103學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解
說明:單選題共 40 題。
1.設x,y為實數,若23x=27,207y=81,則3x−4y=
(A)-3(B)3(C)0(D)- 2(E)2 。
解:{23x=27207y=81⇒{xlog23=3log3y(log23+log9)=4log3⇒{x=3log3log23y=4log3log23+2log3⇒3x−4y=log23log3−log23+2log3log3=−2log3log3=−2
故選(D)
(A)1/2 (B)1/4 (C) 1/8 (D) 3/8
解:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ⇒(√52)2=1+2sinθcosθ⇒sinθcosθ=54−12=18
故選(C)
解:
17 = 0.142857142857.... 142857循環
2014/6 = 335餘4,所以小數點後第 2014 位的數字是142857的第四個,故選(E)
5. 已知標準差σ=√1n∑ni=1(xi−μ)2,,試求2,10,10,14,4,8這 6 個數的標準差為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
此6個數的平均值μ=(2+10+10+14+4+4+8)/6=8
此6個數與平均值μ的距離分別為: 6,2,2,6,4,0,其平方值的和為36+4+4+36+16+0=96
平方值的平均值為96/6=16,所以標準差=√16=4,故選(D)
6. 試求sin47∘sin17∘+cos47∘cos17∘=(A)sin64(B)cos64(C)sin30(D)cos30(E)sin32 。
可利用cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ,因此本題 =cos(47−17)=cos30,故選(D)
7. 設α,β是x2+6x+1=0之二根,則(√α+√β)2=(A)-4 (B)4(C)0(D)8(E)-8 。
由題意可知:α+β=−6,α×β=1,因此這二根均為負數,即√α及√β均為虛數。
(√α+√β)2=α+β−2α×β=-6-2(兩虛數相乘需加負號)=-8,故選(E)
9. 若(2+√2)x+(1−√2)y=1−4√2,x,y為有理數,則x2+y2=?
(A)2(B)4(C)6(D)8 (E)10。
解:(2+√2)x+(1−√2)y=(2x+y)+(x−y)√2=1−4√2⇒{2x+y=1x−y=−4⇒x=−1,y=3⇒x2+y2=1+9=10
故選(E)
10. 已知a為實數,√−1=i,設i為x2+ax−i=0的一根,則a=
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2
將i代入,可得−1+ai+1−i=0⇒a=1,故選(D)
(A)-1 (B) 0 (C) i (D) -i (E) 1
解:(cos18°+isin18°)10=cos180°+isin180°=−1
故選(A)
解:|t→a+→b|=|(t,0)+(−2,3)|=|(−2+t,3)|=√(−2+t)2+9≥√9=3
故選(C)
正射影長為|→u⋅→v||→v|=|−6−2||(−2,2)|=82√2=2√2
故選(C)
14. 若90∘<θ<180∘且cosθ=−35,試求sin2θ=
(A)2425 (B)−2425 (C)1225 (D)1325 (E)−1325
解:
90∘<θ<180∘且cosθ=−35⇒sinθ=45,因此sin2θ=2sinθcosθ=2×45×−35=−2425
故選(B)
(A)[−42−36](B)[1001](C)[4236](D)[−4−323−6](E)[−42−3−6]
故選(E)
(A)2 (B) √2 (C) 2√2 (D) 2√3 (E)4√3
解:圓C:x2+y2−2x+6y−6=0⇒(x−1)2+(y+3)2=42⇒圓心O(1,-3),半徑r=4
圓心至直線L的距離=|3+12−5√32+42|=2,因此截線長度=¯AB=2×√42−22=4√3
故選(E)
17. 投擲兩粒公正的骰子1 次,則出現點數和為7 的機率為
(A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36 (E) 8/36
解:
擲兩粒公正的骰子1 次共有36種情形,其中(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2), (6,1)為點數和為7,共有6種情形,因此機率為6/36
故選(C)
H48=C118=165,故選(B)
19. 甲、乙、丙等6 人排成一列,且甲、乙、丙三人需分離,排列方式有幾種? (A)36(B)72(C)144(D)168(E)240 。
甲○乙○丙○共有3!x3!=6x6=36種排法
○甲○乙○丙也有36種排法
甲○○乙○丙也有36種排法
甲○乙○○丙也有36種排法
共有36x4=144種排法
故選(C)
故選(C)
令y=3x則原式為13y2−8427y+1=0⇒3y2−28y+9=0⇒y=9⇒x=2
故選(B)
故選(A)
(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
解:sinθ−√3cosθ=2(12sinθ−√32cosθ)=4(cosαsinθ−sinαcosθ)=2sin(θ−α)⇒−2≤sinθ−√3cosθ≤2
故選(B)
故選(D)
(A) x>3 (B)x<3 (C)13<x<3 (D) x<13 (E) x>13
故選\bbox[red,2pt]{(A)}
(A)0 (B) 1 (C) 3 (D)7 (E) 10
解:\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 } \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 } \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 } \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } =7
故選\bbox[red,2pt]{(D)}
(A)-13 (B) -3 (C) 3 (D) 5 (E) 9。
解:
將x=2代入可得2^5-3\times 2^3+2\times 2^2-4\times 2-5 = 32-24+8-8-5=3
故選\bbox[red,2pt]{(C)}
故選\bbox[red,2pt]{(C)}
28. 設x為正實數,求x+\frac{1}{x}之最小值為
(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) \sqrt{2} (E) \sqrt{3}
解:\frac { x+\frac { 1 }{ x } }{ 2 } \ge \sqrt { x\cdot \frac { 1 }{ x } } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } \ge 2
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
(A)\sqrt{5} (B)\sqrt{13} (C)5 (D)9 (E) 13
解:Rightarrow x^2+y^2\ge 13
故選\bbox[red,2pt]{(E)}
2014/4 = 503 餘 2,因此餘數為一組中的第二個,即4
故選\bbox[red,2pt]{(C)}
31. \bbox[red,2pt]{送分}
32. 滿足3<\left|x+\frac{1}{2}\right|<10的整數x有多少個?(A)11(B)12(C)13(D)14(E)15 。
x=3,4,5,..., 9 共7個、x=-4,-5,...,-10共7個,合計14個,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
33. 已知C^n_m=\frac{n!}{m!(n-m)!},n\ge m,求C^{10}_1+C^{10}_2+C^{10}_3+\dots +C^{10}_{10}=(A)1022(B)1023(C)1024(D)1025(E)1026。
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
34. 在1 和99 之間插入n 個數,使其成為一等差數列,則n 至少要多少時,才會使整個數列的和超過10000? (A)199(B)299(C)399(D)499(E)599 。
故選\bbox[red,2pt]{(A)}
35. 若四點A(1,6,2), B(3,5,1), C(4,5,0), D(k,4,2) 共平面,則k= (A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
解:
因此該平面方程式可寫成(x-1)+(y-6)+(z-2)=0,將D點代入可得 k-1-2=0,即k=3,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
36. 設a,b 為正整數,且整係數多項式f\left( x \right) =x^{ 4 }+ax^{ 3 }-2x^{ 2 }+bx+2有一次因式,則a+b=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
x=k=1代入可得 1+a-2+b+2=0,則a+b=-1,不符正整數的要求
x=k=-1代入可得 1-a-2-b+2=0,則a+b=1,不符正整數的要求
x=k=2代入可得 16+8a-8+2b+2=0,則8a+2b=-10,不符正整數的要求
x=k=-2代入可得 16-8a-8-2b+2=0,則8a+2b=10,即4a+b=5, 由於a,b 為正整數,所以a=1,b=1, a+b=2
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
37. 解\log _{ \frac { 1 }{ 4 } }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } } \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0,x=(A)2^{-1}(B)2^{0}(C)2^{1}(D)2^{2}(E)2^{3} 。
故選\bbox[red,2pt]{(E)}
38. 設a,b為實數,滿足\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right) }^{ 2 }=0,求a+b=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
故選\bbox[red,2pt]{(D)}
39. 試求多項式f\left( x \right) ={ \left( 3x^{ 4 }-5x^{ 2 }+6x-3 \right) }^{ 2 }除以x-1的餘式為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
40. 設i=\sqrt{-1},求i+i^2+i^3+\dots+i^{97}+i^{98}+i^{100}=(A)-1(B)0(C)1(D)i(E)-i 。
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
題目怪怪,竟然漏印i^{99}
題目怪怪,竟然漏印i^{99}
-- END --
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