112年身障升大學-數學B詳解

112 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：大學組-數學 B

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答： $$\cases{a=\sqrt 6+3\\ b=\sqrt 6-3} \Rightarrow ab=6-9=-3 \Rightarrow ab^2= -3(\sqrt 6-3)=9-3\sqrt 6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$一罐花生的重量為x \Rightarrow 600-600\times 3\%\le x\le 600+600\times 3\% \Rightarrow 582\le x \le 618\\ \Rightarrow 2910\le 5x\le 3090，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$等差數列的和=(2+98)\times 33\div 2=1650，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$a_n= a_1+(n-1)d \Rightarrow b_n = 10^{a_n} =10^{a_1+(n-1)d} \Rightarrow {b_n\over b_{n-1}}={10^{a_1+(n-1)d} \over 10^{a_1+(n-2)d}} =10^d \Rightarrow b_n為等比數列\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$f除以x-1及x-3的餘式皆為－4 \Rightarrow f(x)=a(x-1)(x-3)-4 = ax^2-4ax+3a-4\\ y=f(x)與y=-2交於一點 \Rightarrow f(x)=-2僅有一解 \Rightarrow ax^2-4ax+3a-4=-2\\ \Rightarrow ax^2-4ax+3a-2=0 的判別式=0 \Rightarrow 16a^2-4a(3a-2)=0 \Rightarrow 4a(a+2)=0 \Rightarrow a=-2\\ \Rightarrow f(x)=-2(x-1)(x-3)-4 \Rightarrow f(0)=-6-4=-10，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$a_1=4 \Rightarrow a_2={1\over 1-4}=-{1\over 3} \Rightarrow a_3={1\over 1+{1\over 3}} ={3\over 4} \Rightarrow a_4={1\over 1-{3\over 4}} =4\\ \Rightarrow a_n=\begin{cases}4,&n \mod 3=1\\ -1/3, &n \mod 3=2 \\ 3/4, &n\mod 3=0\end{cases} \Rightarrow \cases{a_{15}=3/4\\ a_{16}=4\\ a_{17}=-1/3\\ a_{18}= 3/4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{A(0,-2) \\B(0,-6)} \Rightarrow \cases{圓心O=(A+B)\div 2 = (0,-4)\\ 圓半徑r=\overline{AB}\div 2 = 2} \\若直線L與圓相切\Rightarrow d(L,O)=r\\ (A) \times:d(L,O)={|-16-3|\over 5} \ne 2\\(B)  \times: d(L,O)={|-16+3|\over 5} \ne 2 \\ (C) \times: d(L,O)={|-16-6|\over 5}\ne 2\\ (D)\bigcirc: d(L,O)={|-16+6|\over 5}=2 = r，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$假設一開始\cases{甲數量為A\\ 乙數量為B} \Rightarrow A\cdot 10^{15/3} =B\cdot 10^{15/5}\cdot 10^3 \\ \Rightarrow A\cdot 10^5 =B\cdot 10^6 \Rightarrow A=10B，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$2x-y+1=0 \Rightarrow y=2x+1 \xrightarrow{對稱x軸} L:y=-(2x+1) \Rightarrow 2x+y+1=0，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$直圓錐的垂直截痕為雙曲線，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{2x+(3-k)y+3=0\\ kx-2y+6=0} 無解\Rightarrow {2\over k}={3-k\over -2}\ne {3\over 6} \Rightarrow -4=3k-k^2 \\ \Rightarrow k^2-3k-4=0 \Rightarrow (k-4)(k+1)=0 \Rightarrow \cases{k=4 \Rightarrow {2\over k}={3\over 6}不合\\ k=-1}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{加蜂蜜：3種選擇\\ 不加蜂蜜：3\times 4=12種選擇} \Rightarrow 共有3+12=15種選擇，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$Av= \begin{bmatrix} -1\\ 4\end{bmatrix} \Rightarrow v= A^{-1}\begin{bmatrix} -1\\ 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2& 1\\ -3 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2\\ -1\end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{上午7點達到最高溫18^\circ \Rightarrow \cases{A=18\\ 7B+C=\pi/2}\\ 上午8點半達到最低溫\Rightarrow 8.5B+C=3\pi/2} \Rightarrow 1.5B=\pi  \Rightarrow B={2\over 3}\pi ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設\cases{\vec b與\vec c的夾角為\alpha \\\vec b與\vec a的夾角為\beta \\\vec b與\vec c的夾角為\gamma }，由於\cases{\vec b\cdot \vec c=0 \Rightarrow \alpha=90^\circ\\ \vec a\cdot \vec b\lt -{1\over 2}\Rightarrow 240^\circ \lt \beta \lt 120^\circ} \Rightarrow 30^\circ \lt \gamma \lt 150^\circ \\ \Rightarrow -{\sqrt 3\over 2}\lt \cos \gamma \lt {\sqrt 3\over 2} \Rightarrow -{\sqrt 3\over 2}\lt \cos \gamma \lt {\sqrt 3\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$0.6 = r_{X,Y}\cdot {\sigma_Y \over \sigma_X} \Rightarrow r_{X,Y} =0.6\cdot {\sigma_X \over \sigma_Y} =0.6\cdot {1.5\over 2} =0.45，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$最短路徑：往東30度再往南60度，共走了20\cdot ({\pi\over 6}+{\pi\over 3}) =10\pi，答案無此選項\\ 一直向東，可能繞了赤道一圈，距離為40\pi;因此可能的距離為40\pi+10\pi =50\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$三人綁在一起，有3!排法，其中甲乙可以左右互換，中間有3種選擇，因此共有3!\times 2\times 3=36種\\ 5人任排，有5!排法；因此機率為{36\over 5!}={36\over 120}={3\over 10}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $${患病試劑呈紅色 \over患病試劑呈紅色+不患病也呈紅色} ={20\% \times 90\% \over 20\% \times 90\% + 80\%\times 2\%} \\={1800\over 1800+ 160} ={1800\over 1960} \approx0.918，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cos A={2^2+6^2-7^2\over 2\cdot 2\cdot 6} =-{9\over 24}\\ \overline{AB}=\overline{AD}=2 \Rightarrow \cos A=-{9\over 24} ={2^2+2^2-\overline{BD}^2 \over 2\cdot 2\cdot 2} ={8 -\overline{BD}^2\over 8}\Rightarrow \overline{BD}^2 =11 \Rightarrow \overline{BD}=\sqrt{11}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他歷年試題及詳解