104 年度高中學力鑑定考試數學科詳解

臺閩地區 104 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

科目：數學
一、選擇題：(12題，每題5分，共60分)
1. 使$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{10}{n}$為正整數的正整數$n$有多少個？
(A) 1   (B) 2  (C) 4   (D) 8

解： $$\frac { 1 }{ n } +\frac { 2 }{ n } +\cdots +\frac { 10 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \left\{ 1+2+\cdots +10 \right\} =\frac { 55 }{ n } \\ \Rightarrow n需為55的因數\Rightarrow n=1,5,11,55共有4個$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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2. 在等比數列$<a_n>$中，已知$a_1+a_3=6, a_2+a_4=12$，則公比$r$之值為何？
(A) 2  (B)$\frac{1}{2}$  (C) 3  (D) $\frac{1}{3}$

解： $$\begin{cases} a_{ 1 }+a_{ 3 }=6 \\ a_{ 2 }+a_{ 4 }=12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+a_{ 1 }r^{ 2 }=6 \\ a_{ 1 }r+a_{ 1 }r^{ 3 }=12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }\left( 1+r^{ 2 } \right) =6 \\ a_{ 1 }r\left( 1+r^{ 2 } \right) =12 \end{cases}\Rightarrow \frac { a_{ 1 }\left( 1+r^{ 2 } \right)  }{ a_{ 1 }r\left( 1+r^{ 2 } \right)  } \\=\frac { 6 }{ 12 } \Rightarrow r=2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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3. 設數值資料1，2，3，...，$n$的標準差為2，則$n$的值為何？
(A) 7  (B) 8  (C) 9  (D) 10

解：
1，2，3，...，$n$的平均值$\mu$為$\frac{n+1}{2}$
(A)n=7時, $\mu$=8/2=4，標準差=$\sqrt{\frac{1}{7}\left[(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+0+1^2+2^2+3^2\right]}$
= $\sqrt{\frac{1}{7}\times 28}=\sqrt{4}=2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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4. 求$\log{\frac{5}{9}}-\log{\frac{3}{7}}+\log{\frac{27}{35}}$為何？
(A) 3   (B) 2  (C) 1  (D) 0

解： $$\log { \frac { 5 }{ 9 }  } -\log { \frac { 3 }{ 7 }  } +\log { \frac { 27 }{ 35 }  } =\left( \log { 5 } -\log { 9 }  \right) -\left( \log { 3 } -\log { 7 }  \right) +\left( \log { 27 } -\log { 35 }  \right) \\ =\log { 5 } -2\log { 3 } -\log { 3 } +\log { 7 } +3\log { 3 } -\log { 5 } -\log { 7 } =0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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5. 何者的值與$\cos{\left(-1035^\circ\right)}$的值相同？
(A) $\cos{225^\circ}$  (B) $\sin{\left(-135^\circ\right)}$ (C) $\sin{45^\circ}$ (D) $\cos{135^\circ}$

解：
$\cos{\left(-1035^\circ\right)}=\cos{\left(-1035^\circ+360^\circ\times 3\right)}=\cos{45^\circ}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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6. 圓$C:x^2+y^2-4x-8y+19=0$，則下列正確者為
(A) 圓心(4,8)   (B) 半徑1  (C)圓$C$與$x$軸相切  (D)圓$C$與$y$軸相切

解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }-4x-8y+19=0\Rightarrow x^{ 2 }-4x+4+y^{ 2 }-8y+16+19=4+16\\ \Rightarrow { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-4 \right)  }^{ 2 }=1\Rightarrow 圓心(2,4),半徑1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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7. 在平行四邊形$ABCD$中，$\overline{AB}=3,\overline{BC}=5$，則$\overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{BD}$的值為

(A) 10  (B) 12  (C) 14  (D)  16

解： $$\overrightarrow { AC } \cdot \overrightarrow { BD } =\left( \overrightarrow { AB } +\overrightarrow { BC }  \right) \cdot \left( \overrightarrow { BC } +\overrightarrow { BA }  \right) =\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { BC } -{ \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { BC }  \right|  }^{ 2 }-\overrightarrow { BC } \cdot \overrightarrow { AB } \\ =-{ \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { BC }  \right|  }^{ 2 }=-9+25=16$$
故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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8. 已知一前燈的縱切面位在拋物線$y^2=8x$上，我們應該將燈泡放在焦點才能將光線射得最遠，求焦點？

(A)  (1,0) (B) (2,0)  (C)  (3,3)  (D) (4,1)

解：

$y^2=8x=4\times 2x\Rightarrow$焦點座標為(2,0)，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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9. 在空間中，下列何者為真？
(A)$P(a,b,c)$在$x$軸上之投影為$(a,b,0)$
(B)$P(a,b,c)$在$xy$平面上之投影為$(a,0,0)$
(C)$P(a,b,c)$對$x$軸上之對稱點為$(a,-b,-c)$
(D)$P(a,b,c)$對$xy$平面上之對稱點為$(-a, -b, c)$

解：
(A)$P(a,b,c)$在$x$軸上之投影為$(a,0,0)$
(B)$P(a,b,c)$在$xy$平面上之投影為$(a,b,0)$
(D)$P(a,b,c)$對$xy$平面上之對稱點為$(a, b, -c)$
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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10. 擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得 4 元，一個反面賠 2 元，則所得總額之期望值為？

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解：
擲一均勻硬幣三次，共有8種情形：
(正正正)→3正0反，可得12元
(正正反)→2正1反，可得8-2=6元
(正反正)→2正1反，可得8-2=6元
(正反反)→1正2反，可得4-4=0元
(反正正)→2正1反，可得8-2=6元
(反正反)→1正2反，可得4-4=0元
(反反正)→1正2反，可得4-4=0元
(反反反)→0正3反，可得-6元
期望值=(12+6+6+6-6)$\times\frac{1}{8}$=24/8=3，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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11. 設生男生女的機率均等，對有 3 個小孩的家庭而言，令隨機變數 X 表示男孩的數量，隨機變數 Y 表示女孩的數量，下列選項何者正確：

(A) X 的期望值為 2 個 (B) X 的變異數比 1 大 (C) Y 的標準差比 1 小 (D) Y 的期望值為 1 個

解：
3個小孩可能是：000, 001,010,011,100,101,110,111，其中0代表女生、1代表男生，每種情形的機率皆為1/8。
X的期望值=EX=$(0+1+1+2+1+2+2+3)\times \frac{1}{8}=\frac{3}{2}$
$EX^2=(0+1+1+4+1+4+4+9)\times \frac{1}{8}=3$
X的變異數=$EX^2-(EX)^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
Y 的標準差=X 的標準差 = $\sqrt{\frac{3}{4}}<1$
Y 的期望值=X 的期望值=$\frac{3}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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12. 某校欲從高二「甲, 乙, 丙, 丁」四個班級中隨機選取一個班級進行數學測驗，考慮下列 2 個方法：
方法 1：四個班的導師抽籤，抽中的導師該班為抽測班級。
方法 2：以簡單隨機抽樣選取一名高二學生，以他所在的班為施測班級。
若四班的人數均不同，其中甲班人數最多，則下列敘述哪些是正確的？

(A) 方法 1 中，每一位高二學生被抽測的機會均等 

(B) 方法 2 中，每一位高二學生被抽測的機會均等

(C) 方法 2 中，四個班被抽測的機會均等 

(D) 甲班被抽測的機率，方法 1 較方法 2 高 

解：
方法 1：每個導師被抽中的機率相同，也就是每位同學被抽的機率相同
方法 2：人數多的班級被抽中的機率最高，也就是甲班同學被抽中的機率最高
，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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二、填充題：( 10 題，每題 4 分，共 40 分)
1. 若 $f\left( x \right) =x^{80}+ax^{50}+5x-1$除以 x-1之餘式為 4，則 a 之值為
解： $$f\left( 1 \right) =4\Rightarrow 1+a+5-1=4\Rightarrow a=-1$$
，故a=$\bbox[red,2pt]{-1}$

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2. 從男子 6 人，女子 4 人中選 3 人組成一個委員會，共有____種選法。

解：$C^{10}_3$=120，故共有$\bbox[red,2pt]{120}$種選法

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3. 擲一個均勻的硬幣 10 次，則恰在第 6 次出現第 3 次正面的機率為

解：
恰在第 6 次出現第 3 次正面的機率=擲硬幣5次出現2次正面且在第6次也出現正的機率
擲硬幣5次出現2次正面的機率=$\frac{\frac{5!}{3!2!}}{2^5}=\frac{10}{32}$
第6次出現正面的機率=$\frac{1}{2}$，兩者相乘=$\frac{10}{32}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{32}$
，故機率為$\bbox[red,2pt]{\frac{5}{32}}$

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4.方程式 x + log x = 0有 __ 個實數解。

解：此題相當於求圖形 y=-x 及 y=logx的交點數目

由上圖可知，兩圖形只有一個交點，故有$\bbox[red,2pt]{1}$個實數解

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5. 設 A(1,2,3)，B(5,6,7)，則 $\overline{AB}$之垂直平分面方程式為___________________

解：$\overrightarrow{AB}=$(5-1,6-2,7-3)=(4,4,4)，$\overline{AB}$之中點C=(3,4,5)。
該平面經過C且方向向量為$\overrightarrow{AB}$，因此方程式為：4(x-3)+4(y-4)+4(z-5)=0，即4x+4x+4z=48，相當於x+y+z=12。
，故方程式為$\bbox[red,2pt]{x+y+z=12}$

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6. 設$\triangle ABC$ 三頂點的坐標為 A(1,5,2)﹐B(4, -1,8)﹐C(10, -1, -4)﹐則$\triangle ABC$的面積為______________

解：$\overrightarrow{AB}=$(4-1,-1-5,8-2)=(3,-6,6)，$\overrightarrow{AC}=$(10-1,-1-5,-4-2) =(9,-6,-6)；$\triangle ABC$的面積=$\frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right\|$=$\frac{1}{2}\left\|(72,72,36)\right\|=\frac{1}{2}\times \sqrt{72^2+72^2+36^2}= \frac{1}{2}\times 108$=54
，故面積為$\bbox[red,2pt]{54}$

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7. 求二個矩陣的乘積： $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}=$

解： $$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+0 & 2-2 & -1-4 \\ -1+0 & -2-1 & 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ -1 & -3 & -1 \end{bmatrix}$$
，故其值為$\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ -1 & -3 & -1 \end{bmatrix}}$

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8. 無窮數列$\left< \frac { 4n^{ 2 }-5 }{ 2n^{ 2 }+1 }  \right>$的極限值為______

解： $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 4n^{ 2 }-5 }{ 2n^{ 2 }+1 }  } =\frac { 4 }{ 2 } =2$$
，故極限值為$\bbox[red,2pt]{2}$

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9. 設 A、B 為獨立事件且 P（A）＝0.3，P（B）＝0.4 ，則 P（A∩B）＝

解：P（A∩B）＝P（A）x P（B）=0.3 x 0.4=0.12，故P（A∩B）＝$\bbox[red,2pt]{0.12}$

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10.已知函數 $f\left( x \right) =\begin{cases} x^{ 2 }+3, & 若x\ge 1 \\ ax-1, & 若x<1 \end{cases}$在 x= 1 處連續，則實數 a= _______

解：
f(1)=$1^2+3$=a-1$\Rightarrow   4=a-1\Rightarrow a=5$，故a=$\bbox[red,2pt]{5}$

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--   End   --