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2018年2月1日 星期四

103學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解


103學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解


說明:單選題共 40 題。
1.設x,y為實數,若23x=27207y=81,則3x4y=
(A)-3(B)3(C)0(D)- 2(E)2 。


{23x=27207y=81{xlog23=3log3y(log23+log9)=4log3{x=3log3log23y=4log3log23+2log33x4y=log23log3log23+2log3log3=2log3log3=2
故選(D)

2. 已知0<θ<45,且sinθ+cosθ=52,則sinθcosθ=
(A)1/2  (B)1/4  (C) 1/8 (D) 3/8

(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ(52)2=1+2sinθcosθsinθcosθ=5412=18
故選(C)


3. 若將17化成小數,試問小數點後第 2014 位的數字是(A)1(B)2(C)4(D)5(E)8 。


17 = 0.142857142857.... 142857循環
2014/6 = 335餘4,所以小數點後第 2014 位的數字是142857的第四個,故選(E)


4.   

5. 已知標準差σ=1nni=1(xiμ)2,,試求2,10,10,14,4,8這 6 個數的標準差為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


此6個數的平均值μ=(2+10+10+14+4+4+8)/6=8
此6個數與平均值μ的距離分別為:   6,2,2,6,4,0,其平方值的和為36+4+4+36+16+0=96
平方值的平均值為96/6=16,所以標準差=16=4,故選(D)


6. 試求sin47sin17+cos47cos17=(A)sin64(B)cos64(C)sin30(D)cos30(E)sin32 。


可利用cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,因此本題   =cos(4717)=cos30故選(D)


7. 設α,βx2+6x+1=0之二根,則(α+β)2=(A)-4 (B)4(C)0(D)8(E)-8 。


由題意可知:α+β=6,α×β=1,因此這二根均為負數,即αβ均為虛數。
(α+β)2=α+β2α×β=-6-2(兩虛數相乘需加負號)=-8,故選(E)


8.   


9. 若(2+2)x+(12)y=142x,y為有理數,則x2+y2=?
(A)2(B)4(C)6(D)8  (E)10。  
(2+2)x+(12)y=(2x+y)+(xy)2=142{2x+y=1xy=4x=1,y=3x2+y2=1+9=10
故選(E)


10. 已知a為實數,1=i,設ix2+axi=0的一根,則a=
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1    (E)   2


i代入,可得1+ai+1i=0a=1,故選(D)


11. 求(cos18°+isin18°)10=
 (A)-1    (B)   0   (C)   i   (D)  -i   (E)   1

(cos18°+isin18°)10=cos180°+isin180°=1
故選(A)


12. 設t為實數,a=(1,0),b=(2,3),試求|ta+b|之最小值為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
|ta+b|=|(t,0)+(2,3)|=|(2+t,3)|=(2+t)2+99=3
故選(C)


13 設A(1,2),B(2,1),C(3,4),試求ABAC方向上的正射影長為(A)2(B)2(C)22(D)32(E)42

:令u=AB=(3,1),v=AC=(2,2)
正射影長為|uv||v|=|62||(2,2)|=822=22
故選(C)

14. 若90<θ<180cosθ=35,試求sin2θ=
(A)2425  (B)2425 (C)1225 (D)1325 (E)1325

90<θ<180cosθ=35sinθ=45
因此sin2θ=2sinθcosθ=2×45×35=2425
故選(B)


15. 已知A=[1231],試求A2+A=

(A)[4236](B)[1001](C)[4236](D)[43236](E)[4236]

A=[1231]A2+A=[1231][1231]+[1231]=[16223+36+1]+[1231]=[5005]+[1231]=[4236]
故選(E)


16. 求直線L:3x4y=5被圓C:x2+y22x+6y6=0所截出的線段長為
 (A)2 (B) 2 (C) 22 (D) 23  (E)43


C:x2+y22x+6y6=0(x1)2+(y+3)2=42圓心O(1,-3),半徑r=4
圓心至直線L的距離=|3+12532+42|=2,因此截線長度=¯AB=2×4222=43
故選(E)


17. 投擲兩粒公正的骰子1 次,則出現點數和為7 的機率為
 (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36  (E) 8/36


擲兩粒公正的骰子1 次共有36種情形,其中(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2), (6,1)為點數和為7,共有6種情形,因此機率為6/36
故選(C)


18. 已知方程式x+y+z+u=8 ,試求此方程式的非負整數解有幾組解? (A)55(B)165(C)220(D)330(E)495。


H48=C118=165故選(B)

19. 甲、乙、丙等6 人排成一列,且甲、乙、丙三人需分離,排列方式有幾種? (A)36(B)72(C)144(D)168(E)240 。


甲○乙○丙○共有3!x3!=6x6=36種排法
○甲○乙○丙也有36種排法
甲○○乙○丙也有36種排法
甲○乙○○丙也有36種排法
共有36x4=144種排法
故選(C)


20. 求12+22+32+42++292+302= (A)4650(B)4960(C)9455(D)9920(E)216225。

12+22++302=30k=1k2=30×31×616=9455
故選(C)


21. 設x 為正實數,解方程式32x184×3x3+1=0(A)x=1 (B)x=2 (C)x=3(D)x=6(E)x=9 。


y=3x則原式為13y28427y+1=03y228y+9=0y=9x=2
故選(B)


22. 求tan0=(A)0(B)1(C)-1(D)2(E)-2。


tan0=sin0cos0=01=0
故選(A)


23.   求函數y=sinθ3cosθ的最大值為
(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。

sinθ3cosθ=2(12sinθ32cosθ)=4(cosαsinθsinαcosθ)=2sin(θα)2sinθ3cosθ2
故選(B)


24. 求4(cos40°+isin40°)×3(cos50°+isin50°)=(A)6(B)12(C)18(D)12i (E)6i 。

4(cos40°+isin40°)×3(cos50°+isin50°)=12(cos40°cos50°+icos40°sin50°+isin40°cos50°sin40°sin50°)=12(cos40°cos50°+icos40°sin50°+isin40°cos50°cos50°cos40°)=12(icos40°sin50°+isin40°cos50°)=12isin(40°+50°)=12i
故選(D)


25. 解不等式2log13(x1)<log13(x+1)的解為
(A)  x>3 (B)x<3   (C)13<x<3   (D)  x<13  (E) x>13

2log13(x1)<log13(x+1)2log(x1)log3<log(x+1)log3log(x+1)log32log(x1)log3<0log(x+1)2log(x1)log3<0log(x+1)<2log(x1)x+1<(x1)2x23x>0x(x3)>0x>3x<0(,
故選\bbox[red,2pt]{(A)}

26.   求\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right) =
(A)0    (B) 1    (C)  3    (D)7   (E) 10
\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 }  \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } =7
故選\bbox[red,2pt]{(D)}


27. 求(x^5-3x^3+2x^2-4x-5)\div (x-2)的餘式為

(A)-13 (B) -3 (C) 3 (D) 5 (E) 9。


將x=2代入可得2^5-3\times 2^3+2\times 2^2-4\times 2-5 = 32-24+8-8-5=3
故選\bbox[red,2pt]{(C)}

28. 設x為正實數,求x+\frac{1}{x}之最小值為

(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) \sqrt{2} (E)  \sqrt{3} 

\frac { x+\frac { 1 }{ x }  }{ 2 } \ge \sqrt { x\cdot \frac { 1 }{ x }  } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } \ge 2
故選\bbox[red,2pt]{(B)}

29. 設x為正實數,且2x+3y=13,求x^2+y^2之最小值

(A)\sqrt{5}  (B)\sqrt{13}  (C)5 (D)9  (E) 13

利用柯西不等式,即(x^2+y^2)(2^2+3^2)\ge(2x+3y)^2\Rightarrow (x^2+y^2)\times 13\ge 13^2
Rightarrow x^2+y^2\ge 13
故選\bbox[red,2pt]{(E)}


30.  求2^{2014}的個位數為(A)0(B)2(C)4(D)6(E)8 。


2^1,2^2,2^3,2^4,2^5的個位數分別為2,4,8,6,2,每四個一個循環。
2014/4 = 503 餘 2,因此餘數為一組中的第二個,即4
故選\bbox[red,2pt]{(C)}

31.  \bbox[red,2pt]{送分}

32.  滿足3<\left|x+\frac{1}{2}\right|<10的整數x有多少個?(A)11(B)12(C)13(D)14(E)15 。


x=3,4,5,..., 9 共7個、x=-4,-5,...,-10共7個,合計14個,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

33.  已知C^n_m=\frac{n!}{m!(n-m)!},n\ge m,求C^{10}_1+C^{10}_2+C^{10}_3+\dots +C^{10}_{10}=(A)1022(B)1023(C)1024(D)1025(E)1026。

f\left( x,y \right) ={ \left( x+y \right)  }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }x^{ n }y^{ 10-n } } \Rightarrow f\left( 1,1 \right) =2^{ 10 }=C^{ 10 }_{ 0 }+C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }\\ \Rightarrow C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }=2^{ 10 }-C^{ 10 }_{ 0 }=1024-1=1023
故選\bbox[red,2pt]{(B)}

34.  在1 和99 之間插入n 個數,使其成為一等差數列,則n 至少要多少時,才會使整個數列的和超過10000? (A)199(B)299(C)399(D)499(E)599 。


在1 和99 之間插入n 個數表示此數列有n+2個數,其中a_1=1,a_{n+2}=99,數列總和為\frac{(1+99)(n+2)}{2}=50(n+2)。依題意50(n+2)>10000\Rightarrow n+2>200\Rightarrow n>198

故選\bbox[red,2pt]{(A)}

35.  若四點A(1,6,2), B(3,5,1), C(4,5,0), D(k,4,2) 共平面,則k= (A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
\overrightarrow{AB}=(2,-1,-1), \overrightarrow{AC}=(3,-1,-2)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (1,1,1)
因此該平面方程式可寫成(x-1)+(y-6)+(z-2)=0,將D點代入可得 k-1-2=0,即k=3,故選\bbox[red,2pt]{(C)}

36.  設a,b 為正整數,且整係數多項式f\left( x \right) =x^{ 4 }+ax^{ 3 }-2x^{ 2 }+bx+2有一次因式,則a+b=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


由題意可知,其一次因式為x+k,其中k=1,-1,2,-2,有四種可能
x=k=1代入可得 1+a-2+b+2=0,則a+b=-1,不符正整數的要求
x=k=-1代入可得 1-a-2-b+2=0,則a+b=1,不符正整數的要求
x=k=2代入可得 16+8a-8+2b+2=0,則8a+2b=-10,不符正整數的要求
x=k=-2代入可得 16-8a-8-2b+2=0,則8a+2b=10,即4a+b=5, 由於a,b 為正整數,所以a=1,b=1, a+b=2
故選\bbox[red,2pt]{(B)}

37.  解\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0,x=(A)2^{-1}(B)2^{0}(C)2^{1}(D)2^{2}(E)2^{3} 。

\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0\Rightarrow \frac { -1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } +\log _{ 2 }{ x } -\frac { 3 }{ 2 } =0\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow \log _{ 2 }{ x } =3\Rightarrow x={ 2 }^{ 3 }
故選\bbox[red,2pt]{(E)}

38.  設a,b為實數,滿足\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0,求a+b=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。

\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow \begin{cases} a-b-2=0 \\ a+2b-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=4
故選\bbox[red,2pt]{(D)}

39.  試求多項式f\left( x \right) ={ \left( 3x^{ 4 }-5x^{ 2 }+6x-3 \right)  }^{ 2 }除以x-1的餘式為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


以f(1)=(3-5+6-3)^2=1故選\bbox[red,2pt]{(A)}

40.  設i=\sqrt{-1},求i+i^2+i^3+\dots+i^{97}+i^{98}+i^{100}=(A)-1(B)0(C)1(D)i(E)-i 。


i+i^2+i^3+i^4=0,每四個一組的和為0,1~100剛好分成25組,所以總和為0
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
題目怪怪,竟然漏印i^{99}


-- END --

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