106學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分：選擇題（占 74 分 ）一、單選題
1. 設\(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\) 為實係數多項式函數。若\(f\left(1\right)=f\left(2\right)=0\) 且\(f\left(3\right)=4\) ，則\(a+2b+c\)的值是下列哪一個選項？
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
解：
由於\(x=1,x=2\)為函數的解，原函數可以寫成\(f\left(x\right)=(mx+n)(x-1)(x-2)\)；又原函數\(x^3\)的係數為1，所以原函數可以再簡化成\(f\left(x\right)=(x+n)(x-1)(x-2)\)。
$$f\left(3\right)=4 \Rightarrow (n+3)\times 2\times 1=4 \Rightarrow n=-1 \Rightarrow f\left(x\right)=(x-1)(x-1)(x-2) = x^3-4x^2+5x-2 \\ \Rightarrow a=-4,b=5,c=-2 \Rightarrow a+2b+c = -4+10-2 =4$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
2. 下列哪一個選項的值最大？
(1) \(\log_2{3}\) (2) \(\log_4{6}\) (3) \(\log_8{12}\) (4) \(\log_{16}{24}\) (5) \(\log_{32}{48}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
3. 有一個不公正的骰子，投擲一次出現1 點的機率與出現3 點的機率之和是0.2，出現2 點的機率與出現4 點的機率之和是0.4，出現5 點的機率與出現6 點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。
(2) 出現4 點的機率大於出現3 點的機率
(3) 出現偶數點的機率是0.5
(4) 出現奇數點的機率小於0.5
(5) 投擲點數的期望值至少是3
解：
(5)
p(1)+p(3)=0.2 期望值最小出現在p(1)=0.2且p(3)=0，期望值為\(1\times 0.2+3\times 0=0.2\)
p(2)+p(4)=0.4 期望值最小出現在p(2)=0.4且p(4)=0，期望值為\(2\times 0.4+4\times 0=0.8\)
p(5)+p(6)=0.4 期望值最小出現在p(5)=0.4且p(6)=0，期望值為\(5\times 0.4+6\times 0=2\)
期望值至少為0.2+0.8+2=3
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
二、多選題
4. 考慮實數\(a,b,c\) ，其中\(a\ne 0\)。令\(\Gamma\)為\(y=ax^2+bx+c\)的圖形。試選出正確的選項。
(2) 若\(a<0\)，則\(\Gamma\)會通過第一象限
(3) 若\(b^2-4ac>0\)，則\(\Gamma\)會通過第一象限
(4) 若\(c>0\)，則\(\Gamma\)會通過第一象限
(5) 若\(c<0\)，則\(\Gamma\)會通過第一象限
(1) 圖形開口向上，一定會通過第一象限
(2) 圖形開口向下，不一定會通過第一象限，如下圖
(3) 有相異二實數解，不一定會通過第一象限，如下圖
(4)若\(c>0\)，則\(\Gamma\)一定會通過第一象限
(5)若\(c<0\)，則\(\Gamma\)不一定會通過第一象限，如下圖
5. 設\(a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\)是一公比為\(\frac{1}{2}\)的無窮等比數列且\(a_1=1\)。試問以下哪些數列會收斂？$$\left( 1 \right) -a_{ 1 },-a_{ 2 },\dots ,-a_{ n },\dots \\ \left( 2 \right) a_{ 1 }^{ 2 },a_{ 2 }^{ 2 },\dots ,a_{ n }^{ 2 },\dots \\ \left( 3 \right) \sqrt { a_{ 1 } } ,\sqrt { a_{ 2 } } ,\dots ,\sqrt { a_{ n } } ,\dots \\ \left( 4 \right) \frac { 1 }{ a_{ 1 } } ,\frac { 1 }{ a_{ 2 } } ,\dots ,\frac { 1 }{ a_{ n } } ,\dots \\ \left( 5 \right) \log { a_1 },\log{ a_2 },\dots,\log{ a_n },\dots$$
只要公比滿足: \(-1<r\le 1\)就是收斂數列
(2) \(r={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4}\)
(3) \(r=\sqrt{{\frac{1}{2}}}<1\)
(4) \(r=2\)
(5) 非等比數列
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}\)
6. 坐標平面上， \(\Gamma_1\)為\(y=\log_2{x}\)的圖形，\(\Gamma_2\)為\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)的圖形。下列關於\(\Gamma_1\)與\(\Gamma_2\)的敘述，試選出正確的選項。
(1) \(\Gamma_1\)的圖形凹口向下
(2) \(\Gamma_2\)的圖形凹口向下
(3) \(\Gamma_1\)的圖形均在\(x\)軸的上方
(4) \(\Gamma_2\)的圖形均在\(y\)軸的右方
(5) \(\Gamma_1\)與\(\Gamma_2\)恰交於一點
(2) \(\Gamma_2\)的圖形凹口向上
(3) \(\Gamma_1\)的y值有正也有負
(4) 真數一定是正數
(5) 兩圖形只交於一點(1,0)
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}\)
7. 小明參加某次國文、英文、數學、自然、社會五個科目的測驗，每一科的分數均為0~100 分。已知小明國英數三科的分數分別為75, 80, 85 分。試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於80 分且五科標準差不大於5 分？
（註：標準差\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x-\mu)}^2}\)
(1) 自然75 分，社會80 分
(2) 自然與社會兩科皆80 分
(3) 自然與社會的平均85 分
(4) 自然與社會兩科之和不低於160 分且兩科差距不超過10 分
(5) 自然與社會兩科的分數都介於80 與82 分之間
解：
(1) 平均值=\(\frac{75+75+80+80+85}{5}=\frac{75+80+80+80+80}{5}<80\)(2)平均值=\(\frac{75+80+80+80+85}{5}=\frac{80+80+80+80+80}{5}=80\)
標準差=\(\sqrt{\frac{5^2+0+0+0+5^2}{5}}=\sqrt{10}<5\)
(3)平均值=\(\frac{75+80+85+85\times 2}{5}=82>80\)
若自然100，社會70(取兩科差距最大的情況)，則標準差=\(\sqrt{\frac{7^2+2^2+3^2+{18}^2+{12}^2}{5}}=\sqrt{106}>5\)
(4)平均值至少為\(\frac{75+80+85+160}{5}=80\)
若自然95，社會85(取兩科差距最大的情況)，則平均值=84，標準差=\(\sqrt{\frac{9^2+4^2+1^2+1^2+{11}^2}{5}}=\sqrt{44}>5\)
(5)自然與社會兩科的分數和至少160，所以平均值至少80
若自然82，社會80(取兩科差距最大的情況)，則平均值為80.4，標準差=\(\sqrt{\frac{{5.4}^2+{0.4}^2+{4.6}^2+{1.6}^2+{0.4}^2}{5}}=\sqrt{10.64}<5\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\)
三、選填題
A. 平面向量\(\overrightarrow{u}\)和向量\(\overrightarrow{v}\)互相垂直，且\(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(4,-7)\)。若\(\overrightarrow{u}\)的長度為6，則\(\overrightarrow{v}\)的長度為？
解：
$${ \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v } \right) }\cdot \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v } \right) =\left( 4,-7 \right) \cdot \left( 4,-7 \right) ={ \left| \overrightarrow { u } \right| }^{ 2 }-2\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } +{ \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }\\ \Rightarrow 16+49=6^{ 2 }-0+{ \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }=29\Rightarrow \left| \overrightarrow { v } \right| =\sqrt { 29 } $$
答：\(\bbox[red,2pt]{(\sqrt { 29 })}\)
B. 不等式\(x+y\le 47\)的所有非負整數解中，滿足\(x\ge y\)的解共有？組
由上表可知，共有\(2\times(1+2+\cdots+24)=24\times 25=600\)組解
答：\(\bbox[red,2pt]{(600)}\)
C. 坐標平面上，有兩點\(A(4,-1)\)與\(B(-2,2)\)。已知點\(C(x,y)\)滿足聯立不等式\(x+2y\ge 2\)、\(x-y\ge -4\)、\(y\le 8\)以及\(3x+y\le 23\)，當\(C\)點標為？時，\(\triangle ABC\)有最大的面積。
解：
A、B兩點恰好在直線\(x+2y=2\)上，因此最大面積出現在離該直線最遠距離的C點。即C點為\(y=8\)與\(3x+y=23\)的交點(5,8)
答：\(\bbox[red,2pt]{(5,8)}\)
第貳部分：非選擇題
一、某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 試寫出描述上述現象的轉移矩陣。（5 分）
(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？（8 分）
解：
(1)由題意可知\(0.85x+0.35y=x\)及\(0.15x+0.65y=y\)，相當於\(\begin{bmatrix} 85\% & 35\% \\ 15\% & 65\% \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)因此轉移矩陣=\(\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix}}\)
(2)由\(0.85x+0.35y=x\Rightarrow 0.15x=0.35y\)及\(x+y=1\)可得\(x+\frac{3}{7}x=1\Rightarrow x= \frac{7}{10}\)。因此甲券占全縣居民的\(\bbox[red,2pt]{70\%}\)和乙券占全縣居民的1-70%=\(\bbox[red,2pt]{30\%}\)會形成穩定狀態。
二、袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、 綠色、藍色代幣分別可兌換50 元、20 元及10 元。現從袋中取出代幣，每一 枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數X 代表取出1 枚代幣可兌換的金額 （單位：元）；隨機變數Y 代表一次取出2 枚代幣可兌換的金額（單位：元）。 已知X 的期望值為20。
(1) 試問藍色代幣有多少枚？（5 分）
(2) 試問\(Y\le 50\) 的機率\(P(Y\le 50)\)為何？（8 分）
解：
(1)
假設藍色代幣有\(a\)枚，則X 的期望值=\(\frac{4}{13+a}\times 50+\frac{9}{13+a}\times 20+ \frac{a}{13+a}\times 10=20\Rightarrow \frac{200+180+10a}{13+a}=20\Rightarrow a=12\)，即藍色代幣有\(\bbox[red,2pt]{12}\)枚。
(2)
目前袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣12枚，共4+9+12=25枚。
任取2枚代幣共有\(C^{25}_{2}=300\)種情形，其中\(Y\le 50\)的情形有
甲：2枚皆為綠色，Y=20+20=40，共有\(C^9_2=36\)種情形
乙：2枚皆為藍色，Y=10+10=20，共有\(C^{12}_2=66\)種情形
丙：1枚綠色1枚藍色，Y=20+10=30，共有\(9\times 12=108\)種情形
因此機率\(P(Y\le 50)=\frac{36+66+108}{300}=\frac{210}{300}=\bbox[red,2pt]{0.7}\)
-- END --
感謝詳解分享
回覆刪除選填題C，圖上的C點不是正確答案，可能引起學弟妹混淆
謝謝提醒，圖形已重新編修過了!
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