高雄區公立高中115學年度聯合招考轉學生《升高三數學 A》科試卷
一、 單選題(60 分)：
解答:$$(A) {1\over \sqrt[6]9} ={1\over 3^{2/6}} ={1\over 3^{1/3}} ={1\over 3^{0.333}} \\ (B) \sqrt{\sqrt{1\over 3}}={1\over 3^{1/4}} ={1\over 3^{0.25}}\\ (C) \sqrt[4]{1\over 27} ={1\over 3^{3/4}} = {1\over 3^{0.75}}\\(D) {3^{\sqrt 3}\over 9} ={3^{\sqrt3} \over 3^2} ={1\over 3^{2-\sqrt 3}} ={1\over 3^{0.268}} \\ \Rightarrow {1\over 3^{0.25}} \gt {1\over 3^{0.268}} \gt {1\over 3^{0.333}} \gt {1\over 3^{0.75}}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$(A)\times: 甲中獎機率:3/8 \ne 2/8\\ (B)\times:三人皆中獎機率:{3\over 8} \cdot {2\over 7}\cdot {1\over 6}={1\over 56} \ne {3\over 28} \\(C)\times 乙中獎機率= \left(\frac{3}{8} \times \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}\right) = \frac{3}{8} =甲中獎機率 \\(D)\bigcirc: 甲中獎後剩下2支中獎籤與5支未中獎籤, 因此乙沒中獎機率={5\over 7}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cos(\alpha+ \beta)= \cos\alpha \cos \beta-\sin \alpha\sin \beta \ne \cos\alpha \cos \beta+\sin \alpha\sin \beta ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$若P在直線L:{x+3\over 2}={y-1\over -1}={z\over 3} 上\Rightarrow P=(2t-3,-t+1,3t) 代入E\\ \Rightarrow 3(2t-3)+(-t+1)-2(3t)=-10 \Rightarrow -t-8=-10 \Rightarrow t=2 \Rightarrow P=(1,-1,6)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$ \cases{2\vec a-3\vec b= (-11,-2) \\ \vec a+2\vec b=(5,6) \Rightarrow 2\vec a+4\vec b=(10,12)} \Rightarrow (2\vec a+4\vec b)-(2\vec a-3\vec b)= (10,12)-(-11,-2)\\\Rightarrow 7\vec b =(21,14)\Rightarrow \vec b=(3, 2) \Rightarrow \vec a+2\vec b=\vec a+(6,4)=(5,6) \Rightarrow \vec a=(5,6)-(6,4)=(-1,2) \\ \Rightarrow \vec a\cdot \vec b=(-1,2) \cdot(3,2)=-3+4=1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{總球數:2+3+4+k= 9+k \\ 藍球數:2+3=5\\ 1號球數:2+4=6} \Rightarrow P(抽到藍球)={5\over 9+k}, P(抽到1號球)={6\over 9+k} \\ P(抽到1號藍球)={2\over 9+k} ={5\over 9+k}\times {6\over 9+k}={30\over (9+k)^2} \Rightarrow 2(9+k)=30 \Rightarrow k=6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{\log a=20 \\ \log b=16} \Rightarrow \cases{a=10^{20} \\b=10^{16}} \Rightarrow \log(a -b)= \log(10^{20}- 10^{16}) =\log(10^{16}(10^4 -1)) \\=\log10^{16} +\log(10^4-1) =16+k, 3\lt k\lt 4 \Rightarrow 19 \lt\log(a-b) \lt 20，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$直線L:x-2y-2=0 \Rightarrow 方向向量\vec u=(2,1) \\ \Rightarrow \vec a在\vec u的正射影={\vec a\cdot \vec u \over ||\vec u||^2} \vec u={2+3\over 2^2+1^2} (2,1)=(2,1)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$垂直同一直線的兩相異直線可能平行，不一定垂直，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$
解答:$$\cases{\stackrel{\Large\frown}{AB}=5\theta \\ \stackrel{\Large\frown}{CD}=3\theta} \Rightarrow ABCD周長=5\theta+3\theta+ 2\overline{AC}=2\theta= 8\theta+2\cdot(5-3) \\=8\cdot {40\pi\over 180}+2\cdot 2= {16\over 9}\pi+4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{|\vec u|=2\\ |\vec v|= |\vec u+\vec v|=3} \Rightarrow |\vec u+\vec v|^2=3^2=(\vec u+\vec v) \cdot (\vec u+ \vec v) =|\vec u|^2+2\vec u\cdot \vec v+|\vec v|^2=2^2+ 2\vec u\cdot \vec v+3^2 \\ \Rightarrow 4+2\vec u\cdot \vec v=0 \Rightarrow \vec u\cdot \vec v=-2 \Rightarrow 三角形面積 = \frac{1}{2} \sqrt{\vert{} \vec{u}\vert{}^2 \vert{} \vec{v} \vert{}^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2} \\= {1\over 2} \sqrt{2^2\cdot 3^2-(-2)^2} ={1\over 2} \sqrt{36-4} ={1\over 2} \sqrt{32} =2\sqrt{2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{P(x,y,z)\in E:x-2y+3z-3=0 \\Q(-1,1,0)} \Rightarrow \overline{PQ}^2=(x+1)^2+(y-1)^2+z^2 \\ \Rightarrow \overline{PQ}^2最小值=d^2(Q,E)= \left( {|-1-2+0-3|\over \sqrt{1+4+9}} \right)= \left( {6\over \sqrt{14}} \right)={18\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$
解答:$$\cases{點數和為 10 的組合有： (4, 6), (5, 5), (6, 4)，共 3 種\\點數和為 11 的組合有：(5, 6), (6, 5)，共 2 種\\點數和為 12 的組合有：(6, 6)，共 1 種} \Rightarrow 點數和大於 9 共有3+2+1=6種\\ \Rightarrow 其中點數相 異有(4,6),(6,4), (5,6),(6,5)，共4種 \Rightarrow P(B\mid A)={n(A\cap B) \over n(A)} ={4\over 6}={2\over 3}\\ 其中\cases{事件 A 為「兩次投擲的點數和大於 9」\\事件 B 為「兩次投擲出現的點數相異」}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$(A)\times: 顯然(0,0,0)為其一解，不可能無解\\ (B) \times: 兩平面\cases{2x+3y+z=1\\ 4x+6y+ 2z=2} 相同(重合)有無限多解 \\(C)\times: \cases{x+y=3 \cdots(1)\\ 2y+2z=5 \cdots(2)\\3x+3z=7 \cdots(3)}, \quad 將\cases{x=3-y\\ z=5/2-y}代入(3) \Rightarrow y=19/12 \Rightarrow 可得一解\\ (D) \bigcirc: \begin{cases} x - y - z = 5 \quad \cdots (1) \\ 5x - 3y - 4z = 6 \quad \cdots (2) \\ x - 5y - 3z = 4 \quad \cdots (3) \end{cases} \Rightarrow \cases{(2)-5\times(1) \Rightarrow 2y+z=-19 \Rightarrow -4y-2z=38\\ (3)-(1) \Rightarrow -4y-2z=-1} \\\quad 兩式矛盾, 無解\\ (E) \times: \begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \quad \cdots (1) \\ x + y - 3z = 0 \quad \cdots (2) \\ 2x + y - 4z = 1 \quad \cdots (3) \end{cases} , 由(2)得x= 3z-y分別代入(1)及(3) \Rightarrow \cases{-y+2z=1\\ -y+2z=1} \\ \quad \Rightarrow 無限多解\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{A + B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{bmatrix}\\A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{兩式相加\Rightarrow 2A= \begin{bmatrix}4& 2\\-2& 6 \end{bmatrix} \Rightarrow A= \begin{bmatrix}2& 1\\-1& 3 \end{bmatrix}} \\ \Rightarrow B= \begin{bmatrix}3&0\\-4& 4 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}2& 1\\-1& 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-1\\-3& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -10 & 4 \end{bmatrix}\\ ，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$
二、 多選題(40 分)：
解答:$$\cases{\tan \theta=-3/4\\ \pi/2\lt \theta\lt \pi} \Rightarrow \cases{\sin \theta=3/5\\ \cos \theta-4/5} \Rightarrow \cases{\sin 2\theta= 2\sin \theta\cos \theta=-24/25 \\ \cos 2\theta =2\cos^2\theta-1= 7/25} \\ \Rightarrow \tan 2\theta={\sin 2\theta\over \cos 2\theta} =-{24\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$
解答:$$ f(x) = -\sqrt{3} \sin x + 3 \cos x = 2\sqrt{3} \left( -\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2\sqrt{3} \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \\ (A)\times : f(x)= 2\sqrt{3} \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \Rightarrow 週期T=2\pi \ne pi \\(B)\times: 振幅R=2\sqrt 3\ne \sqrt 3\\ (C)\bigcirc: f(0)= 2\sqrt 3 \sin {2\pi\over 3}= 3 \Rightarrow 交點為(0, 3) \\(D)\bigcirc: y=f(x)為週期函數, 有無限多個交點\\ (E)\times: 由(C)知:圖形通過(0,3), 但(0,-3)不在圖形上, 因此不對稱原點\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CD)}$$
解答:$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-1 \end{bmatrix} =-I \Rightarrow A^{2n}=(-1)^n I = \begin{bmatrix}(-1)^n& 0\\0& (-1)^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_n& c_n\\ b_n& d_n\end{bmatrix} \\(A)\times: \cases{ A^{112}=(-1)^{56}I=I \\ A^{2023} =A^{2022}\cdot A=(-1)^{1011}I\cdot A= A} \Rightarrow A^{112} \ne A^{2023} \\(B)\times: \langle a_n \rangle= \langle (-1)^n \rangle =-1,1,-1,1, \dots 不是等差數列\\ (C)\bigcirc: \langle d_n \rangle= \langle (-1)^n \rangle =-1,1,-1,1, \dots \Rightarrow 公比為-1的等比數列\\ (D)\times:\cases{a_{11} =(-1)^{11}=-1\\ d_{10}=(-1)^{10}=1} \Rightarrow a_{11} \not \gt d_{10}\\ (E)\bigcirc: b_{35} =0= c_{36}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$
解答:$$(A)\bigcirc: L_1的參數式:(t,0,-t) \Rightarrow (-1,0,1)為L_1的一個方向向量(取t=-1) \\(B)\bigcirc: L_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-0}{1} \Rightarrow (2,3,1) 為L_2的一個方向向量 \\(C) \bigcirc: L_2的參數式:(2s+1,3s-1,s) \Rightarrow 取s=2 可知(5,5,2)在L_2上\\(D)\times:\cases{L_1的參數式:(t,0,-t)\\ L_2的參數式:(2s+1,3s-1,s)} \Rightarrow 求交點:\cases{t=2s+1 \cdots(1)\\ 0=3s-1 \cdots(2)\\ -t=s \cdots(3)} \\由(2)可得s={1\over 3} 分別代入(1)與(3)可得\cases{t=5/3\\ t=-1/3} 兩者不相等 \Rightarrow L_1與L_2不相交 \\(E)\bigcirc: 根據空間幾何性質，若一直線垂直於一平面，則該直線會垂直於平面上的任何一條直線\\\quad 因此，平面 E 上過點 (1, -1, 0)的直線，皆會與 L_2 垂直\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABCE)},但公布的答案是\bbox[cyan, 2pt]{(BCE)}$$
解答:$$(A)\times: 底數不得為1\\(B) \bigcirc: \log(-3)^2= \log 9=\log 3^2=2\log 3 \\(C) \bigcirc: \log_{0.5}(\sqrt 3+1) + \log_{0.5}(\sqrt 3-1) = \log_{0.5}[(\sqrt 3+1)(\sqrt 3-1)] = \log_{0.5} 2 \\\quad = \log_{2^{-1}} 2 ={\log_2 2\over \log_2 2^{-1}} ={1\over -1}=-1 \\(D)\bigcirc: A=7^{-5} \Rightarrow \log A= \log 7^{-5} =-5 \log 7 \Rightarrow A= 10^{-5\log 7} \\(E) \bigcirc: {\log_3 5\over \log_7 5}={\log_3 5\over \log_35/\log_3 7} =\log_37\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCDE)}$$
解答:$$(A)\times: \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \Rightarrow -\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OA}= \overrightarrow{OC} \Rightarrow -\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{OC}, 無法判定共線\\ (B)\bigcirc: \overrightarrow{OA}= {5\over 3}\overrightarrow{OB}-{2\over 3}\overrightarrow{OC} \Rightarrow 係數和={5\over 3}-{2\over 3}=1 \Rightarrow 共線\\ (C) \bigcirc: \overrightarrow{BA}=7 \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{BA} \parallel \overrightarrow{BC}且有共同點B \Rightarrow 共線 \\(D)\times: \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} \Rightarrow A,B,C 構成三角形\Rightarrow 不共線\\ (E)\bigcirc: \cases{A(1,2,3)\\ B(2,3,4) \\C(3,4,5)} \Rightarrow \overrightarrow{AB} =(1,1,1) = \overrightarrow{BC} \Rightarrow 共線\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}$$
解答:$$假設\cases{ M'$ 為數學不及格的事件\Rightarrow P(M') = 0.35\\E' 為英文不及格的事件 \Rightarrow P(E') = 0.45 \\M' \cap E' 為數學與英文都不及格的事件 \Rightarrow P(M' \cap E') = 0.20} \\(A) \bigcirc: P(M'\cup E') =P(M')+P(E')-P(M'\cap E')= 0.35+0.45-0.2=0.6 \\ \quad \Rightarrow 都及格機率P(M\cap E) =1-P(M'\cup E')=1-0.6=0.4 \\(B)\bigcirc: 1-P(M'\cap E')=1-0.2=0.8 \\ (C)\bigcirc: P(E'\vert{}M') = \frac{P(E' \cap M')}{P(M')} = \frac{0.20}{0.35} = \frac{4}{7} \\ (D)\bigcirc: 英文及格的機率 P(E) = 1 - P(E') = 1 - 0.45 = 0.55 \Rightarrow P(M\vert{}E) = \frac{P(M \cap E)}{P(E)} \\\quad = \frac{0.40}{0.55} = \frac{8}{11} \\(E)\times: P(M')\times P(E')=0.35\times 0.45= 0.1575 \ne P(M'\cap E')=0.2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABCD)}$$
解答:$$(A)\times: A= \begin{bmatrix}0& 2\\3& 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}6&0\\0& 6 \end{bmatrix} =6I \Rightarrow A^4=36I \Rightarrow A^5=36A= \begin{bmatrix}0& 72\\108& 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix}0& 2^5\\3^5&0 \end{bmatrix} \\(B)\bigcirc: 旋轉矩陣 R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \cos 115^\circ & -\sin 115^\circ \\ \sin 115^\circ & \cos 115^\circ \end{bmatrix} =R(115^\circ) \\ \quad \Rightarrow \begin{bmatrix} \cos 115^\circ & -\sin 115^\circ \\ \sin 115^\circ & \cos 115^\circ \end{bmatrix}^5 =R(115^\circ\times 5)=R(575^\circ) = \begin{bmatrix} \cos 575^\circ & -\sin 575^\circ \\ \sin 575^\circ & \cos 575^\circ \end{bmatrix} \\ (C)\bigcirc: 鏡射矩陣M(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \Rightarrow M^2=I \Rightarrow M^2(115^\circ)=I \Rightarrow M^4(115^\circ)=I \\(D)\times: A= \begin{bmatrix}1& 1\\1& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2 = \begin{bmatrix}2& 2\\2& 2 \end{bmatrix} \Rightarrow A^4= \begin{bmatrix}8& 8\\8& 8 \end{bmatrix} \Rightarrow A^5 =\begin{bmatrix}8& 8\\8& 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 1\\1& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}16& 16\\ 16& 16 \end{bmatrix} \\(E)\times : \begin{bmatrix}7& 5\\3& 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-5\\ -3& 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1& 0\\ 0& -1 \end{bmatrix} \ne I\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$
解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解
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