\在此分支的 56 \times 56 = 3136 種配對組合中，甲排出的數等於乙的情況共有 56 種\\扣除平手的情況後，根據對稱性，甲大於乙的數量與小於乙的數量相等\\此情形下，甲大於乙的組合數為 \frac{3136 - 56}{2} = 1540 種\\ 因此欲求之機率={1568+1540 \over 4704} = \bbox[red, 2pt]{37\over 56}$$

二、 問答題(每題 10 分)

此大題為學生常犯的錯誤解法，請在答案卷上先指出學生的錯誤，並再寫出正確的詳解：

解答:$$\textbf{題目1. }學生犯了「重複計算」的錯誤。 例如:先分給甲獎品 A、B，剩下的分發中甲又拿到獎品 C\\這與先分給甲獎品 A、C，剩下的分發中甲又拿到獎品 B，實際上是同一種分法\\但 C^5_2 \times 4^3 的算式會將其視為不同的情況\\正確解法:任意分給  4  人的總分法,即每個獎品都有 4 種選擇，共 4^5 = 1024 種 \\ 甲得  0  件的分法:將獎品任意分給乙、丙、丁 3 人，共 3^5 = 243 種 \\甲恰得  1  件的分法:先從  5  件獎品選 1 件給甲，剩下的分給乙、丙、丁\\共有 C^5_1 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405 種\\ 因此甲至少得  2  件 = 總分法 - (甲得  0  件) - (甲恰得  1  件)=1024-243-405= \bbox[red, 2pt]{376}\\ \textbf{題目2.(1) }不能單純只拿左式除左式、右式除右式。由於  x  皆為正數，尋找最大值時應該是\\將 y 的最大正數值除以 x 的最小正數值，學生未檢驗所有端點組合的最大與最小值。\\ 正確解法: 2\le x\le 5\Rightarrow {1\over 5}\le {1\over x} \le {1\over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{-2\le {y\over x} \le {3\over 2}} \\\textbf{題目2.(2) }-4\le y\le 3 \Rightarrow y^2的最小值是0,不是9\\ 正確解法:\cases{2\le x\le 5\\ -4\le y\le 3} \Rightarrow \cases{4\le x^2\le 25\\ 0\le y^2\le 16} \Rightarrow 4+0 \le x^2+y^2 \le 25+16 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{4\le x^2+y^2\le 41}$$

====================== END ==========================
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解