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2023年8月8日 星期二

112年高雄聯合轉學考-升高三-數學詳解

高雄區公立高級中等學校 112 學年度聯合招考轉學生
《高 2 升高 3》《數學》科試卷

一、 單一選擇題( 60 分)

解答(log535)(log735)(14log57+112log7125)=12(log5+log7)log5×12(log5+log7)log7(14log57+312log75)=(12+12log7log5)(12log5log7+12)(14log57+14log75)=14log5log7+14+14+14log7log514log7log514log5log7=12(C)
2. 設坐標平面上三點 A(2,1) , B(6, 4) , C k (9, ), O 為原點。若向量OA與向量 OB 在向量 OC 上的正射影相同,則實數k 的值為下列何者?

(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

解答{OA=(2,1)OB=(6,4)OC=(9,k)OAOC=OBOC18+9k=54+4kk=12(B)
3. 設ABC為邊長為63 的正三角形, P 為ABC內部一點, P 到ABC三邊的距離分別為x,y,z ,則 3x+2y+z 的最大值為何?

(A) 33 (B)32(C) 6 (D) 36 (E) 42

解答ABC=34(63)2=1263(x+y+z)x+y+z=9西:((x)2+(y)2+(z)2)((3)2+(2)2+12)(3x+2y+z)2(x+y+z)(3+2+1)=96(3x+2y+z)23x+2y+z54=3636(D)
解答B=90B¯ACOBA+BB+BC=2BO(A)
解答{A(a,b,c)B(b,c,a)C(c,a,b)A,B,CE:x+y+z=a+b+cd(O,E)=a+b+c3(E)
解答西:((x1)2+(y+7)2+(z2)2)(42+(1)2+82)(4(x1)(y+7)+8(z2))2((x1)2+(y+7)2+(z2)2)81(4xy+8z27)2(x1)2+(y+7)2+(z2)2(2727)281=36(x1)2+(y+7)2+(z2)236=6(D)
解答{sinA=5/13cosA=12/13tanC=4/3{sinC=4/5cosC=3/5cosB=cos(π(A+C))=cos(A+C)=cosAcosC+sinA+sinC=121335+51345=36+2065=5665(C)
8. 根據牛頓冷卻定律,物體的溫度變化,可以用數學公式 f(t)=E+(f(0)E)×10kt(C) 描述,其中f(t)是物體在t 分鐘時的溫度; f(0)是物體起始(t=0)的溫度, E 是環境溫度(單位: C ), k 是一常數。已知小萱的房間溫度維持在22Ck=0.085,若小萱煮好一碗泡麵時,其溫度為82C ,但這溫度太燙無法入口, 根據牛頓冷卻定律,小萱需將泡麵自然靜置幾分鐘後才能達到容易入口的42C 呢? (四捨五入至整數位)(log30.4771 )

(A) 5 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 7 分鐘 (D) 8 分鐘 (E) 9 分鐘

解答42=22+(8222)×100.085t100.085t=130.085t=log3=0.4771t=0.47710.0855.6(B)
解答{y=2xy=5xA(α,2α=5α);{y=log2xy=5xB(β,log2β=5β)2xlog2xA(α,5α)B(β,5β)y=x(A+B)/2y=xα+β2=10(α+β)2α+β=52α+log2β=5α+5β=10(α+β)=5(C)
10. 某食品工廠有 A, B, C 三條生產線,其產量分別佔總產量的30%、 45%、 25%,且 A, B, C 這三條生產線的產品分別有3%、 3%、 x%的瑕疵品。今品管人員從生產的產品中任選一個,且此產品為瑕疵品的條件下,發現此產品來自 C 生產線的機率為 716,實數 x 為下列哪一個選項?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7

解答C=0.25×a0.3×0.03+0.45×0.03+0.25×a=0.25a0.0225+0.25a=7160.1575+1.75a=4aa=0.007=7%x=7(E)
解答f(x)=sin2x2sinxcosx+3cos2x=1sin(2x)+2cos2x=1sin(2x)+cos(2x)+1=2+cos(2x)sin(2x)0xπ2sin(2x)0f(x)sin(2x)=0f(0)=3(A)
解答
解答\cases{x-2y+3z=5-a\cdots(1)\\ 2x-3y+5z=9+a \cdots(2)\\ 3x-y+4z=-2-4a \cdots(3)} \stackrel{\triangle}{=} \begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\2 & -3& 5\\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-a \\ 9+a \\-2-4a \end{bmatrix}\\ 而\begin{vmatrix}1 & -2 & 3\\2 & -3& 5\\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0且有解,因此有無限多解\\ 由(1)及(2)可得y=-1+3a+z代入(1)及(3) \Rightarrow \cases{x+z=3+5a\\ 3x+3z=-3-a} \Rightarrow {3+5a\over -3-a}={1\over 3}\\ \Rightarrow 16a=-12 \Rightarrow a=-{3\over 4},故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答此題相當於求兩圖形\cases{y=f(x)=\cos x\\ y=g(x)=x/7} 的交點數\\ \cases{y={1\over 7}x的斜率為{1\over 7}\\ \cos x=1 \Rightarrow x=0,2\pi, 4\pi}\Rightarrow \cases{f(2\pi)=f(4\pi)=1\\ g(4\pi) \approx 1.8\gt 1\\ g(2\pi) \approx 0.9 \lt 1} \Rightarrow 在0\lt x處,兩圖形有3個交點\\ 又\cases{f(-\pi)=f(-3\pi)= -1\\ g(-\pi)\approx -0.4 \gt -1\\ g(-3\pi)\lt -1} \Rightarrow 在x\lt 0處,兩圖形有2個交點\\ 因此共有5個交點,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
15. 袋中有大小相同的 5 個白球, 4 個紅球, 3 個黑球, 今自袋中取出一球, 取出後不放回, 共取三次球, 則在第一次取到白球條件下, 三次取到的球都異色的機率為何?(A){9\over 55} \quad (B){2\over 11} \quad (C){1\over 5} \quad (D){13\over 55}\quad (E){12\over 55}

解答\cases{白紅黑:{4\over 11}\times {3\over 10}={12\over 110}\\ 白黑紅:{3\over 11} \times {4\over 10} ={12\over 110}} \Rightarrow {12+12\over 110}={12\over 55},故選\bbox[red, 2pt]{(E)}

二、 多重選擇題( 40 分)

解答(A)\times: f(x)=4\cos(x-{\pi/6})-4\sin x=4({\sqrt 3\over 2}\cos x+{1\over 2}\sin x)-4\sin x \\ \qquad = 2\sqrt 3\cos x-2\sin x=4 \sin({\pi\over 3}-x) \Rightarrow 振幅=4\\(B)\bigcirc: f(x) = 4\sin({\pi\over 3}-x) \Rightarrow 週期=2\pi \\ (C)\bigcirc: f(x) = 4\sin({\pi\over 3}-x) 最大值=4\\ (D)\times: 向右平移{\pi\over 3} \\(E)\times:{\pi\over 3}-x={\pi\over 2} \Rightarrow x= -{\pi\over 6} \Rightarrow 對稱於x=-{\pi\over 6}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}
解答(A)\bigcirc: k=3 \Rightarrow \cases{2x+2y=-1\\ 6x+6y=7} \Rightarrow {2\over 6}={2\over 6}\ne {-1\over 7} 無解\\(B) \bigcirc: k=4 \Rightarrow \cases{3x+2y=-1\\ 8x+7y=9} \Rightarrow {3\over 8}\ne {2\over 7} 恰有一組解\\ (C)\times: k=-1 \Rightarrow -2x+2y=-1 \Rightarrow x-y=1/2 \ne -1\\ (D) \times: k=2 \Rightarrow \cases{x+2y=-1\\ 4x+5y=5} \Rightarrow {1\over 4}\ne {2\over 5} 恰有一組解\\ (E)\times: k=5 \Rightarrow \cases{4x+2y=-1 \\ 10x+8y=11} \Rightarrow \cases{x=-15/6\\ y=9/2 \gt 0}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(AB)}
解答(A)\times: 取L=E\cap F,則L滿足題意修件,但E,F不一定平行\\(B) \times: 若L_1在E上,E不一定平行L_2 \\(C) \bigcirc: 取\triangle ABC重心G,過G且與平面\triangle ABC垂直之直線上的點P,均符合\overline{PA}= \overline{PB}= \overline{PC}\\ (D)\bigcirc: 取\cases{A(0,0,0)\\ B(0,1,1)\\ C(1,1,0)\\ D(1,0,1)} \Rightarrow M=(1,1/2,1/2)\Rightarrow \cases{\overrightarrow{CD}=(0,-1,1)\\ 平面ABM:y-z=0} \\\qquad \Rightarrow \overrightarrow{CD}與平面法向量平行\Rightarrow \overleftrightarrow{CD}與平面ABM垂直\\ (E)\times: 若L_2=L_3符合要求,但兩者共平面\\,故選\bbox[red, 2pt]{(CD)}
解答假設\overrightarrow{AD} =\alpha \overrightarrow{AB} +\beta \overrightarrow{AC} \Rightarrow \alpha+\beta=1\\ 因此取{15\over 8}  \overrightarrow{AP} ={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC}滿足{3\over 8}+{5\over 8}=1 \Rightarrow {15\over 8}  \overrightarrow{AP} =  \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC}\\ (A)\times:  \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over 8}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overline{BD}: \overline{DC}= 5:3 \\(B)\bigcirc: {15\over 8}  \overrightarrow{AP} =  \overrightarrow{AD}  \Rightarrow \overline{AP}: \overline{AD}= 8:15 \\(C)\times: \overrightarrow{AD}={3\over 8} \overrightarrow{AB}+ {5\over  8}\overrightarrow{AC} \\(D) \bigcirc:  {\triangle ACP \over \triangle ACD} ={\overline{AP} \over \overline{AD}}={8\over 15} \Rightarrow \triangle ACP={8\over 15}\triangle ACD\\ \qquad 又{\triangle ACD \over \triangle ABC}={\overline{CD} \over \overline{BC}} ={3 \over 8} \Rightarrow \triangle ACD= {3\over 8}\triangle ABC \Rightarrow \triangle ACP={3\over 8}\cdot {8\over 15} \triangle ABC\\ \qquad \Rightarrow \triangle ACP ={1\over 5}\triangle ABC \\(E) \bigcirc: \overrightarrow{BE} ={3\over 5}\overrightarrow{BA} \Rightarrow {\overline{AE} \over \overline{AB}}={2\over 5} \Rightarrow \triangle AEP={2\over 5}\triangle APB ={2\over 5}\cdot {8\over 15} \triangle ABD\\ \qquad ={2\over 5}\cdot {8\over 15}\cdot {5\over 8} \triangle ABC={2\over 15} \triangle ABC,故選\bbox[red, 2pt]{(BDE)}
解答L_1:\cases{x+3y+z=7 \\ 2x+y-3z=4} \Rightarrow L_1的方向向量\vec u= (1,3,1)\times (2,1,-3) = (-10,5,-5)\\ L_1\parallel L_2 \Rightarrow {a\over -10}={2\over 5}={b\over -5} \Rightarrow \cases{a=-4\\ b=-2}\\ 又(3,-3,4)在L_2上 \Rightarrow {3-1\over -4}={-3-y_0\over 2}={4-3\over -2} \Rightarrow y_0=-2\\ (A)\times: a=-4\ne 4\\ (B)\bigcirc: y_0=2\\ (C) \bigcirc: b=-2\\ (D)\times: \cases{L_1\ne L_2\\ L_1\parallel L_2} \Rightarrow 包含L_1及L_2的平面只有一個\\ (E) \bigcirc: \cases{A(1,2,0)在L_1 \\ B(1,-2,3)在L_2上} \Rightarrow \vec v=\overrightarrow{AB} =(0,-4,3)在\vec u的正射影長={35\over \sqrt{150}} ={7\over \sqrt 6}\\ \qquad \Rightarrow L_1,L_2距離=\sqrt{|\vec v|^2-(7/\sqrt 6)^2} = \sqrt{101\over 6}\gt 4\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}
解答x^2-a=0\Rightarrow x=\pm \sqrt a \Rightarrow 兩根平方和=\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1=2a \Rightarrow a=1/2\\ \Rightarrow \cases{\sin \theta +\cos \theta=0\\ \sin\theta\cos \theta=-a =-1/2} \Rightarrow \cases{(\sin \theta,\cos\theta)=(\sqrt 2/2,-\sqrt 2/2) \Rightarrow \theta=3\pi/4 \\ (\sin \theta,\cos \theta)= (-\sqrt 2/2, \sqrt 2/2) \Rightarrow \theta=7\pi/4(不合)}\\ 由於{\pi\over 2}\le \theta\le {3\pi \over 2} 且\sin \theta+\cos\theta=0 \Rightarrow \theta={3\over 4}\pi \Rightarrow \cases{\cos\theta= -\sqrt 2/2\\ \sin \theta= \sqrt 2/2}\\(A) \times: \tan\theta =-1 \ne 1 \\(B) \bigcirc: \sin(\theta+{\pi\over 4})= \sin \pi =0 \\ (C)\bigcirc: \cos \theta=-\sqrt 2/2 \\(D)\bigcirc: a=1/2\\ (E)\bigcirc: \theta=3\pi/4\\ ,故選\bbox[red, 2pt]{BCDE},但公布的答案是\bbox[cyan,2pt]{CD}
解答\begin{bmatrix}3 & 4 \\1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a  \\ma \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b \\mb \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{(3+4m)a = b\\ (1+3m)a=mb} \Rightarrow (1+3m)a= ma(3+4m) \\ \Rightarrow a=4m^2a \Rightarrow (4m^2-1)a=0 \Rightarrow m=\pm{1\over 2},故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}
解答(A)\times: A^5=A^3 \Rightarrow A^3(A^2-I)=0 \Rightarrow A=0,I 或A=A^{-1} \\(B)\times: 若A=0 \Rightarrow AB=BA=0,但A^{-1}不存在 \\(C)\times: A+B+C可能為0,不一定存在 \\(D)\bigcirc: A,B,C為轉移矩陣\Rightarrow A^3,B^2仍為轉移矩陣 \Rightarrow {1\over 4}(A^3+B^2)+{1\over 2}C也是\\ (E)\bigcirc:理由同上\\ ,故選\bbox[red, 2pt]{(DE)}

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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

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