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2023年8月8日 星期二

112年高雄聯合轉學考-升高三-數學詳解

高雄區公立高級中等學校 112 學年度聯合招考轉學生
《高 2 升高 3》《數學》科試卷

一、 單一選擇題( 60 分)

解答(log535)(log735)(14log57+112log7125)=12(log5+log7)log5×12(log5+log7)log7(14log57+312log75)=(12+12log7log5)(12log5log7+12)(14log57+14log75)=14log5log7+14+14+14log7log514log7log514log5log7=12(C)
2. 設坐標平面上三點 A(2,1) , B(6, 4) , C k (9, ), O 為原點。若向量OA與向量 OB 在向量 OC 上的正射影相同,則實數k 的值為下列何者?

(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

解答{OA=(2,1)OB=(6,4)OC=(9,k)OAOC=OBOC18+9k=54+4kk=12(B)
3. 設ABC為邊長為63 的正三角形, P 為ABC內部一點, P 到ABC三邊的距離分別為x,y,z ,則 3x+2y+z 的最大值為何?

(A) 33 (B)32(C) 6 (D) 36 (E) 42

解答ABC=34(63)2=1263(x+y+z)x+y+z=9西:((x)2+(y)2+(z)2)((3)2+(2)2+12)(3x+2y+z)2(x+y+z)(3+2+1)=96(3x+2y+z)23x+2y+z54=3636(D)
解答B=90B¯ACOBA+BB+BC=2BO(A)
解答{A(a,b,c)B(b,c,a)C(c,a,b)A,B,CE:x+y+z=a+b+cd(O,E)=a+b+c3(E)
解答西:((x1)2+(y+7)2+(z2)2)(42+(1)2+82)(4(x1)(y+7)+8(z2))2((x1)2+(y+7)2+(z2)2)81(4xy+8z27)2(x1)2+(y+7)2+(z2)2(2727)281=36(x1)2+(y+7)2+(z2)236=6(D)
解答{sinA=5/13cosA=12/13tanC=4/3{sinC=4/5cosC=3/5cosB=cos(π(A+C))=cos(A+C)=cosAcosC+sinA+sinC=121335+51345=36+2065=5665(C)
8. 根據牛頓冷卻定律,物體的溫度變化,可以用數學公式 f(t)=E+(f(0)E)×10kt(C) 描述,其中f(t)是物體在t 分鐘時的溫度; f(0)是物體起始(t=0)的溫度, E 是環境溫度(單位: C ), k 是一常數。已知小萱的房間溫度維持在22Ck=0.085,若小萱煮好一碗泡麵時,其溫度為82C ,但這溫度太燙無法入口, 根據牛頓冷卻定律,小萱需將泡麵自然靜置幾分鐘後才能達到容易入口的42C 呢? (四捨五入至整數位)(log30.4771 )

(A) 5 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 7 分鐘 (D) 8 分鐘 (E) 9 分鐘

解答42=22+(8222)×100.085t100.085t=130.085t=log3=0.4771t=0.47710.0855.6(B)
解答{y=2xy=5xA(α,2α=5α);{y=log2xy=5xB(β,log2β=5β)2xlog2xA(α,5α)B(β,5β)y=x(A+B)/2y=xα+β2=10(α+β)2α+β=52α+log2β=5α+5β=10(α+β)=5(C)
10. 某食品工廠有 A, B, C 三條生產線,其產量分別佔總產量的30%、 45%、 25%,且 A, B, C 這三條生產線的產品分別有3%、 3%、 x%的瑕疵品。今品管人員從生產的產品中任選一個,且此產品為瑕疵品的條件下,發現此產品來自 C 生產線的機率為 716,實數 x 為下列哪一個選項?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7

解答C=0.25×a0.3×0.03+0.45×0.03+0.25×a=0.25a0.0225+0.25a=7160.1575+1.75a=4aa=0.007=7%x=7(E)
解答f(x)=sin2x2sinxcosx+3cos2x=1sin(2x)+2cos2x=1sin(2x)+cos(2x)+1=2+cos(2x)sin(2x)0xπ2sin(2x)0f(x)sin(2x)=0f(0)=3(A)
解答a1a2a3b1b2b3c1c2c3=53a1+b13a2+b23a3+b3b13c1b23c2b33c32c12c22c3{3a+b×3b3c2c×2=5×3×2=30(A)
解答{x2y+3z=5a(1)2x3y+5z=9+a(2)3xy+4z=24a(3)=[123235314][xyz]=[5a9+a24a]|123235314|=0(1)(2)y=1+3a+z(1)(3){x+z=3+5a3x+3z=3a3+5a3a=1316a=12a=34(D)
解答{y=f(x)=cosxy=g(x)=x/7{y=17x17cosx=1x=0,2π,4π{f(2π)=f(4π)=1g(4π)1.8>1g(2π)0.9<10<x3{f(π)=f(3π)=1g(π)0.4>1g(3π)<1x<025(D)
15. 袋中有大小相同的 5 個白球, 4 個紅球, 3 個黑球, 今自袋中取出一球, 取出後不放回, 共取三次球, 則在第一次取到白球條件下, 三次取到的球都異色的機率為何?(A)955(B)211(C)15(D)1355(E)1255

解答{:411×310=12110:311×410=1211012+12110=1255(E)

二、 多重選擇題( 40 分)

解答(A)×:f(x)=4cos(xπ/6)4sinx=4(32cosx+12sinx)4sinx=23cosx2sinx=4sin(π3x)=4(B):f(x)=4sin(π3x)=2π(C):f(x)=4sin(π3x)=4(D)×:π3(E)×:π3x=π2x=π6x=π6(BC)
解答(A):k=3{2x+2y=16x+6y=726=2617(B):k=4{3x+2y=18x+7y=9 3827(C)×:k=12x+2y=1xy=1/21(D)×:k=2{x+2y=14x+5y=51425(E)×:k=5{4x+2y=110x+8y=11{x=15/6y=9/2>0(AB)
解答(A)×:L=EFL滿E,F(B)×:L1EEL2(C):ABCGGABCP¯PA=¯PB=¯PC(D):{A(0,0,0)B(0,1,1)C(1,1,0)D(1,0,1)M=(1,1/2,1/2){CD=(0,1,1)ABM:yz=0CDCDABM(E)×:L2=L3(CD)
解答AD=αAB+βACα+β=1158AP=38AB+58AC滿38+58=1158AP=AD=38AB+58AC(A)×:AD=38AB+58AC¯BD:¯DC=5:3(B):158AP=AD¯AP:¯AD=8:15(C)×:AD=38AB+58AC(D):ACPACD=¯AP¯AD=815ACP=815ACDACDABC=¯CD¯BC=38ACD=38ABCACP=38815ABCACP=15ABC(E):BE=35BA¯AE¯AB=25AEP=25APB=25815ABD=2581558ABC=215ABC(BDE)
解答L1:{x+3y+z=72x+y3z=4L1u=(1,3,1)×(2,1,3)=(10,5,5)L1L2a10=25=b5{a=4b=2(3,3,4)L2314=3y02=432y0=2(A)×:a=44(B):y0=2(C):b=2(D)×:{L1L2L1L2L1L2(E):{A(1,2,0)L1B(1,2,3)L2v=AB=(0,4,3)u=35150=76L1,L2=|v|2(7/6)2=1016>4(BCE)
解答x2a=0x=±a=sin2θ+cos2θ=1=2aa=1/2{sinθ+cosθ=0sinθcosθ=a=1/2{(sinθ,cosθ)=(2/2,2/2)θ=3π/4(sinθ,cosθ)=(2/2,2/2)θ=7π/4()π2θ3π2sinθ+cosθ=0θ=34π{cosθ=2/2sinθ=2/2(A)×:tanθ=11(B):sin(θ+π4)=sinπ=0(C):cosθ=2/2(D):a=1/2(E):θ=3π/4BCDECD
解答[3413][ama]=[bmb]{(3+4m)a=b(1+3m)a=mb(1+3m)a=ma(3+4m)a=4m2a(4m21)a=0m=±12(BC)
解答(A)×:A5=A3A3(A2I)=0A=0,IA=A1(B)×:A=0AB=BA=0A1(C)×:A+B+C0(D):A,B,CA3,B214(A3+B2)+12C(E):(DE)

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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

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