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2018年1月29日 星期一

104學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解


104學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解


單選題,每題2.5分,共40題,總分100分
1.設11+62=a+b,其中a是正整數且0b<1,則a=  (A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5 (E) 6

11+62=3+2a=4,故選(C)

2. 化簡(0.0625)0.75+(0.25)2.5 =  (A) -0.125  (B) 0.5  (C) 3.2  (D) 25 (E) 40

(0.0625)0.75+(0.25)2.5=(62510000)34+(14)52=((25100)2)34+((12)2)52=(14)32+(12)5=(12)3+(12)5=23+25=8+32=40,故選(E)


3. 設f(x)=27x3+12x2+5x1,求f(23)的值=
(A) -7  (B) 359  (C) 73   (D) 1127  (E) 5
f(23)=27×827+12×49+5×231=8+1631031=8+631=8+21=7
,故選(A)


4. 已知兩點A(3,1), B(9,b)皆在對數函數y=loga(x1)的圖形上,求實數a+b之值=
(A) 6   (B)  5  (C)  4  (D) 3  (E) 2

{1=loga2b=loga8{a=2ab=8{a=2b=3a+b=5
故選(B)

5. 某次考試中,由40題選擇題所組成的試卷,每題均有五個選項且其中只有一個是正確的。假如某考生每題皆完全任意地猜選一個選項,則此考生40題全部猜對的機率為
(A) 1540 (B)1405 (C) 5!40!   (D)405! (E) 0

:猜對一題的機率為1/5,因此40題皆猜對的機率為1540,故選(A)


6. 已知<an>為等差數列,且a2+a3+a10+a11=48,則a6+a7=
(A) 6  (B) 12  (C) 18  (D) 24  (E) 條件不足,無法作答

a2+a3+a10+a11=48(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=4a1+22d=482a1+11d=24(a1+5d)+(a1+6d)=24a6+a7=24
,故選(D)


7. 從羽球選手10人中(男生有6人、女生有4人)選出3男2女參加比賽,規定3位男生要安排在第一、三、五順位;且2位女生要安排在第二、四順位。則教練對此參賽選手的順位安排方法有幾種?  (A) 2880   (B) 1920  (C) 1440  (D) 960  (E) 720

第1順位有6種選擇(男生有6人)、第2順位有4種選擇(女生有4人)、第3順位有5種選擇(男生剩下5人)、第4順位有3種選擇(女生剩下3人)、第5順位有4種選擇(男生剩下6人),所以共有 6×4×5×3×4=1440安排方法,故選(C)


8. 假設依據某機場出境大廳過去的統計資料,在出境大廳的來賓中有25%要前往美國,20%要前往日本,40%要前往其他國家,15%為送機的友人。今天你在此機場的出境大廳遇到一位來賓,請問他要出國的機率是多少?  (A) 0  (B) 0.35  (C) 0.5  (D) 0.85  (E) 1

:除了15%為送機的友人,其他100%-15%=85%的人要出國,故選(D)


9. 設高三甲班的期末考數學科的成績普遍偏低,因此,老師給全班40人每人皆加了5分。請問全班數學新成績與原始成績的統計量,下列哪一個是不變的?
(A) 算術平均數  (B) 幾何平均數  (C) 中位數 (D) 眾數 (E) 標準差


標準差計算各數與平均值的距離,全班都加5分並不會改變其值,故選(E)


10. 以下是個五個散佈圖,哪一個散布圖中xy的相關係數是最小的?



x越大則y越大,其相關係數為正值、x越大則y越小,其相關係數為負值。
因此要選x越大則y越小的圖形,只有(C)與(D)符合條;但(C)比(D)在趨勢上更明顯,故選(C)


11. 設xy直角坐標平面上,兩直線L1:x2y+3=0L2:y=mx+k,若L1L2垂直,且L2通過點(4, 1),求實數m+k之值= (A) 9 (B) 7  (C) 5  (D) 3  (E) 1


直線L1:x2y+3=0的斜率為12L2:y=mx+k的斜率為m,由於兩者垂直,所以斜率相乘為-1,即12×m=1m=2
L2通過點(4, 1),即1=4m+k1=8+kk=9m+k=2+9=7
故選(B)


12. 已知ABC的三邊長¯AB=3¯BC=7¯CA=8,則A=
(A) 120 (B) 75 (C) 60 (D) 45 (E) 30


利用餘弦定理:¯BC2=¯AB2+¯CA22¯ABׯCA×cosA49=9+6448cosAcosA=2448=12A=60°
故選(C)


13 已知圓方程式: x2+y222x+6y1=0,求此圓的面積=
(A) 12π (B) 11π  (C) 10π  (D) 9π  (E) 8π
x2+y222x+6y1=0(x222x+(2)2)+(y2+6y+32)1=(2)2+32(x2)2+(x+3)2=2+9+1=12=(23)2=23=12π
故選(A)

14. 設有二向量u=(1,2)v=(1,3),則uv的夾角=
(A) 60 (B) 75 (C) 120 (D) 135 (E) 150

uv=|u||v|cosθ1×12×3=1+4×1+9cosθ5=52cosθcosθ=12θ=135°
故選(D)


15. 有一個稜邊為10的正立方體,則其外接球的直徑=
(A)102 (B)103 (C)105 (D)55 (E)510


經過ABCD與圓心O點的平面如下圖
因此¯AC2=¯AB2+¯BC2(2r)2=(102)2+102=300 直徑2r = 103,故選(B)


16. 空間中,一直線L通過A(1,4,2)B(5,2,0)兩點,若L的對稱比例為 x+12=y4b=za1,則實數a+b之值= (A) -4  (B) -2 (C) 3 (D) 5 (E) 8
{1+12=44b=2a15+12=24b=0a1{2a=02=6b=a{a=2b=3a+b=5
,故選(D)


17. 設A=[1211],若A2=[xyzw],則實數y值= (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1  (E) 0

[1211][1211]=[xyzw]y=1×2+2×(1)=0
故選(E)


18. 拋物線y24x2y27=0的焦點?
(A) (-7,1)  (B) (-7,2)  (C) (-6, 1)  (D) (-6, 2)  (E) (1, -8)

y24x2y27=0(y22y+1)4x27=1(y1)2=4(x+7)頂點坐標為(-7, 1),因此焦點坐標為(-7+1, 1)=(-6,1)
故選(C)

19. 等比數列<an>,若a2=18a3=27,其公比= (A)32 (B)34 (C)34 (D) (A)23  (E)43
{a2=18a3=27{a1r=18a1r2=27a1ra1r2=18271r=23r=32
故選(A)


20. 設a,b皆為實數,若|ax+2|b之解為3x5,則a+b= (A) -4 (B) -2 (C) 1 (D) 3 (E) 6

|ax+2|bbax+2bb2axb2{b2axb2aifa>0b2axb2aifa<0{{b2a=5b2a=3{b2a=3b2a=5{a=2(),b=8a=2,b=8a+b=2+8=6
故選(E)


21. 已知x,y為實數,1=i,且滿足x+y+i=10+xyi,求(xy)2=?
(A) -12  (B) -10  (C) -8  (D) 10 (E) 12

x+y+i=10+xyi{x+y=10xy=1x<0,y<0(xy)2=x+y2xy=10+2=8
故選(C)


22. 若2x4x3+ax2+x+b可以被2x2+x+1整除,則實數a+b= (A) 8  (B) 6  (C)  4  (D)  2 (E) 0

:利用長除法
因此a=4, b=2, 所以a+b=6,故選(B)


23. 設多項式f(x)除以x25x+4,餘式為x+2;除以x25x+6,餘式為3x+4。則f(x)除以x24x+3之餘式?(A) 5x-2  (B) 4x-3  (C) 2x-1  (D) 3x+4  (E) x+2

f(x)={p(x)(x25x+4)+(x+2)q(x)(x25x+6)+(3x+4)r(x)(x24x+3)+(ax+b)={p(x)(x4)(x1)+(x+2)q(x)(x3)(x2)+(3x+4)r(x)(x3)(x1)+(ax+b){f(3)=3×3+4=3a+bf(1)=1+2=a+b{3a+b=13a+b=3{a=5b=2
故選(A)


24. 設1=i,若13i1+i=a+bi,且a,b皆為實數,求a+b= (A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) 0

13i1+i=(13i)(1i)(1+i)(1i)=24i2=12i=a+bia=1,b=2a+b=3,故選(C)


25. 方程式13x=log2x有多少實根? (A) 0  (B) 1  (C) 2 (D) 3 (E) 無限多個

:本題相當於求兩曲線y=13xy=log2x有幾個交點


故選(B)

26.   將7本相同的書全部分給甲、乙、丙三位學生,每人至少得1本,求分法數有幾種?
(A) 150    (B) 120    (C)  60    (D)32    (E) 15

每人先各分1本書,則此題相當於求 x+y+z=4的非負整數解有幾組?
H34=C64=15,故選(E)


27. 標準差  =   1nnk=1(xkμ)2=1nnk=1xk2μ2。今有10個數值資料   x1,x2,x3,,x10,已知x1+x2+x3++x10=160x21+x22+x23++x210=2720,求其標準差=
(A) 16    (B)  12    (C)8     (D)4    (E)2


EX=μ=160/10=16(EX)2=162=256,EX2=2720/10=272
標準差=272256=16=4,故選(D)

28.   設台灣民眾手機廠牌持有率分別為:甲30%、乙20%、丙15%、丁10%、不持有手機佔25%。若你此時在街頭看到一位民眾正在使用手機的條件下,則他正在使用甲牌門號的機率是多少?
(A) 40%    (B)30%   (C)  25%   (D) 22.5%   (E) 機率變化萬千,無法預測


使用手機的比率為1-25%=75%,因此答案為30%/75%=40%,故選(A)

29. 設ABC的三邊長分別¯AB=9¯BC=3¯AC=8,則ABC的面積=?
(A)35    (B)70    (C)235   (D)66   (E)36

令s=(9+3+8)/2=10,則ABC的面積=s(s9)(s3)(s8)=140=235
故選(C)


30.   若90<x<180sinx=45,則cosx2=
(A)15    (B)25   (C)35   (D)310   (E)710

90°<x<180°,sinx=45cosx=35=2cos2x21cos2x2=15cosx2=15(
故選\bbox[red,2pt]{(A)}

31.   右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示?



斜線區域在x-y=0的右邊,所以x-y>0;因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內,所以2x+3y+9>0,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

32.   已知\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.845123^{100}是137位數,求23^{25}是多少位數?
(A)34    (B) 35    (C)36    (D) 37   (E) 38

23^{100}是137位數\Rightarrow   136<\log{23^{100}}<137\Rightarrow   1.36<\log{23}<1.37 
\Rightarrow   1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37  \times 25   \Rightarrow   34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}} 是35位數,故選\bbox[red,2pt]{(B)}

33.   空間中三點   A(2,1,-1),B(2,3,7),C(2,-2,2),求\triangle   ABC的面積
(A)30 (B) 25 (C)15    (D) 10   (E) 5

\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)
\triangle   ABC的面積=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|   = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right|   =   \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right|  =15
故選\bbox[red,2pt]{(C)}

34.   若\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}經過矩陣列運算後,可簡化成矩陣\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix},求實數k值=
(A)-4    (B)-5    (C)-6  (D)-7    (E)-8

經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解,即\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8,故選\bbox[red,2pt]{(E)}

35.   設雙曲線\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,下列哪一個選項是\tau的一條漸近線?
(A)4x-3y=0   (B)4x+3y=12    (C)3x+4y=0   (D)3x-4y=12    (E)沒有漸近線

:由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=\pm3y,故選\bbox[red,2pt]{(A)}


36.   方程式   4\cos{x}=x有幾個實數解?(A)0個      (B)1個      (C)2個      (D)3個      (E)4個     


此題相當於求y=x,y=4\cos{x}兩圖形有幾個交點?

方程式   y=4\cos{x}上A、B兩點坐標分別為A(2\pi,4)、B(-\pi,-4);
因此直線y=x在A、B兩點之上,兩圖形只會交於三點
故選\bbox[red,2pt]{(D)}

37.   設x,y為實數,且x^2+y^2=16,求3x-4y的最大值?(A)10     (B)15     (C) 20     (D)25    (E)30

x=4\sin{\theta},y=4\cos{\theta} ,則3x-4y=12\sin { \theta  } -16\cos { \theta  } =20\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta  } -\frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta  }  \right) =20\left( \cos { \alpha  } \sin { \theta  } -\sin { \alpha  } \cos { \theta  }  \right) \\ =20\sin { \left( \theta -\alpha  \right)  } \Rightarrow -20\le 3x-4y\le 20
,故選\bbox[red,2pt]{(C)}

38.   因乾旱水源不足,假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連,則自來水公司共有幾種選擇方式?
(A) 18  (B)15  (C)12  (D)10  (E)8

共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357),10種方法,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

39.   設每一次擲二枚公正硬幣,若出現兩枚正面得120元,只有一枚正面得40元,沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為
(A)得40元    (B)得25元   (C)得10元   (D)不賺不賠   (E)賠5元


正正→得120元、正反→得40元、反正→得40元、反反→賠100元
以上四種情形的機率皆為1/4,所以期望值為(120+40+40-100)/4=25
故選\bbox[red,2pt]{(B)}

40.   求(\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}=
(A)\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}   (B)\frac{-\sqrt{3}+i}{2}   (C)\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}   (D)-i   (E)1

{ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° }  \right)  }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° }  \right)  }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1
故選\bbox[red,2pt]{(E)}



-- END --

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