113年新北市國中聯合教甄-數學詳解

新北市立國民中學113學年度教師聯合甄選

選擇題：共40題，總分100分。第1～40題，每題2.5分。

解答: $$\cases{7x+5y=110 \cdots(1)\\ 6x+9y=2100 \Rightarrow 2x+3y=700 \cdots(2)} \Rightarrow (1)+(2) \Rightarrow 9x+8y=810 \Rightarrow 9a+8b=810\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$假設今年\cases{兒子b歳\\ 老爸6b歳} \Rightarrow \cases{a=3 \Rightarrow 6b+3=5(b+3) \Rightarrow b=12\\ a=4 \Rightarrow 6b+4=5(b+4) \Rightarrow b=16 \\ a=5 \Rightarrow 6b+5=5(b+5) \Rightarrow b=20\\ a=6\Rightarrow 6b+6=5(b+6) \Rightarrow b=24} \\ \Rightarrow 今年(6b,b)=\cases{(72,12) \Rightarrow 2年前老爸是兒子的7倍\\ (96,16),(120,20)無法滿足\\ (144,24) \Rightarrow 4年前老爸是兒子的7倍} \\ \Rightarrow (A)(D)均符合要求,只是活到144歲不太可能，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$假設\cases{\overline{AB}=a\\ \overline{AD}=k\\ \triangle ABD面積=m} \Rightarrow \cases{\overline{CD}=a+8\\ \overline{BC}=5k\\ \triangle BCD面積=m+8}\\作\overline{BE}\parallel \overline{AD},如上圖,則\cases{\overline{BE}=\overline{AD}=k\\ \triangle BDE面積=\triangle ABD面積=m }\Rightarrow \triangle BCE面積=4 \\ \Rightarrow \triangle BCE周長=2s=6k+8 \Rightarrow s=3k+4 \Rightarrow \triangle BCE面積=\sqrt{s(s-k)(s-5k)(s-8)} \\ \Rightarrow \sqrt{(9k^2-16)(16-4k^2)} =4 \Rightarrow 9k^4-52k^2+68=0 \Rightarrow (k^2-2)(9k^2-34)=0 \\\Rightarrow k=\sqrt 2,{\sqrt{34}\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$(A) \cases{x=2\\ x=a} \Rightarrow (x-2)(x-a)= x^2-(a+2)x+2a= x^2-(2k+1)x-(5k+4) \\ \qquad \Rightarrow \cases{2k+1=a+2\\ 5k+4=-2a} \Rightarrow a=2k-1=-{5k+4\over 2} \Rightarrow k不是整數\\ (B)\cases{x=3\\x=a} \Rightarrow k不是整數 ,理由同(A) \\(C)\cases{x=6\\x=a} \Rightarrow k不是整數 ,理由同(A) \\(D) \cases{x=7\\x=a} \Rightarrow (x-7)(x-a)= x^2-(a+7)x+7a= x^2-(2k+1)x-(5k+4) \\ \qquad \Rightarrow \cases{a+7=2k+1\\ 7a=-(5k+4)} \Rightarrow a=2k-6=-{5k+4\over 7} \Rightarrow k=2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$由上圖可知頂點介於兩直線x=1與x=2之間，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$假設-x^2+3x+a=0的兩根為\alpha,\beta \Rightarrow \cases{\alpha+ \beta=3\\ \alpha\beta=-a} \Rightarrow (\alpha-\beta)^2=(\alpha+ \beta)^2=4\alpha\beta =9+4a\\ \Rightarrow \alpha-\beta=\sqrt{9+4a} \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\cdot \sqrt{9+4a}\cdot a=1 \Rightarrow 4a^3+9a^2-4=0 \\ \Rightarrow (a+2)(4a^2+a-2)=0 \Rightarrow a=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{甲=\sqrt{{21\over 2}\cdot {11\over 2}\cdot {9\over 2}\cdot {1\over 2}} ={1\over 4}\sqrt{2079} \\ 乙=\sqrt{11\cdot 5\cdot 5\cdot 1} =\sqrt{275} ={1\over 4}\sqrt{4400}\\ 丙=\sqrt{{21\over 2} \cdot {9\over 2} \cdot {9\over 2}\cdot {3\over 2}} ={1\over 4}\sqrt{5103}} \Rightarrow 丙\gt 乙\gt 甲，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$假設三角形三邊長分別為a,b,c,則3a=4b=5c \Rightarrow a:b:c={1\over 3}: {1\over 4}:{1\over 5}=20:15:12 \\\Rightarrow \cases{a=20k\\ b=15k\\ c=12k} \Rightarrow (12k)^2+(15k)^2\lt (20k)^2 \Rightarrow 鈍角三角形，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$\cases{\angle B=90^\circ\\ \overline{AB}=4\\ \overline{BC}=3} \Rightarrow \overline{AC}=5 \Rightarrow \sin \theta=\sin \angle A={3\over 5}\\ \overline{CD}為\angle C的角平分線\Rightarrow {\overline{AD}\over \overline{DB}} ={5\over 3} \Rightarrow \cases{\overline{AD}=5/2\\ \overline{BD}=3/2} \\ 假設\overline{MN}=a \Rightarrow \overline{AQ}=a\cot \theta={4\over 3}a \Rightarrow \overline{DQ}={5\over 2}-{4\over 3}a \Rightarrow \overline{DM}={7\over 3}a -{5\over 2}\\{\overline{MN}\over \overline{BC}} ={\overline{DM}\over \overline{BD}} \Rightarrow {a\over 3}={7a/3-5/2\over 3/2} \Rightarrow 15=11a \Rightarrow a={15\over 11}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$假設橘子有x個\Rightarrow \cases{x=3a+1\\ a=3b+1\\ b=3c+1\\ c=3d+1\\ d=3e+1} \Rightarrow x=3^5e+3^4+3^3+3^2+3+1 \\ e=1\Rightarrow x=364，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$圓錐體體積={1\over 3}r^2 \pi h \Rightarrow {{1\over 3}r^2\pi h-{1\over 3}\cdot ({1\over 2}r)^2 \pi \cdot {1\over 2}h \over {1\over 3}\cdot ({1\over 2}r)^2 \pi \cdot {1\over 2}h} ={84\over x} \\ \Rightarrow {1-{1\over 8} \over {1\over 8}}={84\over x} \Rightarrow x=12，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$${\overline{SP}\over \overline{AQ}} ={\overline{BP}\over \overline{AB}} \Rightarrow {2k\over 1}={1-k\over 1} \Rightarrow k={1\over 3} \Rightarrow PQRS周長＝6k＝2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$假設\cases{首項a_1=a\\ 公差d} \Rightarrow \cases{前5項和=(2a+4d)5\div 2=100\\ 後10項和=(2a+29d)10\div 2=1000} \Rightarrow \cases{a+2d=20 \\ 2a+29d=200} \\ \Rightarrow \cases{a=36/5\\ d=32/5} \Rightarrow 前10項和={(2a+9d)\times 10 \over 2}=360，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cases{a=2^8\times 3^6\times 5^3\times 7\\ b=2^3\times 3^8\times 5^6\times 11} \Rightarrow a和b的最小公倍數m=2^8\times 3^8\times 5^6\times 7\times 11 \\ \Rightarrow {c\over m}=2^2\times 3^2\times 5^4\times 7^9\times 11^9 \Rightarrow 因數個數=(1+2)(1+2)(1+4)(1+9)(1+9) =4500，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$y=f(x)對稱於x=2 \Rightarrow f(x)=a(x-2)^n+b \Rightarrow f({x\over 5})=a({x\over 5}-2)^n+b={a\over 5^n}(x-10)^n+b \\ \Rightarrow y=f({x\over 5})對稱 於x＝10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$L：{x\over 2}={y\over -1}= {z\over -2} \Rightarrow \cases{方向向量\vec u=(2,-1, -2) \\通過P(0,0,0)}\\ (A) L_A:{x-3\over -1}={y-3\over 2}= {z-3\over -2} \Rightarrow \cases{方向向量 \vec a=(-1,2,-2)\\ 通過A(3,3,3)} \Rightarrow \vec n= \vec u\times \vec a= (6,6,3)\\\qquad \Rightarrow  {\overrightarrow{PA} \cdot \vec n\over |\vec n|} ={45\over \sqrt{81}} =5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$\textbf{Case 1 }第一次選到中獎牌：第二次抽牌中獎的機率={3\over 8}\\ \textbf{Case 2 }第二次選到沒有中獎牌：第二次抽牌中獎的機率={4\over 8}\\兩種情形合併計算機率為{4\over 10}\times {3\over 8}+ {6\over 10}\times {4\over 8}={9\over 20}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$f(x)=(x^{20}+1)^{24} =(x^2-1)p(x)+Ax+B \Rightarrow f(x)為480次 \Rightarrow 商式p(x)為480-2=478次\\ 又\cases{f(1)=2^{24}=A+B \\ f(-1)=2^{24}=-A+B} \Rightarrow \cases{A=0\\ B=2^{24}} \Rightarrow 餘式為0次，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\tan \angle A={24\over 20}={6\over 5} \Rightarrow 45^\circ \lt \tan \angle A\lt \tan 60^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$一位數的質數只有2,3,4,5，由此四個質數組合成二位數的質數:23,37,53,73，共四個\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$假設壓歳錢=4a \Rightarrow 3a-4500\times 75\%={4\over 3}a \Rightarrow a=2025 \Rightarrow 壓歳錢=4a=8100，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$\cases{L_1: x-2y=a\\ L_2:2x+y=b} \Rightarrow 交點P({a+2b\over 5},{-2a+b\over 5})在第二象限 \Rightarrow \cases{a+2b\lt 0\\ -2a+b\gt 0} \\ \Rightarrow \cases{\cases{a\lt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow 與y軸圍出來的面積\lt 與x軸圍出來的面積\\ \cases{a\lt 0\\ b\lt 0} \Rightarrow 所圍面積有可能相等}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$(1+\sqrt 2)^2=3+2\sqrt 2 \Rightarrow (1+\sqrt 2)^4=(3+2\sqrt 2)^2 =17+12\sqrt 2 =17+12\times 1.414 \approx 34\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$第1斜行：1\\ 第2斜行：2,3 \\ 第3斜行：4,5,6 \\  第4斜行：7,8,9, 10 \\ \cdots\cdots\\ \Rightarrow 第n斜行有n個連續整數，且第一個數字是1+2+3+\cdots+(n-1)+1={n(n-1)\over 2}+1\\ \Rightarrow 第15行第1個數字是106，第8個數字是113 \Rightarrow \cases{第8個數字代表r＝8\\ 第15行代表c=15-7=8} \\ \Rightarrow 3r+4c=24+32 =56，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$三式\cases{a^2-2b+4c+19=0\\ b^2-18c+3a+26=0\\ c^2-9a+12b+ 38=0} 相加 \Rightarrow (a^2-6a+9)+(b^2+10b+25) +(c^2-14c+49)=0\\ \Rightarrow (a-3)^2+ (b+5)^2+(c-7)^2=0 \Rightarrow \cases{a=3\\ b=-5\\ c=7} \Rightarrow a+b+c=5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$${\overline{B_2P}\over \overline{B_4R}} ={\overline{B_1P} \over \overline{B_1R}} \Rightarrow \overline{B_2P}=10\cdot {3k\over 8k} ={15\over 4} \\ {\overline{B_3Q}\over \overline{B_4R}} ={\overline{B_1Q} \over \overline{B_1R}} \Rightarrow \overline{B_3Q}= 10 \cdot {4k\over 8k} =5 \\ 因此\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} +\overline{A_3B_3} +\overline{A_4B_4} =10+ 10+{15\over 4}+10+5+20=58.75，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$有12種可能成為直角三角形，由於丟骰子三次，因此機率為{20\times 3!\over 6^3}={12\over 36}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{|x|+y=1 對稱y軸\Rightarrow a=1\\ |x-y|=1對稱x=y且對稱原點 \Rightarrow b=2\\ |x+y|=1對稱x=y且對稱原點 \Rightarrow c=2} \Rightarrow b=c\gt a，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cos A={10^2+12^2-11^2 \over 2\cdot 10\cdot 12} \approx 0.51 \Rightarrow \angle A\approx 60^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{正15邊形圓心角=2\pi /15 \\正16邊形圓心角=2\pi /16 } \Rightarrow 弧長=1000\times ({2\pi\over 15}-{2\pi \over 16})= {25\pi \over 3} \approx 26.18，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{平行四邊形的寬=3\times 5=15\\ 平行四邊形的高=(2-(-2))\times 2=8} \Rightarrow 面積＝15\times8=120，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$(A+2B)^2=A^2+2AB+2BA+4B^2=A^2+4AB+4B^2 \Rightarrow AB=BA \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}9 & 6 \\ a & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}10 & 2 \\4 & 8 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}10 & 2 \\4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}9 & 6 \\ a & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}114 & 66 \\10a+12 & 2a+24 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2a+90 & 66 \\8a+36 & 48 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow a=12，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cases{\sin(x/2)週期2\pi\cdot 2=4\pi\\ \sin(2x/3)週期2\pi\cdot {3\over 2}=3\pi \\ \sin(3x/4)週期2\pi\cdot {4\over 3}=8\pi/3} \Rightarrow 最小公倍數24 \Rightarrow 週期為24\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $${第一台機器生產的瑕疵品 \over 三台機器生產的瑕疵品}={0.6\times 0.02\over 0.6\times 0.02+ 0.3\times 0.03 +0.1\times 0.05} \\={6\over 13}=0.461，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$z=a+bi,a,b\in \mathbb Z 且a^2+b^2=15^2 \Rightarrow (a,b)=(\pm15,0),(0,\pm 15), (\pm 9,\pm 12),(\pm 12,\pm 9)\\ 共有2+2+4+4=12組，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{f(x,y)=x+2y \Rightarrow f(0,3)=6=a\\ g(x,y)=3x+4y \Rightarrow g(2,0)=6=b\\ h(x,y)=5x+6y \Rightarrow h(0,1)=6=c} \Rightarrow a=b=c=6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$(A)\;0\le |\sin {1\over x}|\le 1 \Rightarrow 0\le |x\sin {1\over x}|\le |x| \Rightarrow 0\le \lim_{x\to 0} |x\sin {1\over x}| \le  \lim_{x\to 0}|x| \\ \Rightarrow \lim_{x\to 0} |x\sin {1\over x}|=0 \Rightarrow \lim_{x\to 0} x\sin {1\over x}=0 \Rightarrow \text{存在} \\(B)\; \lim_{x\to 0}{\sin x\over x} =\lim_{x\to 0}{(\sin x)' \over (x)'} =\lim_{x\to 0}{\cos x\over 1} =1 \Rightarrow \text{存在} \\(C)\; 理由同(A) \Rightarrow \lim_{x\to 0} x\cos{1\over x}=0\Rightarrow \text{存在}  \\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$假設截去正方形的邊長為x,則水箱容積=f(x)=(24-2x)(9-2x)x =4x^3-66x^2+216x\\ \Rightarrow f'(x)=12(x-2)(x-9) \Rightarrow x=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$D(x)=S(x) \Rightarrow 40-0.1x^2=0.3x^2 \Rightarrow x=10 \Rightarrow p*=D(10)=30\\ P.S.= \int_0^{10} (30-S(x))\,dx =\int_0^{10} (30-0.3x^2)\,dx = \left. \left[ 30x-0.1x^3 \right] \right|_0^{10} =300-100=200\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$X\sim B(n=1200,p=1/4) \Rightarrow \cases{E(X)=np=300\\ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} =1200 \cdot (1/4)(1/3) =15}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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