107學年度高雄區公立高中聯合轉學考-升高二數學科詳解

高雄區公立高中 107 學年度聯合招考轉學生
升高二數學科試題詳解

一、單選題

 設等比數列$<a_n>$的首項$a_1$ 為正數，公比為$1 \over 10$。令$b_n=\log a_n$，則數列$b_1, b_2, b_3,\dots$為

(Ａ)公比為正的等比數列      (Ｂ)公比為負的等比數列      (Ｃ)公差為正的等差數列   

(Ｄ)公差為負的等差數列      (Ｅ)既非等差亦非等比數列。

解：
$$b_n=\log a_n=\log (a_1\times {1\over 10^{n-1}})= \log a_1 -\log 10^{n-1} =\log a_1-n+1\\ \Rightarrow b_{n+1}-b_n=(\log a_1-(n+1)+1)-(\log a_1-n+1)=-1 \\\Rightarrow <b_n>公差為-1的等差數列， 故選：\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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2.  在一次聚會上，每個男人都與除了自己配偶外的所有人恰握手一次，但女人之間彼此不握手，如果那天有  10  對夫婦參加聚會，那麼  20  人之間共握手幾次？ 

    (Ａ)  90  (Ｂ)  100  (Ｃ)  135  (Ｄ)  145  (Ｅ)  190。 

解：
$$男人與女人握手需握10\times 9=90次，男人之間需握C^{10}_2=45次，共握90+45=135，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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3.  設 A，B，C  是三組資料，其標準化散佈圖由左至右排列如下，若 A  組資料與 B  組資料的相關係數分別為－0.8  與－0.2，則下列何者最可能是 C  組資料的相關係數？

解：
$$C圖斜率介A圖與B圖之間， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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4. 某地區的車牌號碼共七碼，其中前三碼為 O  以外的英文大寫字母，後四碼為  0  到  9  的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個  4。例如：AAA1234，AAB4434  為可出現的車牌號碼；而 AOA1234，ABO3444，AAA4444  為不可出現的車牌號碼。則所有的車牌號碼個數為 

(A) $25^3\times 10^4$  (B) $25^3\times 9^3\times 10$  (C) $25^3\times 9^4$  (D) $25^3\times 9980$  (E) $25^3\times 9981$。

解： $$前三碼第一碼有25種選擇，共有25^3種排列；後四碼共有10^4種選擇，需扣除4444(1種)\\、X444(9種)、444X(9種)，剩下10^4-19=9981種；因此車牌共有25^3 \times 9981種， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：
$$利用勘根定理可求得f(-2)=0， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$(x-1)^2+|y+3|=3 \Rightarrow  \begin{cases}|y+3|=2且(x-1)^2=1 \Rightarrow (x,y)=(2,-1),(2, -5), (0,-1),(0,-5) \\|y+3|=3且(x-1)^2=0  \Rightarrow (x,y)=(1,0),(1,-6)\end{cases} \\ \Rightarrow 共六組解， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$${1-i \over a+bi}=1+2i \Rightarrow 1-i=(a+bi)(1+2i)=(a-2b)+(2a+b)i \Rightarrow   \begin {cases}a-2b=1  \\2a+b=-1\end{cases} \\ \Rightarrow  \begin {cases}a=-1/5 \\ b=-3/5 \end{cases}  \Rightarrow 4a+b= -7/5， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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8. 甲、乙二人甲說實話的機率為4/5、乙說實話的機率為9/10。一袋內有白球3個、黑球7個，共10個球，現自袋中任取一球，若甲、乙二人均說是白球，則此球確為白球的機率為

(A)54/115  (B)42/85 (C)18/25  (D)108/115  (E)84/85。

解： $${兩人都說白球且抽中白球 \over 兩人都說白球(可能抽中白球,也可能抽中紅球)} ={{4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10} \over {4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10}+{1\over 5}\times {1 \over 10}\times {7\over 10}}= {108/500 \over 115/500}\\ = {108 \over 115}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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9.  方程式$(\log_\pi x)-x=-5$的實根個數為 

(Ａ)0      (Ｂ)1      (Ｃ)2      (Ｄ)3      (Ｅ)4。

解：
$$此題相當於求y=\log_\pi x與y=x-5兩圖形的交點數，由於y=x-5為右上左下的直線\\，因此有兩個點，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(D): 3+i 為一根\Rightarrow 3-i為另一根；又f(0)>0,且f(3)<0，因此有一實數根介於0與3之間；\\若f(5)>0，代表還有另一實數根介於3與5之間，不符f(x)為三次式，因此f(5)<0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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11.  一乒乓球隊有  7  位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的選手，而己、庚為左右手皆可持拍的選手。現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種選出參賽選手的方式？   

(Ａ)  16  種  (Ｂ)  17  種  (Ｃ)  18  種  (Ｄ)  20  種  (Ｅ)21 種。

解：
$$甲乙丙的搭檔可以是丁戊己庚，因此有3\times 4=12種搭配；丁戊的搭檔可以是己庚\\，因此有2\times 2=4種搭配；己庚可互為搭檔，有1種搭配；共有12+4+1=17種，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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12.  下列各組數據，何者的標準差最大？   

解：

$$挑數字變動較大的，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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二、多重選擇題

13. 某校高三共有  300  位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 x、y  表示，且每位學生的成績用  0  至  100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為  0.016，試問下列哪些選項是正確的？ 

(Ａ) x  與 y  的相關情形可以用散佈圖表示   

(Ｂ)這兩次段考的數學成績適合用直線 x＝a＋by  表示 x  與y  的相關情形（a，b  為常數，b≠0）   

(Ｃ) x＋5  與 y＋5  的相關係數仍為  0.016   

(Ｄ)  10x  與  10y  的相關係數仍為  0.016

(E) 若$x'={x-\mu_x \over \sigma_x},y'={y-\mu_y \over \sigma_y}$，其中$\mu_x,\mu_y$分別為$x, y$的平均數，$\sigma_x, \sigma_y$分別為$x,y$的標準差，則x'與y'的相關係數仍為  0.016

解： $$(B)\times: 相關係數為0.016非常接近0 \Rightarrow 兩次數學科成績沒什麼相關，不適合用直線來表示;\\其它皆正確 ，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

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14. 關於$y=\log_a x(a>0, a\ne 1$ 的圖形，試問下列哪些選項正確？

(A) 必定通過點（1，0）  

(B)圖形會和任一條鉛垂線交於一點  

(C) 圖形會和任一條水平線交於一點  

(D) 和$y=\log_a {1\over x}$的圖形對稱於 x  軸。       

(E) 和$y=a^x$的圖形對稱於直線 x=y  。       
解：

$$(B)\times: a>0 \Rightarrow x>0  \Rightarrow 圖形只在一、四象限，與鉛垂線x=b(b<0)無交集 \\其它都對，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

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15.   請選出正確的選項:

(Ａ)1+2i > 2i      

(Ｂ)$a,b$為實數且$a>0,b<0$，則${\sqrt a\over \sqrt b}=-\sqrt {a\over b}$

(Ｃ)設 f(x) 為有理係數多項式，若1+2i  為 f(x)= 0 的根，由虛根成對定理知1 -2i 亦為 f(x)= 0 的根      

(Ｄ)方程式 $x^3+8=0$ 的三根為一實根及二虛根     

(Ｅ)不等式$-x^2+3x-11>0$無解

解：
$$(A)\times: 虛數無法分大小，其它皆正確，故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}$$

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解： $$f為3次式,且三根分別為0,1,2，又x\to\infty \Rightarrow f(x)\to \infty,因此a>0;\\ 由以上可知f(x)=ax(x-1)(x-2) =ax^3-3ax^2+2ax\\ \Rightarrow \begin{cases} a>0\\ b=-3a<0 \\ c=2a >0 \\ d=0 \\ a+b+c+d=a-3a+2a+0=0\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

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17.  四人同時玩「剪刀、石頭、布」的遊戲一次，假設恰有一人、兩人、三人獲勝的機率分別為 P(1) 、P(2)、 P(3) 。請選出正確的選項。 
(Ａ)  P(1) ＞  P(2)     
(Ｂ)  P(2) ＞  P(3)      
(Ｃ) )P(1) 、P(2)、 P(3) 三個數中，P(2) 最大      
(Ｄ) )P(1) 、P(2)、 P(3)  的值皆不同     (Ｅ)平手的機率為13/27。

解： $$四人(甲乙丙丁)猜拳的結果為(a,b,c,d),其中a,b,c,d\in\{刀,石,布 \},令樣本空間為S,則n(S)=3^4\\甲贏的事件:\{(刀,布,布,布),(石,刀,刀,刀),(布,石,石,石)\}，有3種情形；\\同理,其他三人獨贏的事件也各有3種情形；因此P(1)={3\times 4 \over 3^4} ={4 \over 27};\\甲乙贏的事件:\{(刀,刀,布,布),(石,石,刀,刀),(布,布,石,石)\}，也有3種情形;\\四人中有兩人贏共有C^4_2=6種情形，每一種都有3種情形；因此P(2)= {3\times 6 \over 3^4} ={6 \over 27};\\同理P(3)={C^4_3\times 3 \over 3^4}={4\over 27};\\平手的機率為1-{4\over 27}-{6\over 27} -{4\over 27}={13\over 27} \\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

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解：
$$L_1: \begin{cases}y=f(0)=b_1<0 \\斜率為正 \Rightarrow a_1>0\end{cases} ,L_2: \begin {cases} y=f(0)=b_2>0 \\斜率為正 \Rightarrow a_2>0\end{cases} , L_3: \begin {cases} y=f(0)=b_3<0 \\斜率為負 \Rightarrow a_3<0\end{cases};\\(A)\bigcirc: \begin {cases}a_1>0 \\ a_2 >0\end{cases}\Rightarrow a_1a_2>0\\ (B)\times: \begin {cases} a_1>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_1a_3<0\\(C)\bigcirc: \begin {cases} a_2>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_2> a_3\\(D)\bigcirc:由圖形可知b_3位於b_1的下方 \Rightarrow b_1>b_3\\(E)\bigcirc: \begin {cases} b_1<0 \\ b_2 >0 \\ b_3<0 \end{cases}\Rightarrow b_1b_2b_3>0\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$ 註: 公佈的答案是ACD

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解： $$(A) \bigcirc : 7人選3人\Rightarrow C^7_3\\(B) \bigcirc: x_1+x_2+x_3+x_4=4 \Rightarrow H^4_4= C^7_4= C^7_3\\(C) \times: 7個字其中3個字相同\Rightarrow {7! \over 3!} \ne {7! \over 3!4!} =C^7_3\\(D) \bigcirc: 7人選4人再選3人 \Rightarrow C^7_4C^3_3 =C^7_4=C^7_3\\(E)\times: 每一杯有四種選擇，共有4\times 4\times \cdots \times4=4^7 \\，故選\bbox[red,2pt]{(ABD)}$$

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解： $$(A) \bigcirc : \begin{cases}f(-2) = -8+4+1/2<0 \\f(-1) =-1+2+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(-2) \times f(-1)<0 \Rightarrow 有實根\\ (B) \times : \begin{cases}f(-1) >0 \\f(0) = 1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(-1) \times f(0)>0 \Rightarrow 無實根\\(C) \bigcirc : \begin{cases}f(0) >0 \\f(1) =1-2+ 1/2<0\end{cases}  \Rightarrow f(0) \times f(1) < 0 \Rightarrow 有實根\\ (D) \bigcirc : \begin{cases}f(1) <0 \\f(2) =8-4+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(1) \times f(2)<0 \Rightarrow 有實根\\(E) \times : \begin{cases}f(2) >0 \\f(3) =27-6+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(2) \times f(3)>0 \Rightarrow 無實根\\\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACD)}$$

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解題僅供參考