110年試辦考試(適用於108課綱)數學A
第壹部分、選擇(填)題
一、單選題
解答:{log(2+√3)log(2−√3)−log(2+√3)=log(12+√3)=log(2−√3)−log(2−√3)=log(12−√3)=log(2+√3)log2+log√3=log2√3⇒有3個不同的實數,故選(3)解答:|x−10|<|x−60|<|x+10|⇒{x−10<x−60<x+10if x≥60x−10<60−x<x+10if 10≤x≤6010−x<60−x<x+10if −10≤x≤1010−x<60−x<−x−10if x≤−10⇒{無解25<x<35無解無解⇒25<x<35⇒x=26,27,…,34,共9個整數解,故選(2)
解答:兩中線{8x+5y=14x+7y=6交點為P(43,23)⇒過A(2,3)及P(43,23)的直線斜率為3−2/32−4/3=7/32/3=72,故選(1)
解答:令{A(1,0,−1)B(1,−1,0)L:12x−137=y+19=−2z⇒{→AB=(0,−1,1)L方向向量=→u=(2,1,−12)⇒E的法向量→n=→AB×→u=(−12,2,2)⇒|→n|=√332⇒{(1):cosθ=(1,0,0)⋅→n|→n|=−1√33(2):cosθ=(0,1,0)⋅→n|→n|=4√33(3):與(2)相同,cosθ=4√33(4):cosθ=(1,1,0)⋅→n√2⋅|→n|=3√66(5):cosθ=(0,1,1)⋅→n√2|→n|=8√66,挑|cosθ|最大的,故選(5)
解答:每種壽司可以只分給甲、只分給乙、只分給丙、分給甲乙各1、分給乙丙各1、分給甲丙各1,共有六種分法,因此有610種組合,故選(3)
解答:
本題相當於求兩圖形{y=sin2x+cos2xy=sinx+1/2的交點數量,且滿足0≤x≤2πy=sin2x+cos2x=√2(cos45∘sin2x+cos2xsin45∘)=√2sin(2x+45∘),圖形為{最大值為√2最小值−√2週期為π;另一圖形y=sinx+12,圖形為{最大值:3/2最小值:−1/2週期為2π兩圖形共有四個交點(見上圖),故選(4)
二、多選題
解答:(1)×:甲牧場在第2年的牛數量多於第3年(2)×:10單位是最少數量,不是中位數(3)◯:甲牧場牛隻數量幾乎是水平線,標準差很小(4)◯:非常接近(5)◯:{甲牧場牛數量接近水平,而豬數量略增,相關係數為正值乙牧場牛數量逐年遞增,而豬數量略為減少,相關係數為負值⇒甲牧場係數>乙牧場,故選(345)
解答:
(1)×:{(2,3)為頂點y=f(x)開口向下⇒y=f(x)=a(x−2)2+3,a<0⇒y=f(−x)=a(−x−2)2+3=a(x+2)2+3開口仍向下(2)◯:y=g(x)為左上向下⇒y=g(−x)為左下右上(3)×:兩圖形{y=g(x)y=g(−x)對稱y軸⇒對稱中心(2,−1)⇒(−2,−1)(4)×:y=g(x)的對稱中心(2,−1)⇒g(x)=b(x−2)3+c(x−2)−1⇒f(x)+g(x)=b(x−2)3+a(x−2)2+c(x−2)+2過(2,2),但非對稱中心(5)◯:y=f(x)開口向下,y=g(x)為左上右下,因此在x<2恰有一交點,故選(25)
解答:(1)◯:¯AC−¯AB<¯BC⇒3−2<a⇒a>1(2)×:若為鈍角△,只有∠A或∠B可能為鈍角,即{cosA=13−a212<0cosB=a2−54a<0⇒{a>√130<a<√5例a=2,則B為鈍角;(3)×:¯AC>¯AB⇒∠B>∠C(與a值無關)(4)×:正弦定理:3sinB=2R=2√2⇒sinB=32√2>1矛盾(5)◯:asinA=2R=4042⇒存在a=4042sinA,故選(15)
解答:(1)◯:個別號碼中獎機率都是(110)3(2)×:(110)3≠1640(3)×:{1XX:XX=00−99,有100種可能6YY:YY=00−40,有40種可能⇒兩種中獎號碼的機率不同(4)◯:3601000×3601000×6401000≈8.3%>5%(5)×:第一輪有人中獎+第一輪沒人中且第二輪有人中+第一、二輪無人中且第三輪有人中獎的機率=6401000+3601000×6401000+360210002×6401000=0.64(1+0.36+0.362)≈95.3%>93%,故選(14)
解答:(1)◯:O,A,D三點共線⇒→OD=m→OA,m為常數⇒k→OA+(2−k)→OB=m→OA⇒k=2(2)◯:→CD=→CO+→OD=−(→OA+→OB)+k→OA+(2−k)→OB=(1−k)(→AO+→OB)=(1−k)→AB⇒→CD∥→AB(3)×:→OC=→OA+→OB=(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)⇒△OAC=12|a1a2a1+b1a2+b2|=12|a1a2b1b2|=1(4)◯:→OD=k→OA+(2−k)→OB=(ka1,ka2)+((2−k)b1,(2−k)b2)=(ka1+(2−k)b1,ka2+(2−k)b2)⇒→AD=((k−1)a1+(2−k)b1,(k−1)a2+(2−k)b2)=(−k(b1−a1)−a1+2b1,−k(b2−a2)−a2+2b2)⇒△ABD=12|→AB→AD|=12|b1−a1b2−a2−k(b1−a1)−a1+2b1−k(b2−a2)−a2+2b2|=12|b1−a1b2−a2−a1+2b1−a2+2b2|與k無關(5)×:△ACD=12|→AC→AD|=12|b1b2−k(b1−a1)−a1+2b1−k(b2−a2)−a2+2b2|與k相關,故選(124)
解答:
解答:(1)◯:個別號碼中獎機率都是(110)3(2)×:(110)3≠1640(3)×:{1XX:XX=00−99,有100種可能6YY:YY=00−40,有40種可能⇒兩種中獎號碼的機率不同(4)◯:3601000×3601000×6401000≈8.3%>5%(5)×:第一輪有人中獎+第一輪沒人中且第二輪有人中+第一、二輪無人中且第三輪有人中獎的機率=6401000+3601000×6401000+360210002×6401000=0.64(1+0.36+0.362)≈95.3%>93%,故選(14)
解答:(1)◯:O,A,D三點共線⇒→OD=m→OA,m為常數⇒k→OA+(2−k)→OB=m→OA⇒k=2(2)◯:→CD=→CO+→OD=−(→OA+→OB)+k→OA+(2−k)→OB=(1−k)(→AO+→OB)=(1−k)→AB⇒→CD∥→AB(3)×:→OC=→OA+→OB=(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)⇒△OAC=12|a1a2a1+b1a2+b2|=12|a1a2b1b2|=1(4)◯:→OD=k→OA+(2−k)→OB=(ka1,ka2)+((2−k)b1,(2−k)b2)=(ka1+(2−k)b1,ka2+(2−k)b2)⇒→AD=((k−1)a1+(2−k)b1,(k−1)a2+(2−k)b2)=(−k(b1−a1)−a1+2b1,−k(b2−a2)−a2+2b2)⇒△ABD=12|→AB→AD|=12|b1−a1b2−a2−k(b1−a1)−a1+2b1−k(b2−a2)−a2+2b2|=12|b1−a1b2−a2−a1+2b1−a2+2b2|與k無關(5)×:△ACD=12|→AC→AD|=12|b1b2−k(b1−a1)−a1+2b1−k(b2−a2)−a2+2b2|與k相關,故選(124)
解答:
L:x−1/21=y−1/32=z−1/43,若Q∈L,Q=(t+1/2,2t+1/3,3t+1/4),t∈R先求L與EFGH平面的交集,即3t+14=1⇒t=14⇒Q=(34,56,1)∈立方體的頂面;再求L與ABCD平面的交集,即3t+14=0⇒t=−112⇒Q=(512,16,0)∈立方體的底面;因此L與立方體交於頂面與底面,與四個側面無交集,故選(5)
解答:log232=5⇒10005∑k=02k=1000(1+2+4+8+16+32)=1000×63=63千元
解答:使用超過1年且為A廠生產的電池數量使用超過1年的電池數量=0.4×0.90.4×0.9+0.6×0.75=0.360.81=49
解答:f(x)=x2−3x+3=(x−32)2+34⇒f(x)的最小值為=f(32)=34⇒y的最小值為a3/4=278=(32)3⇒a1/4=32⇒a=(32)4=8116
解答:
解答:P在直線y=x+1上⇒P(t,t+1)⇒T(t,t+1)=P′(at−bt−b,bt+at+a)P′代入直線y=5x+13⇒at+bt+a=5(at−bt−b)+13⇒(4a−6b)t+(13−a−5b)=0⇒{4a−6b=013−a−5b=0⇒{a=3b=2
解答:假設{P(xp,yp)Q(xq,yq)⇒{P′=T(P)=(axp−byp,bxp+ayp)Q′=T(Q)=(axq−byq,bxq+ayq)⇒¯P′Q′=√(a(xp−xq)−b(yp−yq))2+(b(xp−xq)+a(yp−yq))2=√a2(xp−xq)2+b2(yp−yq)2+b2(xp−xq)2+a2(yp−yq)2=√(a2+b2)(xp−xq)2+(a2+b2)(yp−yq)2=√(a2+b2)((xp−xq)2+(yp−yq)2)=√a2+b2ׯPQ⇒¯P′Q′¯PQ=√a2+b2為一常數,此值為√32+22=√13
解答:使用超過1年且為A廠生產的電池數量使用超過1年的電池數量=0.4×0.90.4×0.9+0.6×0.75=0.360.81=49
解答:f(x)=x2−3x+3=(x−32)2+34⇒f(x)的最小值為=f(32)=34⇒y的最小值為a3/4=278=(32)3⇒a1/4=32⇒a=(32)4=8116
解答:
Γ:x2+y2−2x+6y+2=0⇒(x−1)2+(y+3)2=8⇒{圓心C(1,−3)r=2√2;令B(a,b),則¯CAׯCB=√2×√(a−1)2+(b+3)2=r2=8⇒(a−1)2+(b+3)2=(4√2)2⇒B在圓Γ′:(x−1)2+(y+3)2=32上;又A、B、C在一直線上,且¯CA:¯AB=√2:(4√2−√2)=1:3⇒A=(3C+B)÷4⇒{2=(3+a)÷4−2=(−9+b)÷4⇒{a=5b=1⇒B=(5,1)
解答:假設四面體邊長為1,因此令{A(0,1,1)B(1,1,0)C(1,0,1)D(0,0,0)⇒{→AB=(1,0,−1)→AC=(1,−1,0)⇒→n=→AB×→AC=(−1,−1,−1)由於→AE⋅→AB=→AE⋅→AC=0⇒→AE∥→n⇒E∈x−1=y−1−1=z−1−1(過A且方向向量為→n之直線)⇒E=(−t,−t+1,−t+1),t<0(∵D,E在△ABC異側)⇒{→AE=(−t,−t,−t)→AD=(0,−1,−1)⇒cos∠DAE=→AD⋅→AE|→AD||→AE|=2t√2⋅√3t2=−√63
第貳部分、混合題或非選擇題
解答:T=[a−bba]⇒T(0,1)=(−b,a)代入直線y=5x+13⇒a=−5b+13⇒a+5b=13,故選(2)解答:P在直線y=x+1上⇒P(t,t+1)⇒T(t,t+1)=P′(at−bt−b,bt+at+a)P′代入直線y=5x+13⇒at+bt+a=5(at−bt−b)+13⇒(4a−6b)t+(13−a−5b)=0⇒{4a−6b=013−a−5b=0⇒{a=3b=2
解答:假設{P(xp,yp)Q(xq,yq)⇒{P′=T(P)=(axp−byp,bxp+ayp)Q′=T(Q)=(axq−byq,bxq+ayq)⇒¯P′Q′=√(a(xp−xq)−b(yp−yq))2+(b(xp−xq)+a(yp−yq))2=√a2(xp−xq)2+b2(yp−yq)2+b2(xp−xq)2+a2(yp−yq)2=√(a2+b2)(xp−xq)2+(a2+b2)(yp−yq)2=√(a2+b2)((xp−xq)2+(yp−yq)2)=√a2+b2ׯPQ⇒¯P′Q′¯PQ=√a2+b2為一常數,此值為√32+22=√13
============== END =================
實在不錯。
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