115年高中學力鑑定-數學詳解

115 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

一、 選擇題：（ 12 題，每題 5 分，共 60 分）

解答:$$\cases{國文:剛好等於平均數\\ 英文:平均數+1個標準差\\ 數學:平均數+1個標準差\\ 物理:平均數+ 1.5個標準差} \Rightarrow 物理表現較好，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$4\times 3\times 2=24，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\sin x的振幅是1 \Rightarrow 2\sin x的振幅是2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cos \theta ={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} ={-4\cdot 1+(-3)\cdot 7 \over \sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{1^2+7^2}} ={-25\over 5\cdot 5\sqrt 2} =-{1\over \sqrt 2}= {-\sqrt 2\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{(A) \log_{1/3}5 \lt 0\\ (B) \log_3 4 \lt \log_3 9=2  \Rightarrow \log_3 4\lt 2\\ (C) \log_{1/2}{1\over 4} =2\\ (D) \log_4 9 \lt \log_4 16=2 \Rightarrow \log_4 9\lt 2} \Rightarrow \log_{1/2}{1\over 4}最大，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$y=-{5\over 2}\log {x\over a} =-2.5=-{5\over 2} \Rightarrow \log{x\over a}=1 \Rightarrow {x\over a}=10 \Rightarrow x=10a，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$點數和為質數的情形:(1,1),(1,2), (1,4),(1,6), (2,1),(2,3), (2,5),(3,2),(3,4), \\ \qquad \qquad (4,1),( 4,3),(5,2), (5,6), (6,1),(6,5),共15種\\ 點數和為質數且相乘為奇數的情形: (1,1)，只有1種 \\ 因此機率為{1\over 15}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\vec u需同時符合\vec u= t\vec k, 且|\vec u|=1\\ (A)\times: (-1,0) \ne t(3,4) \\(B)\bigcirc: (-{3\over 5},-{4\over 5}) \Rightarrow (-{3\over 5},-{4\over 5})= -{1\over 5}\vec k,且(-3/5)^2+ (-4/5)^2=1 \\ (C)\times: (0,1) \ne t(3,4) \\(D) \times :\sqrt{4^2+3^2} =5\ne 1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$x^2+y^2-2x-2y-3=0 \Rightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=5 \Rightarrow (x-1)^2+ (y-1)^2=5\\ \Rightarrow  圓心O(1,1)   \Rightarrow (-1,2)與圓心O的直線斜率={1-2\over 1-(-1)}=-{1\over 2} \Rightarrow 切線斜率為2 \\ \Rightarrow 切線方程式: y-2=2(x+1) \Rightarrow 2x-y+4=0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=2x^3-6x^2+6x -2 \Rightarrow f'(x)=6x^2-12x+6 \Rightarrow f''(x)=12x-12\\ f''(x)=0 \Rightarrow 12(x-1)=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow(1,f(1)) =(1,0)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$擲骰子出現偶數的機率為{1\over 2},出現奇數的機率也是{1\over 2} \\ 擲骰子三次的倩形:3偶(1種)、2偶1奇(3種)、1偶2奇(3種)、3奇(1種) \\ 因此期望值:5\cdot 3\cdot {1\over 8} +(5\cdot 2+1\cdot 1)\cdot {3\over 8} + (5\cdot 1+1\cdot 2)\cdot {3\over 8} + 1\cdot 3\cdot {1\over 8} ={1\over 8}(15+ 33+ 21+3) \\ = {72\over 8}=9，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(A)\times: \sqrt{3^2+4^2+5^2}= 5\sqrt 2 \ne 5\\ (B) \bigcirc: \sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{41} \\(C) \times:A(3,4,5)到xy平面的距離為5\ne 7 \\(D)\times: (-3,4,5) \ne(3,-4,-5)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、填充題：（ 10 題，每題 4 分，共 40 分）

解答:$$-4\le x\le 5 \Rightarrow |x+4|+|x-5|= \bbox[red, 2pt]9為最小值$$

解答:$$\cases{A(-1,-2) \\B(1,2) \\C(2,t)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =(2,4) \\ \overrightarrow{AC}=(3,t+2)} \Rightarrow {2\over 3}={4\over t+2} \Rightarrow 2t+4=12 \Rightarrow t= \bbox[red, 2pt]4$$

解答:$$\cases{a_1=2\\ a_n= 3a_{n-1} } \Rightarrow \langle a_n \rangle 為公比r=3的等比數列 \Rightarrow a_1+a_2+\cdots+ a_5 =2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+ \cdots+2\cdot 3^4 \\=2(1+3+3^2+ \cdots+3^4) = 2\cdot {3^5-1\over 2}= \bbox[red, 2pt]{242}$$

解答:

$$圓C: x^2+y^2-6x-8y=0 \Rightarrow (x^2-6x+9)+(y^2-8y+16)=25 \Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=25 \\ \Rightarrow \cases{圓心O(3,4) \\ 圓半徑R=5} \Rightarrow d(O,L)={12+12+36\over \sqrt{4^2+3^2}}={60\over 5}=12 \gt R \Rightarrow d(P,L)最小值= d(O,L)-R\\ =12-5= \bbox[red, 2pt]7$$

解答:

$$假設C至\overline{AB}的距離為h \Rightarrow \cases{h=\overline{BC} \sin \angle B =\sqrt 2\sin 60^\circ ={\sqrt 6\over 2} \\ h=\overline{AC} \sin \angle A =\overline{AC} \sin 45^\circ ={\sqrt 2\over 2} \overline{AC}} \\ \Rightarrow {\sqrt 2\over 2}\overline{AC} ={\sqrt 6\over 2} \Rightarrow \overline{AC} ={\sqrt 6\over \sqrt 2} = \bbox[red, 2pt]{\sqrt 3} $$

解答:$$不含甲與乙，剩下4人排成一列有4!= 24排法\\ 4人排成一列產生5個間隙，將甲,乙二人插入5個間隙有C^5_2=10種方法\\ 甲, 乙可互換，共有10\times 2=20種插入間隙的方法，因此甲與乙不相鄰共有24\times 20=\bbox[red, 2pt]{480}種$$

解答:$$假設圓半徑R \Rightarrow 圓面積=R^2\pi \Rightarrow 扇形面積=R^2\pi \times {144^\circ\over 360^\circ}=40\pi \Rightarrow R^2=100 \Rightarrow R= \bbox[red, 2pt]{10}$$

解答:$$前5次有2次正面及3次反面,機率為C^{5}_2\cdot {1\over 2^5} ={10\over 32} ={5\over 16}\\第6次出現正面的機率為{1\over 2}, 因此所求機率為{5\over 16}\times {1\over 2}= \bbox[red, 2pt]{5\over 32}$$

解答:$$算幾不等式: {a+2b\over 2} \ge \sqrt{a\cdot 2b} \Rightarrow a+2b \ge 2\sqrt{2\cdot 32} =2\cdot 8= \bbox[red, 2pt]{16}$$

 解答:$$f(x) 除以x+1的餘式為6 \Rightarrow f(-1)=6 ,f(x) 除以x-3的餘式為-2 \Rightarrow f(3)=-2 \\ 假設f(x)除以(x+1)(x-3)的餘式為ax+b \Rightarrow \cases{f(-1)=-a+b=6\\ f(3)=3a+b=-2} \Rightarrow \cases{a=-2\\ b=4} \\ \Rightarrow 餘式為\bbox[red,2pt]{-2x+4}$$

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