103學年度國中運動績優生甄試--數學科詳解

103學年度國民中學運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解

說明：單選題共 30 題，請在答案卡上劃記。
1.計算$3^2-2\times(-4)+(-6)\div 2$=？
(A) 14  (B) 11  (C)  -1  (D) -4

解： $$3^2-2\times(-4)+(-6)\div 2=9+8-3=14$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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2. 用量角器量一角為 24 度。若將量角器放大 3 倍後，再來量同一個角，則其角度變化為何？  (A)變大為 48 度  (B)變大為 72 度  (C) 變小為 12 度 (D) 不變，仍為 24 度

解：無論量角器大小，所量出的角度是否變的，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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3. 已知一長方形的對角線長為 17 公分，長、寬相差 7 公分，則此長方形的周長為多少公分？
(A) 17 (B) 34 (C) 23 (D) 46
解：
假設長為$a$，寬為$a-7$，由題意知：$a^2+(a-7)^2=17^2\Rightarrow   a^2-7a-120=0\Rightarrow   (a-15)(a+8)=0\Rightarrow   a=15$，因此周長=$(15+(15-7))\times   2=46$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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4. 凸 15 邊形的 15 內角中，最多有幾個內角是銳角？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 15

解：凸 15 邊形的內角和=$(15-2)\times 180=2340$，假設有$a$個內角是銳角，則銳角和小於$90a$且剩下的(15-a)個內角皆小於180度，即
$\frac{2340-90a}{15-a}<180\Rightarrow  a<4$，因此最多有3個內角是銳角，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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5. 已知a 、b 、c皆為質數，且$\frac{184}{a}、\frac{105}{b}、\frac{198}{c}$，也皆為正整數，則a+b+c的最大值為何？

(A) 37 (B) 41 (C) 43 (D) 47

解：
$184=2^3\times 23\Rightarrow a$的最大值為23
$105=3\times 5\times 7\Rightarrow b$的最大值為7
$198=2\times 9\times 11\Rightarrow c$的最大值為11
因此a+b+c的最大值=23+7+11=41，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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6. 求$12^2-11^2+10^2-9^2+8^2-7^2+6^2-5^2+4^2-3^2+2^1-1^2=$？

(A) 78 (B) 143 (C) 145 (D) 156

解： $$12^{ 2 }-11^{ 2 }+10^{ 2 }-9^{ 2 }+8^{ 2 }-7^{ 2 }+6^{ 2 }-5^{ 2 }+4^{ 2 }-3^{ 2 }+2^{ 1 }-1^{ 2 }\\ =\left( 12+11 \right) \left( 12-11 \right) +\left( 10+9 \right) \left( 10-9 \right) +\left( 8+7 \right) \left( 8-7 \right) +\left( 6+5 \right) \left( 6-5 \right) \\\;+\left( 4+3 \right) \left( 4-3 \right) +\left( 2+1 \right) \left( 2-1 \right) \\ =23+19+15+11+7+3=78$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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7. $\triangle ABC$中，$\angle C$的外角為$\angle 1$，已知$\angle 1$恰與一個內對角之和等於180 度，則$\triangle ABC$必為什麼類型三角形？

 (A)直角三角形(B)正三角形(C)等腰三角形(D)鈍角三角形

解：
$\angle C+\angle 1=180^\circ$又$\angle 1$恰與一個內對角之和等於180 度，所以該對角與$\angle C$相等，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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8. 計算一元一次不等式$2x+3>3(x-1)$，得其x 解的範圍中，x 為正整數有幾個？

(A) 4 個(B) 5 個(C) 6 個(D) 7 個

解：$2x+3>3(x-1)\Rightarrow 2x+3>3x-3\Rightarrow 6>x$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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9. 若$x=-1$為方程式$x^2+ax-8=0$與$(x-a)^2=b$的相同解，則$b$=？

(A) 16 (B) 25 (C) 36 (D) 49

解：

將$x=-1$代入第一式可得$1-a-8=0\Rightarrow a=-7$，再將$x=-1,a=-7$代入第二式可得
$(-1+7)^2=b\Rightarrow b=6^2=36$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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10. 如下圖，已知$\overline{BH}=8$，且四邊形ABKL、四邊形BCDE、四邊形EFGH、四邊形HIJK 皆為正方形。試問這四個正方形的面積和為多少？

(A) 64 (B) 128 (C) 192 (D) 256

解：
在直角$\triangle BKH$中，${\overline{BH}}^2={\overline{BK}}^2+{\overline{HK}}^2$ = 四邊形ABKL的面積+四邊形HIJK的面積
在直角$\triangle BEH$中，${\overline{BH}}^2={\overline{BE}}^2+{\overline{EH}}^2$ = 四邊形BCDE的面積+四邊形EFGH的面積

因此這四個正方形的面積和=$8^2+8^2=128$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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11. 化簡$2x-\frac{5(x+1)}{4}$，可得下列哪一個結果？
 (A)$\frac{3x-5}{4}$  (B) $\frac{-3x+1}{4}$  (C) $\frac{3x-1}{4}$  (D) $\frac{-3x+5}{4}$

解： $$2x-\frac { 5(x+1) }{ 4 } =\frac { 8x-5(x+1) }{ 4 } =\frac { 8x-5x-5 }{ 4 } =\frac { 3x-5 }{ 4 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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12. 台灣高鐵自正式營運後，至2012 年止營運總載客量約為2 億零一百五十八萬人次，至2013年止營運總載客量約為2 億四千九百零六萬人，則2013 年，該年度載客量約為多少人次，可用下列何者表示?

(A) $4.748\times 10^5$人次 (B) $4.748\times 10^6$人次 (C) $4.748\times 10^7$人次 (D) $4.748\times 10^8$人次
解：
2013 年載客量約為2 億四千九百零六萬減去2 億零一百五十八萬 = $2.4906\times 10^8 - 2.0158\times 10^8 = 0.4748\times 10^8 == 4.748\times 10^7$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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13 已知大大文具店中販售的彩色筆每枝售價35 元，鋼珠筆每枝售價28 元，若小民前往文具店，兩種筆皆有購買，結算後應付總金額為210 元。請問：彩色筆與鋼珠筆，他共買了幾枝？

(A) 4 枝(B) 5 枝(C) 6 枝(D) 7 枝

解：假設小民買了彩色筆a枝及鋼珠筆b枝，則35a+28b=210。
由於a及b皆為自然數，因此a=2, b=5，則a+b=2+5=7

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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14. 如下圖，$\angle C=\angle D=\angle E=90^\circ$，且$F$是$\overline{AB}$的中點，則下列何者正確？

(A) $\overline{FE}<\overline{FC}<\overline{FD}$  (B) $\overline{FD}<\overline{FC}<\overline{FE}$ (C) $\overline{FC}<\overline{FE}<\overline{FD}$ (D) $\overline{FE}=\overline{FC}=\overline{FD}$     

解：由於F為三個直角三角形的外心，所以A、C、D、E、B皆在同一外接圓上(圓心為F)，因此F至各頂點距離皆相等，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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15. 在座標平面上，兩直線分別為L、M，已知點(-3,a)在直線L 上，且直線L 的方程式為$y=2x+7$，若直線M方程式為$y=ax-1$，則M不通過第幾象限？

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

解：

點(-3,a)代入直線L，可得a=-6+7=1，因此 直線M方程式為$y=x-1$。

該直線不通過第二象限，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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16. 已知一元二次方程式$mx^2+6mx+n=0$的兩根相等，且$m\>0$，則$m:n$=？

 (A)1：6 (B) 1：9 (C) 6：1 (D) 9：1

解：兩根相等，則$36m^2-4mn=0\Rightarrow 4m(9m-n)=0\Rightarrow n=9m\Rightarrow m:n=m:9m=1:9$，

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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17. 化簡$(x^2-8x+7)+(5x^2+x-12)$後，下列何者為其因式？
 (A) 2x+1 (B) 2x-1 (C) 3x+1 (D) 3x-1

解： $$(x^2-8x+7)+(5x^2+x-12)=6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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18. 如下圖，$\angle A=120^\circ, \angle C_1=140^\circ, \angle C_2=120^\circ, \angle C_3=70^\circ, \angle C_4=60^\circ$。如果畫出經過A、B、D三點的圓，則此圓會經過下列哪一個點？

(A) $C_1$ (B) $C_2$  (C) $C_3$  (D) $C_4$

解：

該角與角A互補，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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19. 右圖數線上，A、B、C、D 四點所表示的數分別為a 、b 、c 、d ，已知a 與b 互為相反數，且$\overline{AB}=6\overline{BC}$，D點為A與C的中點，若將B 點向右平移2 個單位後，可到達C 點，則D點所代表的數d 為何？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

解：
a 與b 互為相反數$\Rightarrow$b=-a
將B 點向右平移2 個單位後，可到達C 點$\Rightarrow$c=b+2=-a+2
D點為A與C的中點$\Rightarrow$d=(a+c)/2=(a-a+2)/2=1

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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20. 已知$x\ne 0, y\ne 0$，若$\frac{\left|x-y\right|}{\left|3x+y\right|}=0$，則$\frac{\left|x+y \right|}{\left|3x-y\right|}=$？(A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) 1 (D) 2

解：$\frac{\left|x-y\right|}{\left|3x+y\right|}=0\Rightarrow \left|x-y\right|=0\Rightarrow x=y$
因此$\frac{\left|x+y \right|}{\left|3x-y\right|}=\frac{\left|x+x \right|}{\left|3x-x\right|}= \frac{\left|2x \right|}{\left|2x\right|}=1$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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21. 如下圖，正五邊形ABCDE 的兩邊與圓O 相切，則正五邊形ABCDE 內的$\widehat{AC}$=?

(A) 36° (B) 72° (C) 108° (D) 144°

解：

五邊形內角總和為$(5-2)\times 180=540°$，且正五邊形的每一內角=$\frac{540}{5}=108°$。由上圖可知：$\angle AOC=540-90-\angle E-\angle D-90=540-90-108-108-90=144°$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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22. 如右圖，將長方形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四塊，若E、F、G 三點分別在$\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{CD}$上，$\overline{BF}:\overline{FC}=1:3$及E、G分別為$\overline{AB}、\overline{CD}$的中點，則(甲＋丙)面積：(乙＋丁)面積的比值為何？

(A) 1/2  (B)7/9   (C) 5/11  (D) 9/13

解：

連接E及G(如上圖)，則$\triangle DEG$面積=$\triangle EGF$面積 =戊(由於兩三角形有相同的底，且高均相等)且甲=戊。
由於甲+戊=丙+丁+戊，所以甲=丙+丁。
又$\overline{BF}:\overline{FC}=1:3$，則丁=3丙，甲=丙+丁=4丙
因此(甲＋丙)面積：(乙＋丁)面積=(4丙+丙):(2戊+3丙)=5丙:(2甲+3丙)=5丙:11丙=5:11
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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23.   $\triangle ABC$的內心為$I$，若分別以$\overline{AB},\overline{BC}與\overline{AC}$三邊為對稱軸，做出內心Ｉ點的對稱點$P,Q與R$三點，連接$\overline{PQ},\overline{QR}與\overline{RP}$形成$\triangle PQR$，請問I點為$\triangle PQR$的？心。

(A) 內心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 以上皆非

解：

依題意作圖如上，由於P、Q、R為I之對稱點，所以$\overline{IP}\bot\overline{AB},  \overline{IQ}\bot\overline{BC}及\overline{IR}\bot\overline{AC}$且$\overline{PE}=\overline{EI},   \overline{IG}=\overline{GQ}及\overline{IF}=\overline{FR}$
又I為內心，所以$\overline{IE}=\overline{IG}=   \overline{IG}$。因此$\overline{IP}=\overline{IQ}=   \overline{IR}$，也就是I至三頂點距離相等，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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24. 計算$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{72}}{3}$，其結果介於下列哪兩個整數之間？(A) 9 和 10 (B) 8 和 9 (C) 7 和 8 (D) 6 和 7

解： $$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{72}}{3}=5\sqrt{2}+\frac{6\sqrt{2}}{3}\approx 7\sqrt{2}=7\times 1.4= 9.8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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25. 如下圖，圖 O 為$\triangle   ABC$的內切圓，與$triangle   ABC$的三邊$\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}$分別相切於 D、E、F 三點，且$\angle   C=90^\circ$。若$\overline{AB}=5,\overline{AC}=3$，則灰色面積=？

(A)  $4-\pi$  (B)1   (C)$\frac{\pi}{4}$   (D)  $1-\frac{\pi}{4}$

解：

在直角$\triangle   ABC$中，由於$\overline{AB}=5,\overline{AC}=3$，所以$\overline{BC}=4$。
令內切圓半徑=r，見上圖，則$\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}\Rightarrow   5=(3-r)+(4-r)\Rightarrow   r=1$。
灰色面積=正方形減去四分之一圓=$1-\frac{\pi}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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26.   若 f(x)為一次函數，且函數通過(0,-1)、(1, 2)兩點，已知P點在此函數圖形上，且P點與y
軸的距離為 3，則此P點到x軸的距離可能為何？

(A) 4/3    (B) 2/3    (C)  8    (D)9 

解：
令f(x)=ax+b，將(0,-1)、(1, 2)代入，可得a=3,b=-1，因此f(x)=3x-1
由題意可知P點座標為(3, m)或(-3,m)，將(3,m)代入f(x)可得m=8；將(-3,m)代入可得m=-10，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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27. 如下圖，ABCD 為一菱形，$\angle   ABC=60^\circ$，圖中的小圓是$\triangle   ACD$的內切圓，大圓是$\triangle   ABC$的外接圓，則小圓和大圓面積的比為何？

(A) 1：4 (B) π：4 (C) 1：2 (D) 1：9

解：

由於ABCD 為一菱形($\overline{AB}=\overline{BC}$)且$\angle   ABC=60^\circ$，所以$\triangle   ABC$為一正三角形；
又$\overline{AC}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}$，所以$\triangle  DAC$也是正三角形；
此題相當於求一正三角形的外接圓與內切圓的面積比例。本題可利用正三角形的重心與外心為同一點之特性。
令正三角形的頂點至底邊的長度為a，則外接圓的半徑為$\frac{2a}{3}$，內切圓的半徑為$\frac{a}{3}$，兩者比例為2:1  (重心的特性)，因此面積比為4:1
故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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28.   . 如下圖，P 為△ABC 內某一點，$\overline{PA}=，\overline{PB}，\overline{PC}$將△ABC 分割成甲、乙、丙三個小三角形。若將其剪下，並將$\overline{AB}=，\overline{BC}，\overline{CA}$排列在一直線 L 上，則在 L 同側的三個 P 點會共線且與L 平行，試問 P 點必為△ABC 的哪一個心？

(A) 外心 (B) 內心 (C) 重心 (D) 以上皆非

解：
三個 P 點會共線且與L 平行表示三個P點與L的距離相等，也就是P點至三邊的距離等長，其為內心，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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29. 如右圖，已知 B、C、F、E 四點在同一直線上，$\overline{AB}=\overline{AC}，\overline{BD}、\overline{CD}$分別為$\angle   ABC、\angle   ACE$的角平分線，且$\overline{DF}$為$\overline{CD}$的垂直平分線，若$\angle 1=20$度，則$\angle BAC-\angle BDE$？

(A)10度 (B)20度 (C)30度 (D)40度

解：

$\overline{BD}$為$\angle   ABC$的角平分線$\Rightarrow   \angle   ABD=\angle   1=20^\circ$
$\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow   \angle   ACB=\angle   B=40^\circ\Rightarrow  \angle A=180-40-40=100^\circ$
$\overline{CD}$為$\angle   ACE$的角平分線$\Rightarrow   \angle   DCE=\frac{\angle ACE}{2}=\frac{180-40}{2}=70^\circ$
$\overline{DF}$為$\overline{CD}$的垂直平分線$\Rightarrow   \angle   E=\angle   DCE=70^\circ\Rightarrow   \angle   CDE=180-70-70=40^\circ$
在$\triangle   BCD中,   \angle CDB=180-20-40-70=50^\circ\Rightarrow   \angle   D=50+40=90^\circ$
因此$\angle BAC-\angle BDE=100-90=10^\circ$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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30.   如右圖，已知梯形 ABCD，$\overline{AB}//\overline{DC}，\overline{AB}=\overline{AD}$=4公分，若$\angle A$=60度，$\angle ABC$=150度，，則梯形面積為何？

(A)$4\sqrt{3}$  平方公分  (B)$6\sqrt{3}$  平方公分    (C)$8\sqrt{3}$  平方公分    (D)$12\sqrt{3}$  平方公分  

解：

過B點，畫一垂線$\overline{BE}$，E在直線$\overline{CD}$上，如上圖
由於$\overline{AB}=\overline{AD}$且$\angle A$=60度，所以$\triangle   ABD$為一正三角形
由於$\triangle   CBD$之三內角為30-60-90，所以$\overline{CD}=2\overline{BD}=8$
由於$\triangle   BDE$之三內角也為30-60-90，所以$\overline{BE}= \overline{BD} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
梯形面積=$\frac{(\overline{AB}+\overline{CD})\overline{BE}}{2}=\frac{(4+8)\times2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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-- END --