高雄區公立高級中等學校 112 學年度聯合招考轉學生《高 2 升高 3》《數學》科試卷
一、 單一選擇題( 60 分)
2. 設坐標平面上三點 A(2,1) , B(6, 4) , C k (9, ), O 為原點。若向量→OA與向量 →OB 在向量 →OC 上的正射影相同,則實數k 的值為下列何者?
(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21
3. 設△ABC為邊長為6√3 的正三角形, P 為△ABC內部一點, P 到△ABC三邊的距離分別為x,y,z ,則 √3x+√2y+√z 的最大值為何?
(A) 3√3 (B)3√2(C) 6 (D) 3√6 (E) 4√2
解答:假設∠B=90∘,則B為垂心,¯AC的中點O為外心,符合→BA+→BB+→BC=2→BO,故選(A)
解答:{A(a,b,c)B(b,c,a)C(c,a,b)⇒過A,B,C的平面E:x+y+z=a+b+c⇒d(O,E)=a+b+c√3,故選(E)
解答:柯西不等式:((x−1)2+(y+7)2+(z−2)2)(42+(−1)2+82)≥(4(x−1)−(y+7)+8(z−2))2⇒((x−1)2+(y+7)2+(z−2)2)⋅81≥(4x−y+8z−27)2⇒(x−1)2+(y+7)2+(z−2)2≥(−27−27)281=36⇒√(x−1)2+(y+7)2+(z−2)2≥√36=6,故選(D)
解答:{sinA=5/13⇒cosA=12/13tanC=−4/3⇒{sinC=4/5cosC=−3/5⇒cosB=cos(π−(A+C))=−cos(A+C)=−cosAcosC+sinA+sinC=−1213⋅−35+513⋅45=36+2065=5665,故選(C)
解答:42=22+(82−22)×10−0.085t⇒10−0.085t=13⇒−0.085t=−log3=−0.4771⇒t=0.47710.085≈5.6,故選(B)
解答:兩圖形{y=2xy=5−x相交於A(α,2α=5−α);兩圖形{y=log2xy=5−x相交於B(β,log2β=5−β)又2x與log2x互為反函數,因此A(α,5−α)與B(β,5−β)對稱於直線y=x⇒(A+B)/2在y=x上⇒α+β2=10−(α+β)2⇒α+β=5因此2α+log2β=5−α+5−β=10−(α+β)=5,故選(C)
解答:C生產的瑕疵品所有的瑕疵品=0.25×a0.3×0.03+0.45×0.03+0.25×a=0.25a0.0225+0.25a=716⇒0.1575+1.75a=4a⇒a=0.007=7%⇒x=7,故選(E)
解答:f(x)=sin2x−2sinxcosx+3cos2x=1−sin(2x)+2cos2x=1−sin(2x)+cos(2x)+1=2+cos(2x)−sin(2x)由於0≤x≤π2⇒sin(2x)≥0⇒f(x)的最大值在sin(2x)=0,即f(0)=3,故選(A)
解答:依題意‖a1a2a3b1b2b3c1c2c3‖=5,欲求‖3a1+b13a2+b23a3+b3b1−3c1b2−3c2b3−3c32c12c22c3‖由於{3→a+→b⇒行列式×3→b−3→c為列運算,不改變行列式2→c⇒行列式×2⇒因此欲求之行列式=5×3×2=30,故選(A)
解答:{x−2y+3z=5−a⋯(1)2x−3y+5z=9+a⋯(2)3x−y+4z=−2−4a⋯(3)△=[1−232−353−14][xyz]=[5−a9+a-2−4a]而|1−232−353−14|=0且有解,因此有無限多解由(1)及(2)可得y=−1+3a+z代入(1)及(3)⇒{x+z=3+5a3x+3z=−3−a⇒3+5a−3−a=13⇒16a=−12⇒a=−34,故選(D)
解答:此題相當於求兩圖形{y=f(x)=cosxy=g(x)=x/7的交點數{y=17x的斜率為17cosx=1⇒x=0,2π,4π⇒{f(2π)=f(4π)=1g(4π)≈1.8>1g(2π)≈0.9<1⇒在0<x處,兩圖形有3個交點又{f(−π)=f(−3π)=−1g(−π)≈−0.4>−1g(−3π)<−1⇒在x<0處,兩圖形有2個交點因此共有5個交點,故選(D)
解答:{白紅黑:411×310=12110白黑紅:311×410=12110⇒12+12110=1255,故選(E)
解答:(A)◯:k=3⇒{2x+2y=−16x+6y=7⇒26=26≠−17無解(B)◯:k=4⇒{3x+2y=−18x+7y=9 ⇒38≠27恰有一組解(C)×:k=−1⇒−2x+2y=−1⇒x−y=1/2≠−1(D)×:k=2⇒{x+2y=−14x+5y=5⇒14≠25恰有一組解(E)×:k=5⇒{4x+2y=−110x+8y=11⇒{x=−15/6y=9/2>0,故選(AB)
解答:(A)×:取L=E∩F,則L滿足題意修件,但E,F不一定平行(B)×:若L1在E上,E不一定平行L2(C)◯:取△ABC重心G,過G且與平面△ABC垂直之直線上的點P,均符合¯PA=¯PB=¯PC(D)◯:取{A(0,0,0)B(0,1,1)C(1,1,0)D(1,0,1)⇒M=(1,1/2,1/2)⇒{→CD=(0,−1,1)平面ABM:y−z=0⇒→CD與平面法向量平行⇒↔CD與平面ABM垂直(E)×:若L2=L3符合要求,但兩者共平面,故選(CD)
解答:假設→AD=α→AB+β→AC⇒α+β=1因此取158→AP=38→AB+58→AC滿足38+58=1⇒158→AP=→AD=38→AB+58→AC(A)×:→AD=38→AB+58→AC⇒¯BD:¯DC=5:3(B)◯:158→AP=→AD⇒¯AP:¯AD=8:15(C)×:→AD=38→AB+58→AC(D)◯:△ACP△ACD=¯AP¯AD=815⇒△ACP=815△ACD又△ACD△ABC=¯CD¯BC=38⇒△ACD=38△ABC⇒△ACP=38⋅815△ABC⇒△ACP=15△ABC(E)◯:→BE=35→BA⇒¯AE¯AB=25⇒△AEP=25△APB=25⋅815△ABD=25⋅815⋅58△ABC=215△ABC,故選(BDE)
解答:L1:{x+3y+z=72x+y−3z=4⇒L1的方向向量→u=(1,3,1)×(2,1,−3)=(−10,5,−5)L1∥L2⇒a−10=25=b−5⇒{a=−4b=−2又(3,−3,4)在L2上⇒3−1−4=−3−y02=4−3−2⇒y0=−2(A)×:a=−4≠4(B)◯:y0=2(C)◯:b=−2(D)×:{L1≠L2L1∥L2⇒包含L1及L2的平面只有一個(E)◯:{A(1,2,0)在L1B(1,−2,3)在L2上⇒→v=→AB=(0,−4,3)在→u的正射影長=35√150=7√6⇒L1,L2距離=√|→v|2−(7/√6)2=√1016>4,故選(BCE)
解答:x2−a=0⇒x=±√a⇒兩根平方和=sin2θ+cos2θ=1=2a⇒a=1/2⇒{sinθ+cosθ=0sinθcosθ=−a=−1/2⇒{(sinθ,cosθ)=(√2/2,−√2/2)⇒θ=3π/4(sinθ,cosθ)=(−√2/2,√2/2)⇒θ=7π/4(不合)由於π2≤θ≤3π2且sinθ+cosθ=0⇒θ=34π⇒{cosθ=−√2/2sinθ=√2/2(A)×:tanθ=−1≠1(B)◯:sin(θ+π4)=sinπ=0(C)◯:cosθ=−√2/2(D)◯:a=1/2(E)◯:θ=3π/4,故選BCDE,但公布的答案是CD
解答:[3413][ama]=[bmb]⇒{(3+4m)a=b(1+3m)a=mb⇒(1+3m)a=ma(3+4m)⇒a=4m2a⇒(4m2−1)a=0⇒m=±12,故選(BC)
解答:(A)×:A5=A3⇒A3(A2−I)=0⇒A=0,I或A=A−1(B)×:若A=0⇒AB=BA=0,但A−1不存在(C)×:A+B+C可能為0,不一定存在(D)◯:A,B,C為轉移矩陣⇒A3,B2仍為轉移矩陣⇒14(A3+B2)+12C也是(E)◯:理由同上,故選(DE)
解答:柯西不等式:((x−1)2+(y+7)2+(z−2)2)(42+(−1)2+82)≥(4(x−1)−(y+7)+8(z−2))2⇒((x−1)2+(y+7)2+(z−2)2)⋅81≥(4x−y+8z−27)2⇒(x−1)2+(y+7)2+(z−2)2≥(−27−27)281=36⇒√(x−1)2+(y+7)2+(z−2)2≥√36=6,故選(D)
解答:{sinA=5/13⇒cosA=12/13tanC=−4/3⇒{sinC=4/5cosC=−3/5⇒cosB=cos(π−(A+C))=−cos(A+C)=−cosAcosC+sinA+sinC=−1213⋅−35+513⋅45=36+2065=5665,故選(C)
8. 根據牛頓冷卻定律,物體的溫度變化,可以用數學公式 f(t)=E+(f(0)−E)×10−kt(∘C) 描述,其中f(t)是物體在t 分鐘時的溫度; f(0)是物體起始(t=0)的溫度, E 是環境溫度(單位: ∘C ), k 是一常數。已知小萱的房間溫度維持在22∘C且k=0.085,若小萱煮好一碗泡麵時,其溫度為82∘C ,但這溫度太燙無法入口, 根據牛頓冷卻定律,小萱需將泡麵自然靜置幾分鐘後才能達到容易入口的42∘C 呢? (四捨五入至整數位)(log3≈0.4771 )
(A) 5 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 7 分鐘 (D) 8 分鐘 (E) 9 分鐘
解答:兩圖形{y=2xy=5−x相交於A(α,2α=5−α);兩圖形{y=log2xy=5−x相交於B(β,log2β=5−β)又2x與log2x互為反函數,因此A(α,5−α)與B(β,5−β)對稱於直線y=x⇒(A+B)/2在y=x上⇒α+β2=10−(α+β)2⇒α+β=5因此2α+log2β=5−α+5−β=10−(α+β)=5,故選(C)
10. 某食品工廠有 A, B, C 三條生產線,其產量分別佔總產量的30%、 45%、 25%,且 A, B, C 這三條生產線的產品分別有3%、 3%、 x%的瑕疵品。今品管人員從生產的產品中任選一個,且此產品為瑕疵品的條件下,發現此產品來自 C 生產線的機率為 716,實數 x 為下列哪一個選項?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7
解答:f(x)=sin2x−2sinxcosx+3cos2x=1−sin(2x)+2cos2x=1−sin(2x)+cos(2x)+1=2+cos(2x)−sin(2x)由於0≤x≤π2⇒sin(2x)≥0⇒f(x)的最大值在sin(2x)=0,即f(0)=3,故選(A)
解答:依題意‖a1a2a3b1b2b3c1c2c3‖=5,欲求‖3a1+b13a2+b23a3+b3b1−3c1b2−3c2b3−3c32c12c22c3‖由於{3→a+→b⇒行列式×3→b−3→c為列運算,不改變行列式2→c⇒行列式×2⇒因此欲求之行列式=5×3×2=30,故選(A)
解答:{x−2y+3z=5−a⋯(1)2x−3y+5z=9+a⋯(2)3x−y+4z=−2−4a⋯(3)△=[1−232−353−14][xyz]=[5−a9+a-2−4a]而|1−232−353−14|=0且有解,因此有無限多解由(1)及(2)可得y=−1+3a+z代入(1)及(3)⇒{x+z=3+5a3x+3z=−3−a⇒3+5a−3−a=13⇒16a=−12⇒a=−34,故選(D)
解答:此題相當於求兩圖形{y=f(x)=cosxy=g(x)=x/7的交點數{y=17x的斜率為17cosx=1⇒x=0,2π,4π⇒{f(2π)=f(4π)=1g(4π)≈1.8>1g(2π)≈0.9<1⇒在0<x處,兩圖形有3個交點又{f(−π)=f(−3π)=−1g(−π)≈−0.4>−1g(−3π)<−1⇒在x<0處,兩圖形有2個交點因此共有5個交點,故選(D)
15. 袋中有大小相同的 5 個白球, 4 個紅球, 3 個黑球, 今自袋中取出一球, 取出後不放回, 共取三次球, 則在第一次取到白球條件下, 三次取到的球都異色的機率為何?(A)955(B)211(C)15(D)1355(E)1255
二、 多重選擇題( 40 分)
解答:(A)×:f(x)=4cos(x−π/6)−4sinx=4(√32cosx+12sinx)−4sinx=2√3cosx−2sinx=4sin(π3−x)⇒振幅=4(B)◯:f(x)=4sin(π3−x)⇒週期=2π(C)◯:f(x)=4sin(π3−x)最大值=4(D)×:向右平移π3(E)×:π3−x=π2⇒x=−π6⇒對稱於x=−π6,故選(BC)解答:(A)◯:k=3⇒{2x+2y=−16x+6y=7⇒26=26≠−17無解(B)◯:k=4⇒{3x+2y=−18x+7y=9 ⇒38≠27恰有一組解(C)×:k=−1⇒−2x+2y=−1⇒x−y=1/2≠−1(D)×:k=2⇒{x+2y=−14x+5y=5⇒14≠25恰有一組解(E)×:k=5⇒{4x+2y=−110x+8y=11⇒{x=−15/6y=9/2>0,故選(AB)
解答:(A)×:取L=E∩F,則L滿足題意修件,但E,F不一定平行(B)×:若L1在E上,E不一定平行L2(C)◯:取△ABC重心G,過G且與平面△ABC垂直之直線上的點P,均符合¯PA=¯PB=¯PC(D)◯:取{A(0,0,0)B(0,1,1)C(1,1,0)D(1,0,1)⇒M=(1,1/2,1/2)⇒{→CD=(0,−1,1)平面ABM:y−z=0⇒→CD與平面法向量平行⇒↔CD與平面ABM垂直(E)×:若L2=L3符合要求,但兩者共平面,故選(CD)
解答:假設→AD=α→AB+β→AC⇒α+β=1因此取158→AP=38→AB+58→AC滿足38+58=1⇒158→AP=→AD=38→AB+58→AC(A)×:→AD=38→AB+58→AC⇒¯BD:¯DC=5:3(B)◯:158→AP=→AD⇒¯AP:¯AD=8:15(C)×:→AD=38→AB+58→AC(D)◯:△ACP△ACD=¯AP¯AD=815⇒△ACP=815△ACD又△ACD△ABC=¯CD¯BC=38⇒△ACD=38△ABC⇒△ACP=38⋅815△ABC⇒△ACP=15△ABC(E)◯:→BE=35→BA⇒¯AE¯AB=25⇒△AEP=25△APB=25⋅815△ABD=25⋅815⋅58△ABC=215△ABC,故選(BDE)
解答:L1:{x+3y+z=72x+y−3z=4⇒L1的方向向量→u=(1,3,1)×(2,1,−3)=(−10,5,−5)L1∥L2⇒a−10=25=b−5⇒{a=−4b=−2又(3,−3,4)在L2上⇒3−1−4=−3−y02=4−3−2⇒y0=−2(A)×:a=−4≠4(B)◯:y0=2(C)◯:b=−2(D)×:{L1≠L2L1∥L2⇒包含L1及L2的平面只有一個(E)◯:{A(1,2,0)在L1B(1,−2,3)在L2上⇒→v=→AB=(0,−4,3)在→u的正射影長=35√150=7√6⇒L1,L2距離=√|→v|2−(7/√6)2=√1016>4,故選(BCE)
解答:x2−a=0⇒x=±√a⇒兩根平方和=sin2θ+cos2θ=1=2a⇒a=1/2⇒{sinθ+cosθ=0sinθcosθ=−a=−1/2⇒{(sinθ,cosθ)=(√2/2,−√2/2)⇒θ=3π/4(sinθ,cosθ)=(−√2/2,√2/2)⇒θ=7π/4(不合)由於π2≤θ≤3π2且sinθ+cosθ=0⇒θ=34π⇒{cosθ=−√2/2sinθ=√2/2(A)×:tanθ=−1≠1(B)◯:sin(θ+π4)=sinπ=0(C)◯:cosθ=−√2/2(D)◯:a=1/2(E)◯:θ=3π/4,故選BCDE,但公布的答案是CD
解答:[3413][ama]=[bmb]⇒{(3+4m)a=b(1+3m)a=mb⇒(1+3m)a=ma(3+4m)⇒a=4m2a⇒(4m2−1)a=0⇒m=±12,故選(BC)
解答:(A)×:A5=A3⇒A3(A2−I)=0⇒A=0,I或A=A−1(B)×:若A=0⇒AB=BA=0,但A−1不存在(C)×:A+B+C可能為0,不一定存在(D)◯:A,B,C為轉移矩陣⇒A3,B2仍為轉移矩陣⇒14(A3+B2)+12C也是(E)◯:理由同上,故選(DE)
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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