國立嘉義高級中學 110 學年度科學班甄選【數學科】試題
一、填充題: (85 分,每題 5 分)
解答:2b+2ca=2c+2ab=2a+2bc⇒2+2b+2ca=2+2c+2ab=2+2a+2bc⇒2(a+b+2)a=2(a+b+2)b=2(a+b+2)c⇒6a=6c=6c⇒a=b=c⇒2b+2ca=2a+2aa=4
解答:瓶子重y公克⇒可樂重(1000−y)公克⇒喝剩總重(1000−y)(1−x)+y=400⇒xy−1000x+600=0⇒x=6001000−y⇒34<6001000−y<56⇒65<1000−y600<43⇒720<1000−y<800⇒−280<−y<−200⇒200<y<280⇒(a,b)=(200,280)
4. 一個「訊息」是由一串8個數字排列組成,且每位數字都只能是0或1,例如10010000與01011000就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中,數字不同的位置數。例如,數字串10010000與01011000在第1、 2及5三個位置不同,所以訊息10010000與01011000的距離為3。 根據上述定義,若有一訊息與訊息11011001、11001011的距離皆為a,則正整數a的值共有_____個。
解答:令{A=11011001B=11001011及C滿足d(A,C)=d(B,C);d(A,B)=2⇒d(A,C)=d(B,C)=2,3,...,8,共7個不同的距離值5. 若平行四邊形ABCD的面積為4,M、N分別是¯BC、¯CD的中點,且G為△AMN的重心,則△GMN的面積= ____。
解答:
解答:
令平行四邊形ABCD面積=a⇒{△ABM=12△ABC=14ABCD=a4△ADN=12△ADC=14ABCD=a4△MNC=12△BCN=14△BCD=18ABCD=a8⇒△AMN=a−a4−a4−a8=38a⇒△GMN=13△AMN=18a=12
解答:132×152×172=33152⇒{33162=(3315+1)2=33152+663133172=(3315+2)2=33152+1326433182=(3315+3)2=33152+19891⇒3317<√132×152×172+19000<3318⇒a=3317
解答:第3大的數是a⇒{第1大是a+2第2大是a+1⇒前三大之和=3a+3最小的前17項之和=1+2+⋯+17=153⇒153+3a+3=14×20=280⇒a=41
解答:令{A(0,4)B(0,0)C(4,0)⇒D=(A+B)÷2=(2,2)⇒E=(2,0)⇒{↔AE:2x+y=4↔BD:x=y⇒D1=↔AE∩↔BD=(4/3,4/3)⇒E1(4/3,0)⇒↔AE1:3x+y=4⇒D2=↔AE1∩↔BD=(1,1)⇒{¯BD1=4√2/3¯D1D2=√2/3⇒r=¯BD1¯D1D2=4
解答:a=√8+√63+1√8+√63⇒a2=8+√63+2+18+√63=8+√63+2+8−√63=18⇒a2=18⇒a=3√2≈3×1.414=4.242⇒4210<a<4310⇒n=42
解答:第3大的數是a⇒{第1大是a+2第2大是a+1⇒前三大之和=3a+3最小的前17項之和=1+2+⋯+17=153⇒153+3a+3=14×20=280⇒a=41
解答:令{A(0,4)B(0,0)C(4,0)⇒D=(A+B)÷2=(2,2)⇒E=(2,0)⇒{↔AE:2x+y=4↔BD:x=y⇒D1=↔AE∩↔BD=(4/3,4/3)⇒E1(4/3,0)⇒↔AE1:3x+y=4⇒D2=↔AE1∩↔BD=(1,1)⇒{¯BD1=4√2/3¯D1D2=√2/3⇒r=¯BD1¯D1D2=4
解答:a=√8+√63+1√8+√63⇒a2=8+√63+2+18+√63=8+√63+2+8−√63=18⇒a2=18⇒a=3√2≈3×1.414=4.242⇒4210<a<4310⇒n=42
10. 三邊長皆為整數之三角形,我們稱為 Diophantus 三角形。令an表示最大邊長為 n 的Diophantus 三角形之個數,例如:a1=1,a2=2,a3=4,試問a11= ________。
解答:假設三角形三邊長為(11,a,b),滿足a+b>11且1≤a,b≤11,a,b均為自然數ab數量1111210−11239−11348−11457−11566−11677−11588−11499−1131010−11211111⇒a11=21+15=36
解答:假設三角形三邊長為(11,a,b),滿足a+b>11且1≤a,b≤11,a,b均為自然數ab數量1111210−11239−11348−11457−11566−11677−11588−11499−1131010−11211111⇒a11=21+15=36
11. 已知數列a1,a2,a3,…,an,…的每一項都是正數,它的任意相鄰3項ak、ak+1、ak+2都滿足√ak−2√ak+1+√ak+2=0,其中k是正整數。若a4=4,a9=9,則第15項a15= ____。
解答:√ak−2√ak+1+√ak+2=0⇒{√a1−2√a2+√a3=0√a2−2√a3+√a4=0⋯√an−2−2√an−1+√an=0,上述(n−2)個式子相加⇒√a1−√a2−√an−1+√an=0⇒√an=√an−1+k,{k=√a2−√a1n≥2因此{√a4=√a3+k=√a2+2k=3√a2−2√a1=2√a9=√a8+k=√a2+7k=8√a2−7√a1=3⇒{√a1=7/5√a2=8/5⇒k=15⇒√a15=√a2+13k=85+135=215⇒a15=(215)2=44125
解答:x=2100⇒{2101=2x2201=2x22402=4x4⇒{2402+402=4x4+4022201+2101+1=2x2+2x+1⇒4x4+402=(2x2+2x+1)(2x2−2x+1)+401⇒餘數為401
解答:
解答:√ak−2√ak+1+√ak+2=0⇒{√a1−2√a2+√a3=0√a2−2√a3+√a4=0⋯√an−2−2√an−1+√an=0,上述(n−2)個式子相加⇒√a1−√a2−√an−1+√an=0⇒√an=√an−1+k,{k=√a2−√a1n≥2因此{√a4=√a3+k=√a2+2k=3√a2−2√a1=2√a9=√a8+k=√a2+7k=8√a2−7√a1=3⇒{√a1=7/5√a2=8/5⇒k=15⇒√a15=√a2+13k=85+135=215⇒a15=(215)2=44125
解答:x=2100⇒{2101=2x2201=2x22402=4x4⇒{2402+402=4x4+4022201+2101+1=2x2+2x+1⇒4x4+402=(2x2+2x+1)(2x2−2x+1)+401⇒餘數為401
解答:
令{¯CD=¯PQ=a¯AP=¯BQ=b,見上圖;則{¯AR2=102−b2¯AR2=112−(a+b)2⇒102−b2=112−(a+b)2⇒(a+b)2−b2=112−102⇒(a+2b)a=21⇒{{a+2b=21a=1⇒(a,b)=(1,10){a+2b=7a=3⇒(a,b)=(3,2)若¯RD=b=10=斜邊長¯AD,不合;因此(a,b)=(3,2)⇒¯AB=a+2b=7
解答:y=f(x)=ax2+bx+c=a(x−2)2+3=ax2−4ax+4a+3⇒f(0)<0⇒4a+3<0⇒a<−34⇒a=−1
解答:{A(2,0)B(6,0)C(0,3)D(0,5)P(s,t)⇒{L1=↔AD:5x+2y=10L2=↔BC:x+2y=6⇒P=L1∩L2=(1,52)
解答:
解答:{A(2,0)B(6,0)C(0,3)D(0,5)P(s,t)⇒{L1=↔AD:5x+2y=10L2=↔BC:x+2y=6⇒P=L1∩L2=(1,52)
解答:
{直角△ADH⇒¯DH=√132−122=5直角△AMH⇒¯MH=√152−122=9⇒¯MD=¯MH−¯DH=9−5=4令¯CH=a,又M為¯BC中點,因此¯BM=¯CM⇒¯BM=a+9由於¯AD為角平分線,因此¯BD¯DC=¯AB¯AC⇒a+13a+5=√(a+18)2+122√a2+122⇒(a+13)2(a+5)2=(a+18)2+122a2+122⇒1+16a+144a2+10a+25=1+36a+324a2+144⇒4(a+9)(a2+144)=9(a+9)(a2+10a+25)⇒5a2+90a−351=0⇒a=12√10510−9⇒¯BC=18+2a=12√1055
解答:{A(1,2)B(−4,2)O(0,0)⇒{→OA=(1,2)→OB=(−4,2)→AB=(−5,0)⇒{→u=→OA/|→OA|=(1/√5,2/√5)→v=→OB/|→OB|=(−2/√5,1/√5)→w=→AB/|→AB|=(−1,0)⇒{→n1=→u+→v=(−1/√5,3/√5)→n2=→w−→u=(−1−1/√5,−2/√5)⇒{∠AOB的角平分線L1:3x+y=0∠BAO的角平分線L2:2(x−1)=(√5+1)(y−2)⇒I=L1∩L2⇒3x+2(x−1)√5+1+2=0⇒x=−3+√52⇒y=−3x=9−3√52⇒I=(−3+√52,9−3√52)
二、證明題 (第 1 題 5 分,第 2 題 10 分,共 15 分)
解答:
1.{¯AB為直徑⇒∠APB=90∘¯AH為直徑⇒∠ACH=90∘¯BH為直徑⇒∠BDH=90∘⇒PCHD為一矩形⇒以¯CD為直徑的圓,此圓內接PCHD,故得證
=================== end ====================
您好,可以請您解109年嘉中科學班考題嗎?謝謝
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