111年國中學力鑑定-數學詳解

111年度自學進修國民中小學畢業程度（含身心障礙國民）
學力鑑定考試--國中級數學科

一、選擇題：(每題3分，共90分)

解答： $$x^3 = x\times x\times x \Rightarrow (-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5)，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$40-50=-10 \Rightarrow 35-50=-15，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答： $$\cases{(1) 27=3\times 9\\ (2)39=13\times 3\\ (4) 91=13\times 7} \Rightarrow 27,39,91都不是質數，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答： $$P(-3,4)與y軸距離＝|-3| =3，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$科學記號整數部分只能有個位數且個位數不得為0，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$同乘或同除相同數字，其比值不變，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$6x+7=8-3x \Rightarrow 6x+3x=8-7 \Rightarrow 9x=1 \Rightarrow x={1\over 9}，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$\cases{買上衣花了3x元\\ 買褲子花了2y元}\Rightarrow 共花了3x+2y= 360元，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$\cases{最大數字為7\\ 最小數字為1} \Rightarrow 全距=最大－最小= 7-1=6，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答： $$與30互質的編號為： 1,7,11,13，共4個；因此機率為{4\over 15}=，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$\cases{a:b= 3:2 = 15:10\\ a:c=5:4 = 15:12} \Rightarrow a:b:c = 15:10:12，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$放大前與放大後的五邊形相似，因此\angle D=\angle D'=50^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$a至少為1.5，也就是a\ge 1.5，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$假設邊長為a，則a^2=66，而64<66<81，即8^2 \lt 66\lt 9^2，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答：

$$兩三角形：\triangle CAD與\triangle BAD符合\cases{\overline{CA}=\overline{BA} \\ \overline{AD}=\overline{AD} \\ \angle D=\angle D}，即SSA，但兩三角形不全等，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$正八邊形內角為(8-2)\times 180\div 8 = 135^\circ \Rightarrow 外角＝180^\circ- 135^\circ = 45^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$(1)\cases{x=3\\ y=-2} \Rightarrow 2x-3y+7=6+6+7\ne 0 \\ (2)\cases{x=-2\\ y=1} \Rightarrow 2x-3y+7 = -4-3+7 =0\\ (3)\cases{x=-3\\ y=-2} \Rightarrow 2x-3y+7 = -6+6+7 \ne 0 \\(4) \cases{x=-2\\ y=3} \Rightarrow 2x-3y+7= -4-9+7 \ne 0\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$(1)6-2\ne 2-6 \Rightarrow 非等差\\ (2)公差為1\\ (3)公差為2 \\ (4)公差為0\\，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$x=-2時，y=-5，此時y值最大，頂點坐標為(-2,-5)，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$年齡由小至大排序：6,7, 18,22,23,25,25 ,26,27, 27,57，排名第6為25，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$斜邊的平方=7^2+12^2 =193 \Rightarrow 斜邊長=\sqrt{193}，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答： $$\angle 1=\angle 3 \Rightarrow \angle 1=50^\circ \div 2=25^\circ \Rightarrow \angle 2=180^\circ -\angle 1=180^\circ -25^\circ = 155^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$x^2+3x-4 =(x+4)(x-1)=0 \Rightarrow x=1或-4，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

\

解答： $$y=3x-1的斜率＝3，不是水平線也不是鉛垂線；又0-1\ne 0，即直線不過原點，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$\cases{a_1=5\\ d=3} \Rightarrow a_{30}= a_1+ (30-1)d = 5+29\times 3=92，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$\overline{DE}\parallel \overline{BC} \Rightarrow {\overline{DE}\over \overline{BC}} ={\overline{AE} \over \overline{AC}} \Rightarrow {\overline{DE} \over 64}= {80-45\over 80} \Rightarrow \overline{DE}=64 \times{35\over 80}= 28，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$6\lt -2-4x \Rightarrow 8\lt -4x \Rightarrow 4x\lt -8 \Rightarrow x\lt -2，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$將\cases{x=2\\ y=5}代入y=2x^2+c \Rightarrow 5=8+c \Rightarrow c=-3 \Rightarrow 當x=0時，y有最小值－3\\\Rightarrow 頂點坐標(0,-3)，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$圓心角為圓周角的二倍，因此 \angle AOC=30^\circ \Rightarrow \angle AOC=2\angle B= 60^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$\triangle ABC =6\triangle BDG = 6\times 4=24，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

二、填充題（每格2分，共10分）

解答： $$\angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=180^\circ-130^\circ =\bbox[red,2pt]{50^\circ}$$

解答： $$圓面積＝6^2\pi =36\pi，又扇形面積占整個圓的{120^\circ \over 360^\circ} ={1\over 3}，因此扇形面積={1\over 3}\times 36\pi = \bbox[red,2pt]{12\pi}$$

解答： $$此為等差數列的和，因此其值為(33+123)\times 10\div 2= \bbox[red,2pt]{780}$$

解答： $$x^2-3x-54 =(x-a)(x-b)= x^2-(a+b)x +ab \Rightarrow \cases{a=-6\\ b=9} \Rightarrow x^2-3x-54= \bbox[red,2pt]{(x+6)(x-9)}$$

解答： $$\overline{AB}^2 =\overline{AC}^2 +\overline{BC}^2 \Rightarrow 13^2= 12^2 + \overline{BC}^2 \Rightarrow \overline{BC} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{25}= \bbox[red,2pt]{5}$$

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解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解