高雄區公立高中 107 學年度聯合招考轉學生
升高三數學科試題詳解
升高三數學科試題詳解
一、單選題
$$\cos \theta =\tan \theta \Rightarrow \cos \theta ={\sin \theta \over \cos \theta} \Rightarrow \cos^2 \theta=\sin \theta \Rightarrow 1-\sin ^2 \theta=\sin \theta \Rightarrow \sin^2\theta +\sin \theta-1=0\\ \Rightarrow \sin \theta={-1\pm \sqrt 5\over 2}， 故選：\bbox[red,2pt]{(E)}$$
2. 若\(A, B\)為平面\(E\)上同側的兩點，\(\overline{AB}=17\)且\(A, B\)到平面\(E\)的距離各為14、6，若\(P\)為\(E\)上一點，則\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的取小值為何？
(Ａ) 20 (Ｂ) 23 (Ｃ) 25 (Ｄ) 30 (Ｅ) 31。
解：
$$B'為B的對稱點(以E平面當對稱軸)， 連結A、B'，交平面E於P點，該P點即為所求，如上圖；\\因此，\overline{PB'}= \overline{PB} \Rightarrow \overline{PB}+\overline{PA}= \overline{AB'}\\ 在直角\triangle AFB \Rightarrow \overline{AF}= \overline{AD}- \overline{FD} =14-6=8 \Rightarrow \overline{BF} =\sqrt{\overline{AB}^2- \overline{AF}^2} = \sqrt{17^2-8^2}=15\\ 在直角\triangle AA'B' \Rightarrow \overline{AB'} =\sqrt{\overline{A'B'}^2 +\overline{AA'}^2} =\sqrt{20^2+15^2}=25，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
3. 一行星繞太陽運行的軌跡為一個橢圓，若其遠日點到太陽之距離為 11 個單位長，近日點到太陽的距離為 3 個單位長，則橢圓的長軸長是多少個單位長？ (Ａ) 4 (Ｂ) 7 (Ｃ) 8 (Ｄ) 14 (Ｅ) 33。
解：
$$太陽即為橢圓的焦點，因此長軸長=11+3=14， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
4. 設\(A(2,-2,5)\)，\(B(4,6,13)\)，\(C(-2,4,7)\)，則\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)=?
(A) 56 (B) (-8,48,16) (C) (-8,-9,11) (D) (-32, -36, 44) (E) (32,36,-44)。
解：$$\begin{cases}A(2,-2,5)\\ B(4,6,13)\\ C(-2,4,7)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=(2,8,8)\\ \overrightarrow{AC}=(-4,6,2) \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}=(16-48, -32-4,12+32)\\ =(-32,-36,44)， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
5. 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 θ 的正切值 tanθ。若一金字塔（底部為一正方形，四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為0.4 。則相鄰兩斜面夾角α的度數會落在哪個範圍內？
$$(A)30^\circ \le \alpha < 60^\circ \qquad (B)60^\circ \le \alpha < 90^\circ \qquad (C)90^\circ \le \alpha < 120^\circ \qquad (D)120^\circ \le \alpha < 150^\circ \qquad \\(E)150^\circ \le \alpha < 180^\circ \qquad$$
$$金字塔ABCDE，塔頂位於E，其投影點為O，並假設O為空間的原點，各坐標如上圖;\\ 因此 \begin{cases}\overrightarrow{EC}=(5,5,-2)\\ \overrightarrow{EG}=(0,5,-2)\\ \overrightarrow{EF} =(5,0,-2) \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} 平面DEC的法向量\vec u = \overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EC}= (0,5,-2)\times (5,5,-2) = (0,-10,-10) \\ 平面BEC的法向量\vec v = \overrightarrow{EC} \times \overrightarrow{EF}= (5,5,-2)\times (5,0,-2) = (-10,0,-10) \\ \end{cases}\\ \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \Rightarrow (0,-10,-10) \cdot (-10,0,-10) = |(0, -10, -10)| |(-10,0,-10)| \\\Rightarrow 100 = 200 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta =1/2 \Rightarrow \theta =60^\circ， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
6. 廣場上插了一支紅旗與一支白旗，小明站在兩支旗子之間。利用手邊的儀器，小明測出他與正東方紅旗間的距離比他與正西方白旗間距離為7：2；小明往正北方走了 13 公尺之後再測量一次，發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 3倍。試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項？
(A) 95 公尺 (B) 90公尺 (C) 85公尺 (D) 80公尺 (E) 75公尺
解：
$$假設紅旗在B，白旗在A，小明在O，小明往北走13公尺到了C，如上圖；\\ \overline{OC}^2 =\begin{cases}\overline{AC}^2- \overline{AO}^2 \\ \overline{BC}^2 -\overline{OB}^2 \end{cases} \Rightarrow m^2-4k^2=9m^2-49k^2 \Rightarrow 8m^2=45k^2 \Rightarrow m ={3\sqrt 5 \over 2\sqrt 2}k \\\Rightarrow m^2=4k^2+13^2 \Rightarrow {45 \over 8}k^2 =4k^2+169 \Rightarrow k=2\sqrt{26} \Rightarrow \overline{AB}=9k = 18\sqrt{26} \approx 18\sqrt{25}=90\\， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
7. 一礦物內含A，B，C三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知A、B、C每公克分別會釋放出1單位、2單位、1單位的輻射強度，又知A、B、C每過半年其質量分別變為原來質量的1/2、1/3、1/4倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為66單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為22單位，且目前此礦物的輻射強度為8單位，則目前此礦物中C物質之質量為幾公克？
(Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 4 (Ｄ) 16 (Ｅ) 32。
解：
$$\begin{array}{}
& 1年前 & 半年前 & 現在\\\hline
A重量& a & a/2 & a/4\\
B重量 & b & b/3 & b/9\\
C重量 & c & c/4 & c/16\\
幅射強度 &66=a+2b+c & 22=a/2+2b/3+c/4 & 8=a/4+2b/9+c/16 \\\hline \end{array}\\ \Rightarrow \begin{cases}a+2b+c = 66 \\ a/2+2b/3+c/4=22 \\ a/4+2b/9+c/16=8\end{cases} \Rightarrow c=32 \Rightarrow 現在c=32/16=2， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
8. 設\(P(x,y)\)為坐標平面上一點，且滿足\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} +\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2} \)= \(\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}\)，那麼\(P\)點的位置在哪裡？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)\(x\)軸或\(y\)軸上。
解：$$令\begin{cases} Q=(1,2) \\ R=(3,4)\end{cases}，由\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} +\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}可知: \overline{PQ}+\overline{PR} =\overline{QR}\\ \Rightarrow P在線段\overline{QR}上 \Rightarrow P在第一象限，故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$
解：
$$L_1與L_2法向量之內積(3,4)\cdot (1,0)=3>0 \Rightarrow 銳角角平分線方程式為{3x+4y-7 \over \sqrt{3^2+4^2}}=-{x-1 \over 1}\\ \Rightarrow 3x+4y-7=-5(x-1) \Rightarrow 8x+4y=12 \Rightarrow 2x+y=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$
10. 設\(x,y,z\)為實數且滿足\(x-2y+2z=5\)，則\((x+5)^2+(y-1)^2+(z+3)^2\)之最小值為：
(A) 6 (B) 9 (C) 18 (D) 32 (E) 36
解：$$\left((x+5)^2+(y-1)^2+(z+3)^2\right)(1^2+(-2)^2+2^2) \ge ((x+5)-2(y-1)+2(z+3))^2\\ \Rightarrow \left((x+5)^2+(y-1)^2+(z+3)^2\right)\times 9 \ge ((x-2y+2z)+13)^2 =18^2\\ \Rightarrow \left((x+5)^2+(y-1)^2+(z+3)^2\right) \ge {18^2 \over 9}=36，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
11. 設\(a\in \{-1,1,3,5\}\)且\(b\in \{0,-1,1\}\)，試問矩陣\( \begin{bmatrix}a & a^2 \\b^2 & b \end{bmatrix} \)沒有乘法反方陣之機率為何？$$(A){1\over 6}\quad (B){1\over 4}\quad (C){1\over 3}\quad (D){5\over 12} \quad (E){1\over 2}$$
解：
$$ \begin{bmatrix}a & a^2 \\b^2 & b \end{bmatrix} 沒有反矩陣 \Rightarrow \begin{vmatrix}a & a^2 \\b^2 & b \end{vmatrix}=0 \Rightarrow ab-a^2b^2=0 \Rightarrow ab(1-ab)=0 \Rightarrow ab=0,1\\ \begin{cases}a\in \{-1,1,3,5\}\\ b\in \{0,-1,1\} \\ab=0或1\end{cases} \Rightarrow (a,b)=(-1,0),(1,0),(3,0),(5,0),(-1,-1),(1,1)，共六組\\ \Rightarrow 機率為{6\over 4\times 3} ={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
12. 已知 A [ 2，50°]與B [ 3，k°] 為極坐標上兩點，若O 為原點，則當k 為下列哪一個整數值時，△OAB 的面積最大？
(Ａ) 80 (Ｂ) 90 (Ｃ) 180 (Ｄ) 190 (Ｅ) 200。
解：
$$\begin{cases}A[2,50^\circ] \\B[3,k^\circ]\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A(2 \cos 50^\circ, 2\sin 50^\circ) \\B(3\cos k^\circ, 3\sin k^\circ)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{OA}= (2 \cos 50^\circ, 2\sin 50^\circ) \\ \overrightarrow{OB} =(3\cos k^\circ, 3\sin k^\circ)\end{cases}\\ \Rightarrow \triangle OAB面積={1\over 2} \begin{vmatrix}2\cos 50^\circ & 2\sin 50^\circ \\ 3\cos k^\circ & 3\sin k^\circ \end{vmatrix} =3|\sin k^\circ \cos 50^\circ- \sin 50^\circ \cos k^\circ|\\ =3|\sin(k^\circ-50^\circ)|\\(A)k=80 \Rightarrow \triangle OAB面積=3\sin 30^\circ\\(B)k=90 \Rightarrow \triangle OAB面積=3\sin 40^\circ\\(C)k=180 \Rightarrow \triangle OAB面積=3\sin 50^\circ\\(D)k=190 \Rightarrow \triangle OAB面積=3\sin 40^\circ\\(E)k=200 \Rightarrow \triangle OAB面積=3\sin 30^\circ \\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
13. 設直線\(L_1:3x-4y-11=0, L_2:3x+4y+5=0\)，動點\(P(x,y)\)到直線\(L_1\)與\(L_2\)的距離乘積為定值144/25，試問下列敍述哪些是正確的？
(Ａ) P 點所形成的圖形為一橢圓 (Ｂ) P 點所形成的圖形為一拋物線 (Ｃ) P 點所形成之圖形的中心為(1, -2) (Ｄ) \(L_1\)與\(L_2\) 為 P 點所形成之圖形的漸近線 (Ｅ) P 點所形成之圖形的正焦弦長為12/5。
14. 在空間座標系中， A 點座標為( -1,1,3) ， B 點座標為(3, -1,1) ，C 點座標為(1,3, -1) ， D 點座標為\((5, k,k )\) ， \(\overrightarrow{AB}\) 在 \(\overrightarrow{AC}\) 的正射影為\(\overrightarrow{ AH}\) ，則下列敘述哪些是正確的？
(A) \(\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=12\) (B)\(\triangle ABC\)面積為\(12\sqrt 3\)平方單位 (C) H點坐標為(0,2,1) (D) 若\(\overrightarrow{AD}\)在\(\overrightarrow{AC}\)的正射影亦為\(\overrightarrow{AH}\)，則\(k=7\) (E) 若\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\)，則\(\overrightarrow{AE}\)平分\(\angle BAC\)。
解：
15. 關於下列敘述，哪些正確？
(Ａ)若兩點 A(x ,3) 與B (2,7) 之距離為 5，則 x =5 或 -1
(Ｂ)與 2 x- y =1 平行且過點(3,1)之直線為 2x-y=5
(Ｃ)過(3,2) ，( -3,2) 之直線為 y=2
(Ｄ)直線 x=5 之斜率為 0
(Ｅ)直線3x+2y=4 與直線3 x-2y=4 垂直
$$(A)\bigcirc: \overline{AB}= \sqrt{(x-2)^2+(3-7)^2}=5 \Rightarrow (x-2)^2+16=25 \Rightarrow (x-2)^2=9 \Rightarrow x-2=\pm 3\\ \qquad x=5,-1\\(B) \bigcirc :與2x-y=1平行之直線為2x-y=k, 又過(3,1) \Rightarrow 6-1=k \Rightarrow k=5 \Rightarrow 2x-y=5\\(C) \bigcirc :y=2經過(3,2)及(-3,2)\\(D)\times: 垂直線的斜率為\infty\\(E)\times: 3x+2y=4的斜率為-{3\over 2}, 3x-2y=4的斜率為{3\over 2}，兩斜率相乘不為-1\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABC)}$$
解：$$\overrightarrow{AD}分別與\overrightarrow{AB}與\overrightarrow{AC}垂直 \Rightarrow \begin {cases} \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0 \\\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =0 \end{cases} \\(A)\times: \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} =(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}- \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}+ |\overrightarrow{AD}|^2\\ \qquad =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} +|\overrightarrow{AD}|^2 \\(B)\times: \angle BAC是直角 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} +|\overrightarrow{AD}|^2 =|\overrightarrow{AD}|^2\ne 0\\ \Rightarrow \qquad \angle BDC 不是直角 \\(C) \bigcirc: \angle BAC 是銳角 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}>0\Rightarrow \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} +|\overrightarrow{AD}|^2 >0 \\ \qquad \Rightarrow \angle BDC 為銳角\\(D) \times: \angle BAC 是鈍角 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}<0\Rightarrow \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} +|\overrightarrow{AD}|^2無法判定正負\\ (E) \bigcirc: \begin{cases} \overline{DA} >\overline{AB} \\ \overline{DA}>\overline{AC} \end{cases} \Rightarrow |\overline{DA}|^2 > \overline{AB}\times \overline{AC} \\ \qquad \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} +|\overrightarrow{AD}|^2 = |\overrightarrow{AB}|| \overrightarrow{AC}|\cos \angle BAC +|\overrightarrow{AD}|^2 \ge |\overrightarrow{AD}|^2-|\overrightarrow{AB}|| \overrightarrow{AC}|\\ \qquad >0 \Rightarrow \angle BDC 是銳角\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(CE)}$$
解：
$$(A)\times: 雙曲線也可能為{x^2 \over r^2} -{y^2 \over r^2}=-1\\(B) \bigcirc: a=b \Rightarrow 貫軸長=共軛軸長\\(C) \times: 雙曲線若為{x^2 \over r^2} -{y^2 \over r^2}=1 \Rightarrow a=1001 \Rightarrow 1001^2= r^2+b^2 \Rightarrow 若r很大，則b很小，|a-b| \nless 1\\(D)\bigcirc: 雙曲線在第一象限為遞增函數，因此a<a'，則b<b'\\(E)\bigcirc: 無論雙曲線為左右形或上下形皆對稱 X軸與Y軸\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)} $$
19. 設\(a, b\in R\)，下列有關\(x,y\)的二元一次聯立方程組\(\begin{cases} -2x+(a+2)y=-2 \\ 6x+(a-2)y = b-2\end{cases}\)的敘述何者正確？
(Ａ)若此方程組有解，則必定恰有一解 (Ｂ)若此方程組有解，則b＝8
(Ｃ)若此方程組有解，則\(a\ne -1\) (Ｄ)若此方程組無解，則\(a=-1\)
(Ｅ)若此方程組無解，則\(b\ne -8\)
解：$$\begin{cases} -2x+(a+2)y=-2 \\ 6x+(a-2)y = b-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}無解 \Rightarrow {-2\over 6}={a+2 \over a-2}\ne {-2\over b-2} \Rightarrow a=-1,b\ne 8\\ 有解 \Rightarrow \begin{cases}恰有一解 \Rightarrow {-2\over 6}\ne {a+2 \over a-2}\Rightarrow a\ne -1 \\ 無限多解 \Rightarrow {-2\over 6}={a+2 \over a-2}= {-2\over b-2} \Rightarrow a=-1,b=8\end{cases} \end{cases} \\，故選\bbox[red,2pt]{(CE)}$$
20. 設 A，B 皆為 n 階方陣，則下列各敘述哪些正確？
(Ａ)若 A＝O，則 AB＝BA＝O
(Ｂ)若 AB＝O，則 BA＝O
(Ｃ)若 AB＝O，則 A＝O 或 B＝O
(Ｄ)若 A≠O 且 B≠O，則 AB≠O
(Ｅ)若 A－B＝O，則 \(A^2-AB=0\)。
解：$$(B)\times: \begin{cases}A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\ B= \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 1 \end{bmatrix} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}AB = \begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=0 \\ BA= \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 1 \end{bmatrix}\ne 0 \end{cases} \\(C)\times:反例同(B)\\(D)\times: 反例同(B)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AE)}$$
解題僅供參考
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