104學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解
單選題,每題2.5分,共40題,總分100分
1.設√11+6√2=a+b,其中a是正整數且0≤b<1,則a= (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
解:√11+6√2=3+√2⇒a=4,故選(C)
解:(0.0625)−0.75+(0.25)−2.5=(62510000)−34+(14)−52=((25100)2)−34+((12)2)−52=(14)−32+(12)−5=(12)−3+(12)−5=23+25=8+32=40,故選(E)
(A) -7 (B) −359 (C) −73 (D) −1127 (E) 5
解:f(−23)=27×−827+12×49+5×−23−1=−8+163−103−1=−8+63−1=−8+2−1=−7
,故選(A)
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2
解:{1=loga2b=loga8⇒{a=2ab=8⇒{a=2b=3⇒a+b=5
故選(B)
5. 某次考試中,由40題選擇題所組成的試卷,每題均有五個選項且其中只有一個是正確的。假如某考生每題皆完全任意地猜選一個選項,則此考生40題全部猜對的機率為
(A) 1540 (B)1405 (C) 5!40! (D)405! (E) 0
解:猜對一題的機率為1/5,因此40題皆猜對的機率為1540,故選(A)
6. 已知<an>為等差數列,且a2+a3+a10+a11=48,則a6+a7=
(A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 條件不足,無法作答
解:a2+a3+a10+a11=48⇒(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=4a1+22d=48⇒2a1+11d=24⇒(a1+5d)+(a1+6d)=24⇒a6+a7=24
,故選(D)
7. 從羽球選手10人中(男生有6人、女生有4人)選出3男2女參加比賽,規定3位男生要安排在第一、三、五順位;且2位女生要安排在第二、四順位。則教練對此參賽選手的順位安排方法有幾種? (A) 2880 (B) 1920 (C) 1440 (D) 960 (E) 720
解:
第1順位有6種選擇(男生有6人)、第2順位有4種選擇(女生有4人)、第3順位有5種選擇(男生剩下5人)、第4順位有3種選擇(女生剩下3人)、第5順位有4種選擇(男生剩下6人),所以共有 6×4×5×3×4=1440安排方法,故選(C)
解:除了15%為送機的友人,其他100%-15%=85%的人要出國,故選(D)
9. 設高三甲班的期末考數學科的成績普遍偏低,因此,老師給全班40人每人皆加了5分。請問全班數學新成績與原始成績的統計量,下列哪一個是不變的?
(A) 算術平均數 (B) 幾何平均數 (C) 中位數 (D) 眾數 (E) 標準差
解:
標準差計算各數與平均值的距離,全班都加5分並不會改變其值,故選(E)
10. 以下是個五個散佈圖,哪一個散布圖中x、y的相關係數是最小的?
解:
x越大則y越大,其相關係數為正值、x越大則y越小,其相關係數為負值。
因此要選x越大則y越小的圖形,只有(C)與(D)符合條;但(C)比(D)在趨勢上更明顯,故選(C)
解:
直線L1:x−2y+3=0的斜率為12、L2:y=mx+k的斜率為m,由於兩者垂直,所以斜率相乘為-1,即12×m=−1⇒m=−2。
L2通過點(4, 1),即1=4m+k⇒1=−8+k⇒k=9⇒m+k=−2+9=7
故選(B)
(A) 120∘ (B) 75∘ (C) 60∘ (D) 45∘ (E) 30∘
解:
利用餘弦定理:¯BC2=¯AB2+¯CA2−2¯ABׯCA×cos∠A⇒49=9+64−48cos∠A⇒cos∠A=2448=12⇒∠A=60°
故選(C)
(A) 12π (B) 11π (C) 10π (D) 9π (E) 8π
解:x2+y2−2√2x+6y−1=0⇒(x2−2√2x+(√2)2)+(y2+6y+32)−1=(√2)2+32⇒(x−√2)2+(x+3)2=2+9+1=12=(2√3)2⇒半徑=2√3⇒面積=12π
故選(A)
14. 設有二向量→u=(1,−2)、→v=(1,3),則→u和→v的夾角=
(A) 60∘ (B) 75∘ (C) 120∘ (D) 135∘ (E) 150∘
故選(D)
(A)10√2 (B)10√3 (C)10√5 (D)5√5 (E)5√10
解:
經過ABCD與圓心O點的平面如下圖
因此¯AC2=¯AB2+¯BC2⇒(2r)2=(10√2)2+102=300⇒ 直徑2r = 10√3,故選(B)解:{−1+12=4−4b=2−a1−5+12=−2−4b=0−a1⇒{2−a=0−2=−6b=−a⇒{a=2b=3⇒a+b=5
,故選(D)
17. 設A=[121−1],若A2=[xyzw],則實數y值= (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0
解:[121−1][121−1]=[xyzw]⇒y=1×2+2×(−1)=0
故選(E)
(A) (-7,1) (B) (-7,2) (C) (-6, 1) (D) (-6, 2) (E) (1, -8)
解:y2−4x−2y−27=0⇒(y2−2y+1)−4x−27=1⇒(y−1)2=4(x+7)頂點坐標為(-7, 1),因此焦點坐標為(-7+1, 1)=(-6,1)
故選(C)
19. 等比數列<an>,若a2=18且a3=−27,其公比= (A)−32 (B)−34 (C)34 (D) (A)23 (E)43
故選(A)
解:|ax+2|≤b⇒−b≤ax+2≤b⇒−b−2≤ax≤b−2⇒{−b−2a≤x≤b−2aifa>0−b−2a≥x≥b−2aifa<0⇒{{b−2a=5−b−2a=−3{b−2a=−3−b−2a=5⇒{a=−2(不合),b=−8a=−2,b=8⇒a+b=−2+8=6
故選(E)
(A) -12 (B) -10 (C) -8 (D) 10 (E) 12
解:x+y+i=−10+xyi⇒{x+y=−10xy=1⇒x<0,y<0⇒(√x−√y)2=x+y−2√xy=−10+2=−8
故選(C)
解:利用長除法
因此a=4, b=2, 所以a+b=6,故選(B)
解:f(x)={p(x)(x2−5x+4)+(x+2)q(x)(x2−5x+6)+(3x+4)r(x)(x2−4x+3)+(ax+b)={p(x)(x−4)(x−1)+(x+2)q(x)(x−3)(x−2)+(3x+4)r(x)(x−3)(x−1)+(ax+b)⇒{f(3)=3×3+4=3a+bf(1)=1+2=a+b⇒{3a+b=13a+b=3⇒{a=5b=−2
故選(A)
解:1−3i1+i=(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2−4i2=−1−2i=a+bi⇒a=−1,b=−2⇒a+b=−3,故選(C)
解:本題相當於求兩曲線y=13x及y=log2x有幾個交點
故選(B)
(A) 150 (B) 120 (C) 60 (D)32 (E) 15
解:
每人先各分1本書,則此題相當於求 x+y+z=4的非負整數解有幾組?
即H34=C64=15,故選(E)
(A) 16 (B) 12 (C)8 (D)4 (E)2
解:
EX=μ=160/10=16⇒(EX)2=162=256,EX2=2720/10=272
標準差=√272−256=√16=4,故選(D)
標準差=√272−256=√16=4,故選(D)
28. 設台灣民眾手機廠牌持有率分別為:甲30%、乙20%、丙15%、丁10%、不持有手機佔25%。若你此時在街頭看到一位民眾正在使用手機的條件下,則他正在使用甲牌門號的機率是多少?
(A) 40% (B)30% (C) 25% (D) 22.5% (E) 機率變化萬千,無法預測
解:
使用手機的比率為1-25%=75%,因此答案為30%/75%=40%,故選(A)
29. 設△ABC的三邊長分別¯AB=9,¯BC=3,¯AC=8,則△ABC的面積=?
(A)√35 (B)√70 (C)2√35 (D)6√6 (E)3√6
解:
令s=(9+3+8)/2=10,則△ABC的面積=√s(s−9)(s−3)(s−8)=√140=2√35
30. 若90∘<x<180∘且sinx=45,則cosx2=
(A)√15 (B)√25 (C)√35 (D)√310 (E)√710
解:90°<x<180°,sinx=45⇒cosx=−35=2cos2x2−1⇒cos2x2=15⇒cosx2=√15(∵
31. 右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示?
解:
斜線區域在x-y=0的右邊,所以x-y>0;因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內,所以2x+3y+9>0,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
32. 已知\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.8451,23^{100}是137位數,求23^{25}是多少位數?
解:23^{100}是137位數\Rightarrow 136<\log{23^{100}}<137\Rightarrow 1.36<\log{23}<1.37
\Rightarrow 1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37 \times 25 \Rightarrow 34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}} 是35位數,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
33. 空間中三點 A(2,1,-1),B(2,3,7),C(2,-2,2),求\triangle ABC的面積
解:
\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)
\triangle ABC的面積=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right| = \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right| =15
34. 若\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}經過矩陣列運算後,可簡化成矩陣\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix},求實數k值=
解:
經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解,即\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8,故選\bbox[red,2pt]{(E)}
35. 設雙曲線\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,下列哪一個選項是\tau的一條漸近線?
解:
使用手機的比率為1-25%=75%,因此答案為30%/75%=40%,故選(A)
(A)√35 (B)√70 (C)2√35 (D)6√6 (E)3√6
解:
令s=(9+3+8)/2=10,則△ABC的面積=√s(s−9)(s−3)(s−8)=√140=2√35
故選(C)
(A)√15 (B)√25 (C)√35 (D)√310 (E)√710
解:90°<x<180°,sinx=45⇒cosx=−35=2cos2x2−1⇒cos2x2=15⇒cosx2=√15(∵
故選\bbox[red,2pt]{(A)}
31. 右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示?
解:
斜線區域在x-y=0的右邊,所以x-y>0;因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內,所以2x+3y+9>0,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
32. 已知\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.8451,23^{100}是137位數,求23^{25}是多少位數?
(A)34 (B) 35 (C)36 (D) 37 (E) 38
\Rightarrow 1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37 \times 25 \Rightarrow 34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}} 是35位數,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
33. 空間中三點 A(2,1,-1),B(2,3,7),C(2,-2,2),求\triangle ABC的面積
(A)30 (B) 25 (C)15 (D) 10 (E) 5
\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)
\triangle ABC的面積=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right| = \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right| =15
故選\bbox[red,2pt]{(C)}
34. 若\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}經過矩陣列運算後,可簡化成矩陣\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix},求實數k值=
(A)-4 (B)-5 (C)-6 (D)-7 (E)-8
經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解,即\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8,故選\bbox[red,2pt]{(E)}
35. 設雙曲線\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,下列哪一個選項是\tau的一條漸近線?
(A)4x-3y=0 (B)4x+3y=12 (C)3x+4y=0 (D)3x-4y=12 (E)沒有漸近線
解:由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=\pm3y,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
36. 方程式 4\cos{x}=x有幾個實數解?(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個 (E)4個
解:
此題相當於求y=x,y=4\cos{x}兩圖形有幾個交點?
方程式 y=4\cos{x}上A、B兩點坐標分別為A(2\pi,4)、B(-\pi,-4);
因此直線y=x在A、B兩點之上,兩圖形只會交於三點
37. 設x,y為實數,且x^2+y^2=16,求3x-4y的最大值?(A)10 (B)15 (C) 20 (D)25 (E)30
解:
38. 因乾旱水源不足,假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連,則自來水公司共有幾種選擇方式?
(A) 18 (B)15 (C)12 (D)10 (E)8
解:
共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357),10種方法,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
39. 設每一次擲二枚公正硬幣,若出現兩枚正面得120元,只有一枚正面得40元,沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為
解:由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=\pm3y,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
36. 方程式 4\cos{x}=x有幾個實數解?(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個 (E)4個
解:
此題相當於求y=x,y=4\cos{x}兩圖形有幾個交點?
因此直線y=x在A、B兩點之上,兩圖形只會交於三點
故選\bbox[red,2pt]{(D)}
37. 設x,y為實數,且x^2+y^2=16,求3x-4y的最大值?(A)10 (B)15 (C) 20 (D)25 (E)30
令x=4\sin{\theta},y=4\cos{\theta} ,則3x-4y=12\sin { \theta } -16\cos { \theta } =20\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta } -\frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta } \right) =20\left( \cos { \alpha } \sin { \theta } -\sin { \alpha } \cos { \theta } \right) \\ =20\sin { \left( \theta -\alpha \right) } \Rightarrow -20\le 3x-4y\le 20
,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
38. 因乾旱水源不足,假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連,則自來水公司共有幾種選擇方式?
(A) 18 (B)15 (C)12 (D)10 (E)8
共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357),10種方法,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
39. 設每一次擲二枚公正硬幣,若出現兩枚正面得120元,只有一枚正面得40元,沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為
(A)得40元 (B)得25元 (C)得10元 (D)不賺不賠 (E)賠5元
解:
正正→得120元、正反→得40元、反正→得40元、反反→賠100元
以上四種情形的機率皆為1/4,所以期望值為(120+40+40-100)/4=25
40. 求(\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}=
(A)\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4} (B)\frac{-\sqrt{3}+i}{2} (C)\frac{-1-\sqrt{3}i}{4} (D)-i (E)1
解:{ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° } \right) }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° } \right) }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1
-- END --
解:
以上四種情形的機率皆為1/4,所以期望值為(120+40+40-100)/4=25
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
40. 求(\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}=
(A)\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4} (B)\frac{-\sqrt{3}+i}{2} (C)\frac{-1-\sqrt{3}i}{4} (D)-i (E)1
解:{ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° } \right) }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° } \right) }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1
故選\bbox[red,2pt]{(E)}
-- END --
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