2022年4月15日 星期五

110年嘉義高中科學班甄選-數學科詳解

國立嘉義高級中學 110 學年度科學班甄選【數學科】試題

一、填充題: (85 分,每題 5 )

解答{P(1016)Q(1015)¯AkAk+1=¯PQ100=10151016100=10171018=9×1018,k=198;¯A31A55=(5531)×9×1018=216×1018=2.16×1016(a,n)=(2.16,16)
解答2b+2ca=2c+2ab=2a+2bc2+2b+2ca=2+2c+2ab=2+2a+2bc2(a+b+2)a=2(a+b+2)b=2(a+b+2)c6a=6c=6ca=b=c2b+2ca=2a+2aa=4
解答y(1000y)(1000y)(1x)+y=400xy1000x+600=0x=6001000y34<6001000y<5665<1000y600<43720<1000y<800280<y<200200<y<280(a,b)=(200,280)
4. 一個「訊息」是由一串8個數字排列組成,且每位數字都只能是0或1,例如10010000與01011000就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中,數字不同的位置數。例如,數字串10010000與01011000在第1、 2及5三個位置不同,所以訊息10010000與01011000的距離為3。 根據上述定義,若有一訊息與訊息11011001、11001011的距離皆為a,則正整數a的值共有_____個。
解答{A=11011001B=11001011C滿d(A,C)=d(B,C)d(A,B)=2d(A,C)=d(B,C)=2,3,...,87
5. 若平行四邊形ABCD的面積為4,M、N分別是¯BC¯CD的中點,且G為AMN的重心,則GMN的面積= ____。
解答
ABCD=a{ABM=12ABC=14ABCD=a4ADN=12ADC=14ABCD=a4MNC=12BCN=14BCD=18ABCD=a8AMN=aa4a4a8=38aGMN=13AMN=18a=12
解答132×152×172=33152{33162=(3315+1)2=33152+663133172=(3315+2)2=33152+1326433182=(3315+3)2=33152+198913317<132×152×172+19000<3318a=3317
解答3a{1a+22a+1=3a+317=1+2++17=153153+3a+3=14×20=280a=41
解答{A(0,4)B(0,0)C(4,0)D=(A+B)÷2=(2,2)E=(2,0){AE:2x+y=4BD:x=yD1=AEBD=(4/3,4/3)E1(4/3,0)AE1:3x+y=4D2=AE1BD=(1,1){¯BD1=42/3¯D1D2=2/3r=¯BD1¯D1D2=4
解答a=8+63+18+63a2=8+63+2+18+63=8+63+2+863=18a2=18a=323×1.414=4.2424210<a<4310n=42
10. 三邊長皆為整數之三角形,我們稱為 Diophantus 三角形。令an表示最大邊長為 n 的Diophantus 三角形之個數,例如:a1=1a2=2a3=4,試問a11= ________。
解答(11,a,b)滿a+b>111a,b11a,bab111121011239113481145711566116771158811499113101011211111a11=21+15=36
11. 已知數列a1,a2,a3,,an,的每一項都是正數,它的任意相鄰3項akak+1ak+2都滿足ak2ak+1+ak+2=0,其中k是正整數。若a4=4a9=9,則第15項a15= ____。
解答ak2ak+1+ak+2=0{a12a2+a3=0a22a3+a4=0an22an1+an=0(n2)a1a2an1+an=0an=an1+k,{k=a2a1n2{a4=a3+k=a2+2k=3a22a1=2a9=a8+k=a2+7k=8a27a1=3{a1=7/5a2=8/5k=15a15=a2+13k=85+135=215a15=(215)2=44125
解答x=2100{2101=2x2201=2x22402=4x4{2402+402=4x4+4022201+2101+1=2x2+2x+14x4+402=(2x2+2x+1)(2x22x+1)+401401
解答
{¯CD=¯PQ=a¯AP=¯BQ=b{¯AR2=102b2¯AR2=112(a+b)2102b2=112(a+b)2(a+b)2b2=112102(a+2b)a=21{{a+2b=21a=1(a,b)=(1,10){a+2b=7a=3(a,b)=(3,2)¯RD=b=10=¯AD(a,b)=(3,2)¯AB=a+2b=7
解答y=f(x)=ax2+bx+c=a(x2)2+3=ax24ax+4a+3f(0)<04a+3<0a<34a=1
解答{A(2,0)B(6,0)C(0,3)D(0,5)P(s,t){L1=AD:5x+2y=10L2=BC:x+2y=6P=L1L2=(1,52)
解答

{ADH¯DH=132122=5AMH¯MH=152122=9¯MD=¯MH¯DH=95=4¯CH=aM¯BC¯BM=¯CM¯BM=a+9¯AD¯BD¯DC=¯AB¯ACa+13a+5=(a+18)2+122a2+122(a+13)2(a+5)2=(a+18)2+122a2+1221+16a+144a2+10a+25=1+36a+324a2+1444(a+9)(a2+144)=9(a+9)(a2+10a+25)5a2+90a351=0a=12105109¯BC=18+2a=121055
解答{A(1,2)B(4,2)O(0,0){OA=(1,2)OB=(4,2)AB=(5,0){u=OA/|OA|=(1/5,2/5)v=OB/|OB|=(2/5,1/5)w=AB/|AB|=(1,0){n1=u+v=(1/5,3/5)n2=wu=(11/5,2/5){AOBL1:3x+y=0BAOL2:2(x1)=(5+1)(y2)I=L1L23x+2(x1)5+1+2=0x=3+52y=3x=9352I=(3+52,9352)

二、證明題 (第 1 題 5 分,第 2 題 10 分,共 15 分)


解答
1.{¯ABAPB=90¯AHACH=90¯BHBDH=90PCHD¯CDPCHD
2.{ACC1=αC1CH=β{α+β=90(¯AH)C1HC=β(¯C1C=¯C1H)CHP=α(PHA=90)¯CD¯PHDCH=CHP=αC1CD=α+β=90{C2DH=C2HD=αCDH=PHD=βCDC2=α+β=90CCD=C2DC=90¯CD
=================== end ====================




1 則留言:

  1. 您好,可以請您解109年嘉中科學班考題嗎?謝謝

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